Géométrie vectorielle Produit scalaire dans
l’espace
I. Caractérisation vectorielle (A) Vecteur dans l’espace
1. Notion de vecteur dans l’espace
On étend à l’espace la notion de vecteur vue dans le plan.
Définition 1
Deux vecteurs non nuls−→
AB et−→
CD sont égaux si, et seulement si, ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
On peut noter−→u un vecteur sans préciser ni origine ni extrémité.
Il admet une infinité de représentants :−→u =AB=−−→
C D. . . 2. Vecteurs coplanaires
Définition 2
Des vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, en traçant leurs représentants à partir d’un même point A, leurs extrémités sont coplanaires avec A.
Exemples
Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous :
lLes vecteurs−→u,−→v et→−w sont coplanaires car→−u =−→
AB,−→v =−→
AE et−→w =−→
AF et A, B, E et F sont dans le plan(ABE).
lLes vecteurs−→u,−→v et→−
t ne sont pas coplanaires car→−u =−→
AB,−→v =−→
AE et−→ t =−→
AD et l’unique plan contenant A, B, E est le plan(ABE) qui ne contient pas D.
lLes vecteurs−→
AB et−→
CG sont coplanaires puisque−→
CG=−→
AE et A,B, E sont dans le plan (ABE) ; cependant les droites (AB) et (CG) ne sont pas coplanaires.
Remarque
Deux vecteurs sont toujours coplanaires contrairement à deux droites.
3. Opérations sur les vecteurs
Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on définit, comme dans le plan, la somme de deux vecteurs, le produit d’un vecteur par un réel, les notions de vecteurs colinéaires et de vecteur directeur d’une droite.
On admet que les propriétés de calcul dans le plan sont conservées dans l’espace : Propriété 1
Pour tous réelsketk0et pour tous vecteurs−→u et→−v,
lk(k0−→u)=kk0→−u l(k+k0)−→u =k→−u+k0−→u lk(→−u+−→v)=k→−u+k→−v Exercices no22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 p 324
(B) Caractérisation vectorielle d’une droite de l’espace Propriété 2
Soient A et B deux points distincts.
Un point M appartient à la droite (AB) si, et seulement si, il existe un réelttel que−−→
AM=t−→
AB.
Comme dans le plan, une droite peut être définie par un point A et un vecteur→−u non nul, appelé vecteur directeur de la droite. On peut donc noter la droite (A,−→u). La propriété devient donc :
Propriété 2 bis
M appartient à la droited passant par le point A et de vecteur directeur−→u si, et seulement si, il existe un réelttel que−−→
AM=t−→u. Propriété 3
Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
(C) Caractérisation vectorielle d’un plan de l’espace Propriété 4
Soient A, B, C trois points non alignés.
Un point M appartient au plan (ABC) si, et seulement si, il existe des réelsxetytels que
−−→AM=x−→
AB+y−→
AC
Démonstration
A, B, C étant trois points non alignés, les vecteurs−→
AB et−→
AC ne sont pas colinéaires, donc (A ;−→
AB;−→
AC) est un repère du plan (ABC). Si M est un point du plan (ABC), soit (x;y) son couple de coordonnées dans le repère précédent, alors−−→AM=x−→
AB+y−→AC.
Réciproquement, si M est le point de l’espace défini par−−→
AM=x−→
AB+y−→
AC, soit N le point du plan (ABC) de coordonnées (x;y) dans le repère (A ;−→AB;−→AC). On a−→AN=x−→AB+y−→AC, d’où−−→AM=AN. Donc M=N. Donc M∈(ABC).
Les points A, B et C ne sont pas alignés si, et seulement si, les vecteurs−→u =−→
AB et−→v =−→
AC ne sont pas colinéaires. Un plan peut donc être défini par un point et deux vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs du plan. La propriété devient donc :
Propriété 4 bis
M appartient au planP passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires−→u et −→v si, et seulement si, il existe des réelsxetytels que−−→
AM=x−→u +y−→v
Deux plans dirigés par un même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. En effet, deux droites sécantes de l’un, de vecteurs directeurs respectifs−→u et→−v, sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre. On peut ainsi démontrer le théorème du toit.
Propriété 5
Soient→−u et−→v deux vecteurs non colinéaires.
