Produit scalaire dans l’espace et applications
I- Produit scalaire dans l’espace
Soit #»u et #»v deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points de l’espace tels que#»u =# »
AB et #»v = # » AC.
Il existe au moins un planP contenant les points A, B et C.
Le produit scalaire des vecteurs #»u et #»v, noté #»u·#»v, est le produit scalaire # » AB·# »
AC calculé dans le planP. Définition
Les formules, les propriétés et les règles de calcul du produit scalaire dans le plan s’étendent naturellement au produit scalaire dans l’espace.
• # » AB·# »
AC = AB×AC×cosBAC ou[ #»u·#»v =k#»uk × k#»vk ×cos (#»u;#»v).
• # » AB·# »
AC = 12
AB2+ AC2−BC2
ou #»u·#»v =12
k#»uk2+k#»vk2− k#»u−#»vk2 .
• Dans un repère orthonormé, on a donc 1) #»u ·#»v =xx0+yy0+zz0.
2) k#»uk=p
x2+y2+z2. Exemple
Soit A(5; 5; 5) et B(−1; 2; 2).
1) Déterminer le milieu de [AB] et la distance AB.
2) En déduire une équation de la sphère de diamètre [AB].
II- Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
1) Droites orthogonales
SoitDune droite de vecteur directeur#»u et∆une droite de vecteur directeur#»v. Les droitesDet∆sontorthogonalessi et seulement si #»u·#»v = 0
Définition Droites orthogonales
#»u #»v
#»v
∆
#»u D
Figure1 – Droites orthogonales
2) Vecteurs orthogonaux
#»u⊥#»v ⇐⇒ #»u ·#»v = 0 Théorème
Dans un repère orthonormé,
#»u⊥#»v ⇐⇒ xx0+yy0+zz0= 0 Théorème
Exemple
Soit A(5; 5; 5) et B(−1; 2; 2).
1) Justifier que M appartient à la sphère de diamètre [AB] si, et seulement si,# » MA·# »
MB = 0.
2) En déduire une équation de la sphère de diamètre [AB].
3) Orthogonalité d’une droite et d’un plan
SoitDune droite de vecteur directeur#»u etP un plan de vecteurs directeurs→− v et−→
v0 . On dira que Det P sont orthogonaux et on notera D⊥P si et seulement si #»u⊥#»v et #»u⊥#»
v0 c’est à dire si et seulement si #»u·#»v = 0 et#»u ·#»
v0= 0
Propriété Orthogonalité d’une droite et d’un plan
P
d1
d2 D
#»u
#»v v#»′
Figure2 – Orthogonalité d’une droite et d’un plan Exemple
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que (AG) est perpendiculaire au plan (BDE).
RemarqueSi #»u est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du planP, alors #»u est orthogonal à tout vecteur du planP. On peut ainsi démontrer le théorème de géométrie dans l’espace « Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan ».
4) Vecteur normal à un plan
Un vecteur non nul #»n est normal à un planP s’il est orthogonal à tous vecteurs deP. Définition
P
#»n
Figure3 – vecteur normal à un plan Exemple
Soit A(3;−1; 4), B(0; 5; 1), C(0;−1;−1) et #»n(5; 1;−3).
1) Montrer que (ABC) est un plan.
2) Montrer que #»nest un vecteur normal de (ABC).
a) Plans parallèles
Voici une utilisation bien pratique de la notion de vecteur normal :
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Propriété Plans parallèles
P1
P2
n# »1
n# »2
Figure4 – Plans parallèles
b) Plans perpendiculaires
En voici une autre souvent utile en exercice :
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Propriété Plans perpendiculaires
P1
P2 n# »1
n# »2
Figure5 – Plans perpendiculaires
Exemple
soit A et B deux points distincts de l’espace.
Déterminer l’ensemble des points M tels que
# » AB·# »
MA +# » MB
= 0.
III- Equations cartésiennes de plan
Soit A un point de l’espace et #»n un vecteur non nul.
L’ensemble des points M tels que # »
AM·#»n = 0 est le planP passant par A et de vecteur normal #»n. Propriété
P
A
#»n
M
Dans un repère orthonormé
O ;#»ı , #» , #»
k
, un plan de vecteur normal #»n
a b c
a une équation de la forme :
ax+by+cz=doùd∈R. On dit que c’est une équation cartésienne du plan.
Propriété
Démonstration
SoitP un plan passant par A de coordonnées (xA, yA, zA) et de vecteur normal #»n
a b c
. Alors M de coordonnées (x, y, z) appartient àP si, et seulement si # »
AM⊥#»n, c’est à dire
# »
AM·#»n =a(x−xA) +b(y−yA) +c(z−zA)
=ax+by+cz−(axA+byA+cyA)
= 0 C’est à dire encore, en posantd=axA+byA+czA,
M(x;y;z)∈ P ⇐⇒ ax+by+cz=d .
Exemple
Déterminer une équation cartésienne du planP passant par A(1;−2; 2) et de vecteur directeur #»n
−1 1 4
Soita,b,cetd4 réels aveca,b,cnon nuls.
L’ensemble des points M(x;y;z) de l’espace vérifiantax+by+cz=dest un plan de vecteur normal #»n
a b c
.
Propriété Réciproquement
Exemple
SoitP le plan d’équation :x−4y+ 7 = 0 etQle plan d’équationx+ 2y−z+ 1 = 0.
Dire si ces plans sont sécants ou non, perpendiculaires ou non.
