GÉOMÉTRIE
7
Produit scalaire
Les savoir-faire du chapitre
◮ 310.Calculer un produit scalaire à l’aide de normes et d’un angle.
◮ 311.Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec une projection orthogonale.
◮ 312.Calculer un produit scalaire dans un repère.
◮ 313.Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec des
normes.
◮ 314.Utiliser le produit scalaire pour démontrer une ortho- gonalité, pour calculer une longueur ou un angle.
◮ 315.Choisir une méthode adaptée pour le calcul d’un pro- duit scalaire en vue de la résolution d’un problème.
Le calcul mental
1 Dans chacun des cas suivants, calculer les coor-
données du vecteurAB.# »
1) A(2 ; 4)etB(5 ; 8). . . . 2) A(−3 ; 1)etB(8 ; −8). . . . 3) A(−5 ; −4)etB(4 ; 2). . . .
2 Dans chacun des cas suivants, calculerk#»uk.
1) #»u 1 2
!
. . . .
2) #»u −2 3
!
. . . . 3) #»u 5
−2
!
. . . .
3 Compléter les égalités suivantes.
1)IB# »=. . .# »A+A# ». . . 3)D# ». . .+C# ». . .=. . .# »B 2)HG# »+. . .# »= HF# » 4)E# ». . .+. . .# »E=. . .# »
4 Écrire le plus simplement possible.
1)BD# »+DA# »=... 4)BD# »−BA# »=....
2)BD# »+# »AA=... 5)BD# »+AD# »+BA# »=....
3)BD# »+DB# »=.... 6)# »MB−# »MD=...
5 Dans le plan muni d’un repère, les vecteurs sui-
vants sont-ils colinéaires ? 1) #»u −2
3
!
et#»v 3
−4, 5
!
2) #»s 7
−2
!
et#»t 14
4
!
6 Compléter le tableau des valeurs remarquables
suivant :
x 0 π
6 π 4
π 3
π
2 π
cosx
sinx
➤➤➤
1
S’entraîner
310 Calculer un produit scalaire à l’aide de normes et d’un angle.
Soit ABDC un parallélogramme tel que AB = 8 et
AC=10 et[BAC= π
3. Calculer :
1) AB# »·AC.# » 2) AB# »·CD.# » 3) DB# »·CD.# »
. . . . . . . . . . . . . . . .
A B
C D
α= π 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311 Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec une projection orthogonale.
On considère la figure ci-contre.
En utilisant des projections, calculer les produits scalaires suivants :
1)AB# »·AD# » 3)BH# »·C A# » 5)HG# »·BC# » 2)BC# »·BI# » 4)CD# »·FH# » 6)GI# »·FD# »
. . . . . . . .
A B
F G
C D E
H
1 1
+I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Chapitre G7. Produit scalaire
S’entraîner
312 Calculer un produit scalaire dans un repère.
Calculer les produits scalaires suivants : 1) #»s ·#»t avec#»s −1
−2
!
et #»t −3
−4
!
2) CD# »·MR# »avecC(5 ; 6),D(−1 ; 4),M(3 ; 7)etR(8 ; 9) 3) ST# »·EF# »avecE(0 ; 1),F(3 ; 0),S(8 ; 8)etT(5 ; 5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313 Calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec des normes.
Soit ABDC un parallélogramme tel que AC = 6 et
AB=8 etAD=12.
Calculer# »AC·DA# »
. . . . . . . . . . . .
A B
C D
. . . . . . . . 314 Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer une longueur ou un angle.
1)On considère les pointsA(−1 ; 0),B(−2 ; −7),C(12 ; −9)etD(−9 ; −6). Montrer que les droites(AB)et(CD)
sont perpendiculaires.
. . . . . . . . . . . .
2)On considère trois points A,BetCdu plan tels que AB = 7,BC = 8 et AC = 12. Calculer AB# »·AC# »puis en
déduire une mesure deA, arrondi à 0,1 près.b
. . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre G7. Produit scalaire 3
S’entraîner
3)Le triangleABCest tel queAB=5,AC=7 etAb=120˚.
Calculer le côtéBC.
. . . . . . . . . . . .
4)Le triangleABCest tel queAB=11,AC=14 etBC=12.
Calculer l’angleA, arrondi au degré près.b
. . . . . . . . . . . .
315 Choisir une méthode adaptée pour le calcul d’un produit scalaire en vue de la résolution d’un problème.
1) ABCDest un parallélogramme avecAB= 4,AD =3
etAC=6.
Calculer# »AC·# »DA.
. . . . . . . .
. . . A B
D C
2) ABCDest un losange de côté 4 et vérifiantBAD[ =60˚.
Calculer# »AB·AC.# »
. . . . . . . . . . . .
A
B
C D
3) ABCDest un carré de côté 1 etIest le milieu de[DC]
et Jcelui de[AD].
Calculer#»J I·BI.# »
. . . . . . . . . . . .
A B
C D I
J
4) ABCDest un parallélogramme avecAB=5 etBD=8
etABD[ =20˚.
CalculerBA# »·BD. Arrondir à 0,1 près.# »
. . . . . . . . . . . .
A B
C D
4 Chapitre G7. Produit scalaire