Les vecteurs→−u,−→v et→−wsont coplanaires si, et seulement si, il existe des réelsxetytels que
−
→w=x→−u +y−→v
Remarque
Une droitedde vecteur directeur→−w est parallèle à un planP de vecteurs directeurs→−u et−→v si, et seulement si,−→u,−→v et−→w sont coplanaires.
Démonstration
Soit A un point de l’espace et B,C, D les points tels que−→u=−→AB,→−v=−→AC et−→w=−→AD.
Comme−→uet−→vne sont pas colinéaires, A,B, C ne sont pas alignés et définissent le plan (ABC).
−
→u,→−v,−→wsont coplanaires si, et seulement si, les points A,B,C,D sont coplanaires ce qui signifie que D∈(ABC), c’est-à-dire qu’il existe des réelsxet ytels que−→AD=x−→AB+y−→AC autrement dit, tels que→−w=x−→u+y−→v.
Exercices no 30 - 31 - 32 - 33 - 34 p 325
(D) Repères de l’espace
1. Décomposer un vecteur de l’espace Propriété 6
Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires de l’espace.
Pour tout point M,
lIl existe des réelsx,y,ztels que−−→
AM=x−→
AB+y−→
AC+z−→
AD.
lCe triplet (x;y;z) est unique.
Démonstration Voir activité 3 p 305.
2. Repérage dans l’espace
Définition 3 Un repère (O ;→−
i ;−→ j ;−→
k) de l’espace est formé :
ld’un point O origine du repère ;
ld’un triplet (→− i ;−→
j ;−→
k) de vecteurs non coplanaires.
De la propriété 6, appliquée avec A=O,−→
AB=−→ i ,−→
AC=→− j ,−→
AD=−→
k, on déduit : Propriété 7
Soit (O ;→− i ;→−
j ;−→
k) un repère de l’espace .
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x;y;z) de réels tels que
−−→OM=x−→ i +y→−
j +z−→
k. On note M(x;y;z).
Propriété et définition 4 Soit (O ;→−
i ;→− j ;−→
k) un repère de l’espace.
Pour tout vecteur→−u, il existe un unique triplet (x;y;z) de réels tels que
−
→u =x−→ i +y−→
j +z−→
k. On note−→u(x;y;z) ou
x y
Propriété 8
Dans un repère de l’espace,
lSi→−u(x;y;z) et→−v(x0;y0;z0) alors
−
→u + −→v(x+x0;y+y0;z+z0)etk→−u(kx;k y;kz)pour tout réelk.
lDeux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont pro- portionnelles.
lSi A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) alors−→
AB(xB−xA,yB−yA,zB−zA)
lLe milieu de [AB] a pour coordonnées³xA+xB
2 ;yA+yB
2 ;zA+zB 2
´
Démonstration
Voir exercice no86 p 330 - 331.
Exercices no35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 - 45 - 46 - 47 - 48 - 49 p 325 - 326
3. Représentation paramétrique d’une droite
Activité no4 p 305
Dans l’espace muni d’un repère, on considère la droitedpassant par le point A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur−→u(a;b;c) où (a;b;c)6=(0; 0; 0).
Un point M(x;y;z) appartient àdsi, et seulement si, il existe un réelttel que−−→
AM=t−→u, ce qui s’exprime avec les coordonnées par le système :
x−xA = at y−yA = bt z−zA = c t ou encore
x = xA+at y = yA+bt z = zA+c t
Propriété 9
SoientxA,yA,zA,a,b,cdes réels avec (a;b;c)6=(0; 0; 0).
Dans un repère de l’espace, la droite d passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur
−
→u(a;b;c) ou
a b c
est l’ensemble des points M de coordonnées
x = xA+at y = yA+bt,t∈R z = zA+ct
Ce système d’équations est appeléune représentation paramétriqueded.
Remarque
Une droite a une infinité de représentations paramétriques.
Exemples
l
x = 4−5t
y = −2+2t,t∈Rest une représentation paramétrique de la droitedpassant par z = 1+3t
le point A(4;−2; 1) et dirigée par le vecteur−→u(−5; 2; 3) car (−5; 2; 3)6=(0; 0; 0)
lLe point obtenu en prenant t = −1 est le point B(9;−4;−2). Il appartient à la droitedet on a−→
AB=t−→u = −−→u
lSoit le point C(−6; 2; 7). Pour savoir s’il appartient à la droited, on cherchettel que l’on ait à la fois les trois égalités
−6 = 4−5t 2 = −2+2t, 7 = 1+3t
On constate que ce système de trois équations a pour solutiont=2.
