CH 1 – Géométrie : Produit scalaire dans le plan

1 Produit scalaire dans le plan. 3^ème Sciences. 09 – 10. www.espacemaths.com

1 ) PRODUIT SCALAIRE A) DEFINITION

q Soit ^¾u et ^® v deux vecteurs non nuls du plan . ^¾®

Le produit scalaire de ^¾u par ^{® ¾}v^® noté u . ^¾® v^¾® est le nombre défini par l’une ou l’autre des égalités ci-dessous :

¾®

u . ^¾v = ^® OA. ^¾¾® OB = OA ´ OB ´ cos AOB ^¾¾®

=

||

u ^¾®

|| ||

^¾v ^®

||

cos ( u , ^¾® v ) ^¾®

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment.

où O , A et B sont trois points du plan tels que ^¾u = ^® OA et ^{¾¾® ¾}v = ^® OB . ^¾¾®

H est le projeté orthogonal de B sur (OA)

¾®

u . ^¾v = ^® OA . ^¾¾® OB = ^¾¾® OA . ^¾¾® OHuuur

q Si ^¾u = ^® 0 ou ^¾® v = ^{¾® ¾}0 , on pose ^{® ¾}u . ^® v = 0 . ^¾®

Montrons que OA ´ OB ´ cos AOB = _î^íì OA ´ OH si OA et ^¾¾® OH sont de même sens^¾¾®

– OA ´ OH si OA et ^¾¾® OH sont de sens contraire ^¾¾®

Deux cas se présentent :

Si OA et ^¾¾® OH sont de même sens , alors ^¾¾® _AOB· ·_=BOH

………

…………..

………

…………..

= _î^íì OA ´ OH si OA et ^¾¾® OH sont de même sens^¾¾®

– OA ´ OH si OA et ^¾¾® OH sont de sens contraire ^¾¾®

O H A B

H O A B

Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel

Ce n’est pas une multiplication …

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3

^ème

Sciences

Septembre 2009

A. LAATAOUI

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Si OA et ^¾¾® OH sont de sens contraire, alors ^¾¾® _AOB· _{= -p BOH}·

………

…………..

………

…………..

...

...

Ex 1 :

Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 3 ( dans l’unité de longueur choisie ) . Les points E, F et D sont les milieux des côtés.

On a alors :

§ AB .^¾¾®AC= ……….. ^¾¾®

§ ou AB .^¾¾® AC = ……… ^¾¾®

§ AB . ^¾¾® CE = ………. ^¾¾®

§ ou le projeté orthogonal de CE sur ^¾¾® AB est ……… , ^¾¾®

donc AB . ^¾¾® CE= ………. ^¾¾®

B ) REMARQUES Ø Signe du produit scalaire :

On déduit facilement le signe du produit scalaire OA. ^¾¾® OB suivant la nature de l’angle AOB . ^¾¾®

En effet les normes des deux vecteurs OAet ^¾¾® OB sont positives . On en déduit donc que ^¾¾® OA. ^¾¾® OB est du signe de ^¾¾®

cos AOB .

- Si 0 £ AOB < 90° , cos AOB > 0 et OA. ^¾¾® OB > 0 ^¾¾®

- Si AOB = 90° ( c'est à dire OA.^ ^¾¾® OB ) , cos AOB = 0 et ^¾¾® OA. ^¾¾® OB = 0 ^¾¾®

- Si 90° < AOB £ 180° , cos AOB < 0 et OA. ^¾¾® OB < 0 ^¾¾®

Ø Le produit scalaire de deux vecteurs u et ^{¾® ¾}v dépend de leur norme : ^®

le cosinus d’un angle est un réel compris entre 1 et – 1 . On a donc : –

||

^¾u ^®

|| ||

^¾v ^®

||

£ u . ^{¾® ¾}v £ ^®

||

u ^¾®

|| ||

^¾v ^®

||

ou bien u vr r× £ ur r´ v

(Inégalité de Cauchy – Schwarz).

Ø Un cas particulier : les vecteurs colinéaires

§ Si u et ^¾® v sont colinéaires et de même sens, alors ( ^{¾® ¾}u , ^® v ) = 0 et cos ( ^{¾® ¾}u , ^® v ) = …….. . Ainsi ^¾®

¾®

u . ^¾v =……….. ^®

A

B C

D E

F

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§ Si u et ^¾® v sont colinéaires et de sens contraire , alors ( ^¾® u , ^{¾® ¾}v ) = p et cos ( ^® u , ^¾® v ) =……… . ^¾® Ainsi

¾®

u . ^¾v = ………. ^® Ø Produit scalaire et projection orthogonale :

Si C’ et D’ sont les projetés orthogonaux de C et D sur ( AB ) , alors : AB . ^¾¾® CD = ^¾¾® AB . ^¾¾® C’D’ ^¾¾®

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs , on peut remplacer l’un deux par son projeté orthogonal sur la droite qui porte l’autre.

Activité 2 page 7 : 2 ) PROPRIETES

A ) OPERATIONS VECTORIELLES

Ex 2 :

§ ( 3 u – 2 ^¾® v ) . ( 2 ^¾® u + ^¾® v ) = ^¾®

§ Expliquer pourquoi les écritures suivantes n’ont pas de sens :

- « ^¾u . ^{® ¾}v . ^® w » : ^¾® - « ^¾u . ^{® ¾}v + ^® w » : ^¾® - « ^¾u . ( k + ^® v ) » : ^¾® Remarque :

Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels, mais attention il ne faut pas généraliser :

En effet, on peut avoir ^¾u .^® v = 0 avec ^¾® u ¹ ^¾® 0 et ^{¾® ¾}v ¹ ^{® ¾}0 . ^® Soit ^¾u , ^{® ¾}v et ^® w trois vecteurs du plan et k un réel, on a : ^¾® Symétrie

u . ^{¾® ¾}v = ………….. ^® Linéarité

^¾u . ( ^{® ¾}v + ^® w ) = ……….. et ( ^{¾® ¾}u +^{® ¾}v ) .^{® ¾¾®}w =

………..

( k ^¾u ) . ^{® ¾}v = ………. et ^® u . ( k ^{¾® ¾}v ) = ………. ^®

conséquence :

(a ^¾u ) . (b ^{® ¾}v ) = ^®

………

( où a et b sont deux réels quelconques )

¾®

v

¾®

v

A C’ u D’ B ^¾® D C

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D’autre part ^¾u .^® v = ^¾® u . ^¾® w n’implique pas ^¾® v = ^¾® w . ^¾® B ) CARRE SCALAIRE ET NORME

Pour tout vecteur ^¾u du plan, le produit scalaire de ^{® ¾}u par lui même, ^® u . ^¾® u est appelé carré scalaire de ^¾® u . ^¾® On le note ^¾u ^®2 .

On a :

^¾u ^{® 2} = ^¾u . ^® u = ^¾®

||

u ^¾®

||

´

||

^¾u ^®

||

=

||

u ^¾®

||

2

Ce qui donne, pour deux points A et B :

AB ^¾¾®2 =

||

AB ^¾¾®

||

² = AB ²

Remarque :

§ ^¾u est unitaire si et seulement si ^® u ^¾®2 = 1

§ Après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables

( ^¾u + ^® v ) ² = ……….. , ( ^¾® u – ^¾® v ) ² = ………. et ( ^{¾® ¾}u + ^{® ¾}v ) ( ^{® ¾}u – ^® v ) = ^¾®

………

Exemple :

Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 6.

Calculer AB ACuuur uuur× .

3 ) PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE

¾®

u et ^¾v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est ^®

………

¾®

u ^ ^¾v ^® Û ^¾u . ^{® ¾}v = 0 ^®

Remarque :

§ Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

§ On ne modifie pas le produit scalaire de deux vecteurs en ajoutant à l’un d’eux un vecteur orthogonal à l’autre.

¾®

u . ( v + ^¾® w ) = ^¾® u . ^¾® v + ^¾® u . ^¾® w et ^¾® u . ^¾® w = 0 … ^¾®

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Ex résolu :

Soit ABCD un parallélogramme.

En posant AB = ^{¾¾® ¾}u et ^® AD = ^{¾¾® ¾}v , on retrouve que ABCD est un losange ^® si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires .

En effet ( ^¾u + ^{® ¾}v ) ( ^{® ¾}u – ^® v ) = ^¾®

||

^¾u ^®

||

² –

||

^¾v ^®

||

²

Ainsi

||

u ^¾®

||

=

||

v ^¾®

||

si et seulement si les vecteurs ^¾u + ^{® ¾}v et ^® u – ^{¾® ¾}v ^® sont orthogonaux .