Le point C appartient donc à la droitedet−→
AC=2−→u 4. Représentation paramétrique d’un plan
Dans l’espace muni d’un repère, on considère le planP passant par le point A(xA,yA,zA) et dirigé par les vecteurs directeurs−→u(a;b;c) et→−v(a0;b0;c0).
Un point M(x;y;z) appartient au planP si, et seulement si, il existe deux réelstett0tels que
−−→AM=t−→u+t0→−v, ce qui s’exprime avec les coordonnées par le système :
x−xA = at+a0t0 y−yA = bt+b0t0 z−zA = c t+c0t0 ou encore
x = xA+at+a0t0 y = yA+bt+b0t0 z = zA+c t+c0t0
Ce système, lorsque t ett0décriventR, est appelé une représentation paramétrique du plan P.
Exercices no50 - 51 - 52 - 53 - 55 p 326 - 327 Exercices no89 - 91 - 92 - 94 - 95 - 96 - 98 p 331 - 332
Problème no102 p 331 - 332
II. Produit scalaire dans l’espace
(A) Extension du produit scalaire de l’espace Définition 5
Soient−→u et−→v deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points tels que−→u =−→
AB et−→v =−→
AC. Il existe au moins un planP contenant A, B et C.
On définit le produit scalaire de→−u et→−v comme étant le produit scalaire−→u.→−v dans le planP. On retrouve les propriétés du produit scalaire dans le plan.
Propriété 10
lAvec les normes :
−
→u.→−v =1 2
¡k−→u + −→vk2− k−→uk2− k−→vk2¢ ou−→
AB.−→
AC=1
2(AB2+AC2−BC2).
lAvec le cosinus :
Si−→u et→−v sont non nuls,→−u.−→v = k−→uk.k−→vkcos (→−u,−→v)ou−→
AB.−→
AC=AB.AC. cos (B AC).
lAvec le projeté orthogonal :
Si A6=B, il existe un seul planQorthogonal à la droite (AB) et passant par C. Ce plan coupe la droite (AB) en un unique point H appelé projeté orthogonal de C sur la droite (AB). H est aussi le projeté orthogonal de C sur (AB) dans un planP contenant A,B et C.
On a donc−→u.→−v =−→
AB.−→
AC=−→
AB.−→
AH.
lProduit scalaire et orthogonalité :
Deux vecteurs sontorthogonauxsi, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
lDans un repère orthonormé : Un repère (O ;−→
i ;−→ j ;−→
k) estorthonormési, et seulement si les vecteurs−→ i ;→−
j ;→− k sont deux à deuxorthogonauxetk−→
i k = k→−
j k = k−→ kk
Propriété 11
L’espace étant muni d’un repère orthonormé :
lSi→−u(x;y;z) et→−v(x0;y0;z0) alors k−→uk =
q
x2+y2+z2
−
→u.−→v =xx0+y y0+zz0.
lSi A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) alors AB=
q
(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Démonstration
Voir exercice no30 p 355.
Propriété 12 : Propriétés algébriques
Soient→−u,−→v et→−wtrois vecteurs de l’espace etkun réel.
lSymétrie:−→u.→−v = −→v.−→u
lBilinéarité:−→u.(→−v + −→w)= −→u.−→v + −→u.−→w et→−u.(k−→v)=k× −→u.−→v
lIdentités remarquables:(−→u + −→v).(→−u − −→v)= k−→uk2− k−→vk2
(→−u + −→v)2= k−→u + −→vk2= k−→uk2+2−→u.→−v + k−→vk2 (→−u − −→v)2= k−→u − −→vk2= k−→uk2−2−→u.→−v + k−→vk2
Démonstration Voir exercice no32 p 355.
Exercices no18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 31 - 33 - 36 p 354 - 355
(B) Vecteur normal à un plan Définition 6
Un vecteur→−n est normal à un plan P si, et seulement si, il est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires deP.
Propriété 13
Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
Démonstration
Un vecteur normal−→nà un planPest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires−→uet→−vdeP.
−
→uet−→vdirigeantP, pour tout vecteur→−wdeP, il existe des réelsxetytels que→−w=x−→u+y−→v. Alors−→n.→−w= −→n.(x→−u+y−→v)=x−→n.→−u+y−→n.→−v=x×0+y×0=0.
Donc→−nest orthogonal à tout vecteur deP.
Propriété 14
Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
Démonstration ROC
Soitdorthogonale àPet∆une droite deP. Montrons quedet∆sont orthogonales.
La droitedest orthogonale au planPdonc par définition, il existe deux droitesd1etd2sécantes dePtelles quedsoit orthogonale àd1etd2. Soient−→u,−v→1et−v→2des vecteurs directeurs respectifs ded,d1etd2.
−
→uest orthogonal à−v→1et−→v2, vecteurs non colinéaires dePdonc−→uest normal àP.
D’après la propriété 13,−→uest orthogonal à tout vecteur dePen particulier à−→w, un vecteur directeur de∆, et doncdet∆sont orthogonales.
Propriété 15 (admise)
Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.
Remarque
Un vecteur normal à un plan est un vecteur directeur de toutes les droites orthogonales au plan.
Un droite de vecteur directeur−→u est donc orthogonale à un plan de vecteur normal→−n si, et seule- ment si,−→u et−→n sont colinéaires.
Propriété 16 (admise)
Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal de l’un est colinéaire à un vecteur normal de l’autre.
Définition 7
Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, l’un contient une droite orthogonale de l’autre.
Exemple
Propriété 17 (admise)
Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.
Exercices no38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 - 45 - 46 p 356 - 357 (C) Equation cartésienne d’un plan
Propriété 18 : Propriété caractéristique d’un plan
Soit−→n un vecteur non nul etP le plan passant par A et de vecteur normal−→n. Un point M appartient au planP si, et seulement si,−−→
AM.−→n =0
Démonstration
Si M appartient au planPpassant par A et de vecteur normal−→n, alors−−→
AM est un vecteur dePet donc−−→
AM.−→n=0.
Réciproquement, supposons que−−→AM.−→n=0. Soit H le projeté orthogonal de M surP. Alors−−→
AM.−→n=(−→
AH+−−→
HM).−→n=−→
AH.→−n+−−→
HM.−→n=0+−−→
HM.−→n=−−→
HM.→−n. Or−−→AM.−→n=0 donc HM×k−→nk =0 donc HM=0 cark−→nk 6=0.
Par conséquent M=H et donc M∈P
Propriété 19
Dans un repère orthonormé de l’espace,
lL’ensemble des points M(x;y;z) tels queax+b y+c z+d=0 avec (a,b,c)6=(0, 0, 0) est un plan de vecteur normal−→n(a;b;c).
lTout plan admet une équation de la formeax+b y+c z+d=0 avec (a,b,c)6=(0, 0, 0). Cette équation est appeléeéquation cartésiennedu plan
Démonstration
lComme (a,b,c)6=(0, 0, 0), il existe (x0;y0;z0) tels queax0+b y0+c z0+d=0.
Doncd= −ax0−b y0−c z0
Soit un point M(x;y;z) qui vérifieax+b y+c z+d=0⇐⇒a(x-x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.
En posant A(x0;y0;z0) et→−n(a;b;c), on aax+b y+c z+d=0⇐⇒−−→AM.−→n=0.
D’après la propriété 18, l’ensemble des points M(x;y;z) tels queax+b y+c z+d=0 est le plan passant par A et de vecteur normal−→n. lSoitPle plan passant par A(x0;y0;z0) et de vecteur normal→−n(a;b;c)
M(x;y;z)∈P⇐⇒−−→
AM.−→n=0⇐⇒a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
⇐⇒ax+b y+c z+d=0 en posantd= −ax0−b y0−c z0
Exemple
L’ensemble des points M(x;y;z) tels que 4x+y+2z−4=0 est un plan P de vecteur normal
−
→n(4; 1; 2). A(0 ;0 ;2), B(0 ;4 ;0) et C(1 ;0 ;0) sont des points non alignés deP.P est le plan (ABC).
Equation des plans de coordonnées
lx=0 est une équation du plan (yOz) : ceci signifie qu’un point appartient au plan (yOz) si, et seulement si, ses coordonnées sont de la forme (0;y;z) avecy,zréels.
ly=0 est une équation du plan (xOz)
lz=0 est une équation du plan (xOy)
Exercices no47 - 48 - 49 - 50 - 51 - 52 - 53 - 54 - 55 - 56 - 57 - 58 - 59 - 61 - 62 - 63 - 64 p 357 - 358 Exercices no65 - 66 - 67 - 68 - 69 - 70 - 71 p 358 - 359
Exercices no99 - 109 - 110 - 111 p 363 à 366