Activité 2 page 10 :

4 ) EXPRESSION ANALYTIQUE DU PRODUIT SCALAIRE

Activité 1 page 12 :

( )

_{² _{

1 0

u ir r× = xir r r+y j × =i x ir +y j ir r× =x

( )

_{{ {}²

0 1

u jr r× = xir r r+ y j × =j x i jr r× +y rj = y

(

^{' '}

) ( ) ( )

^{' ' ' '}

u vr r r× = ×u x ir+ y jr = x u ir r× +y u jr r× = x x+y y

² ²

ur = u ur r× = x +y .

¾®

u . v = x x’ + y y’ où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de ^{¾® ¾}u et de ^{® ¾}v dans un ^® repère orthonormé quelconque .

Activité 3 page 12 :

5 ) APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE : LIGNES DE NIVEAU

Activité 1 page 13 : f (M)=uuur uuurAM AB×

.

1) ^f

( )

^{M = Û0} uuur uuurAM AB× =0

Û AMuuur uuur^AB

Û MÎ D. Où D est la droite perpendiculaire à (AB) en A.

2) On suppose que AB = 2.

a) H Î (AB) Û uuurAH

et ABuuur

sont colinéaires.

1.5 AH AB× = - uuur uuur

Þ - AH ´ AB = -1.5ÞAH = ^{1.5 3}

2 =4(avec AHuuur

et ABuuur

sont de sens contraire) b) ^f

( )

^{M = -1.5Û AM ABuuur uuur× = -1.5Û} uuur uuur uuur uuur^{AM AB× =AH AB×}

Û

(

^AMuuur uuur uuur^-AH

)

^×AB=0

Û HM ABuuuur uuur× =0 ( )

MÎ D . Où (D) est la droite perpendiculaire à (AB) en H.

(D) est la ligne de niveau – 1.5 de f.

¾®

¾® u v

C

D B

A

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Activité 2 page 13 : ( )

g M =MA MBuuur uuur×

. AB = 4 1) g M( )= Û0 MA MBuuur uuur× =0

Û MÎz_{[ ]AB} . 2) Soit I le milieu de [AB].

a)

( ) ( )

0

( ) ²

g M =MA MB× = MI+IA × MI+IB =IM +MI×æIA+IBö+IA IB×

ç ÷

ç ÷

è ^r ø

uur uuur uur ur uur uur uur ur uur ur uur

123 = ^{IM²+IAuur× -}

( )

^{IAuur =IM²-IA².}

b) g M( )=12Û IM²-IA²=12 Û IM²=12+IA²=16 ÛIM = 4 Û MÎz_{( )I,4} Activité 3 page 13 :

( )

MÎ F Û MA²-MB²=k. 1) k = 0.

² ² 0

MA -MB = Û MA²=MB² Û MA=MB Û ^{MÎméd AB}

[ ]

^.

2) ^{2 2}

2

² ² 2

BA MI

MA -MB =MA -MB =æMA-MBö æ× MA+MBö= IM AB×

ç ÷ ç ÷

è ^uur ø è ^uur ø

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

14243 14243 .

3) a) k = -2 et AB = 2.

² ² 2

MA -MB = - Û 2IM ABuuur uuur×

= -2 Û IM ABuuur uuur×

= -1Û IH ABuur uuur×

= -1. Où H est le projeté orthogonal de M sur (AB)

Û

IH et AB sont de sens contraire

1 1

2 et

IH´AB= ÞIH = ìï

ïí ïï î

uur uur

Û(F) est la droite perpendiculaire à (AB) en H.

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Activité 4 page 13 :

( ) ² ²

h M =MA +MB .

1)

( )

2

² ² 2 ² 2 ² ² 2 ² ²

BA 2

MA +MB = MA-MB + MA MB× =AB + IM -IA = IM + AB

uur

uuur uuur uuur uuur

14243 .

2) _{[ ]}

, 2

² ²

² ² ² 2 ² ² ²

2 4 2 ^{IAB AB}

AB AB AB

MA MB AB IM AB IM IM M z_{æ ö} M z

ç ÷

è ø

+ = Û + = Û = Û = Û Î Û Î .

Exercices 5, 8, 15, 16, 17, 19 pages 19 et 21 :