¨ ~ r “ C, ce qui d´ efini un plan perpendiculaire ` a ~ k

Corrig´e du DS du 29 Mars

I R´ eflexion d’une OPPH sur une plaque m´ etallique II Superposition de deux ondes planes progressives

3.1.1.1 La phase est constante, ` a t donn´ e, pour ~ k

¨ ~ r “ C, ce qui d´ efini un plan perpendiculaire ` a ~ k

dans l’espace.

3.1.1.2 En O, ~ r “ Ý Ñ 0 . On a donc Ý Ñ

E

pO, tq “ Ý Ñ

E

pO, tq puisque la partie temporelle est identique dans les deux ondes.

3.1.1.3 D´ emonstration archiclassique ! Dans le vide, la densit´ e de charge ρ et la densit´ e de courants ~j sont nulles, ce qui donne les ´ equations suivantes :

div Ý Ñ

E “ 0 pMaxwell ´ Gaussq (1)

div Ý Ñ

B “ 0 pMaxwell ´ Thomsonq (2)

Ý Ñ rot Ý Ñ

E “ ´ B Ý Ñ B

Bt pMaxwell ´ Faradayq (3)

Ý Ñ rot Ý Ñ

B “

µ

B Ý Ñ E

Bt pMaxwell ´ Amp` ereq (4) On cherche ` a coupler les ´ equations entre elles. On commence par prendre la d´ eriv´ ee par rapport au temps de l’´ equation (4) ce qui donne

B

Bt p Ý rot Ñ Ý Ñ B q “ µ

ε

B Bt

˜ B Ý Ñ

E Bt

¸

En inversant ` a gauche d´ eriv´ ee temporelle et d´ eriv´ ee spatiales, on obtient Ý Ñ

rot

˜ B Ý Ñ

B Bt

¸

“ µ

ε

B

Ý Ñ E Bt

Or

B Ý Ñ B

Bt “ ´ Ý rot Ñ Ý Ñ E donc

Ý Ñ rot

´

´ Ý rot Ñ Ý Ñ E

¯

“ µ

ε

B

Ý Ñ E Bt

On utilise alors le fait que Ý rotp Ñ Ý rot Ñ Ý Ñ E q “ ÝÝÑ

gradpdiv Ý Ñ E q ´ ∆ Ý Ñ E et div Ý Ñ E “ 0 pour ´ ecrire

∆ Ý Ñ

E “ µ

ε

B

Ý Ñ E Bt

soit en regroupant les termes, l’´ equation de propagation du champ magn´ etique

∆ Ý Ñ

E ´

µ

B

Ý Ñ

E

Bt

“ Ý Ñ 0

En coordonn´ ees cart´ esiennes, le laplacien se r´ eduit ici aux d´ eriv´ ees de E

par rapport ` a y et z, de sorte que

∆ Ý Ñ E “

ˆ B

E

By

` B

E

Bz

˙

~ u

En d´ ecomposant le vecteur d’onde

~ k “ k

~ u

` k

~ u

ñ ~ k ¨ ~ r “ k

y ` k

z et donc

∆ Ý Ñ E “ E

~ u

pp´jk

q

` p´jk

q

q “ ´ Ý Ñ E k

En injectant chacune des deux OPPH dans l’´ equation de propagation, on obtient alors

´k

Ý Ñ E ´

µ

Ý Ñ E pjωq

“ Ý Ñ 0 et ´ k

Ý Ñ E ´

µ

Ý Ñ E pjωq

“ Ý Ñ 0 On en d´ eduit en simplifiant par Ý Ñ

E que

k

“

µ

ω

et k

“

µ

ω

donc que les deux vecteurs d’onde on mˆ eme norme k (c’est une autre mani` ere d’obtenir la relation de dispersion).

3.1.2 Les deux ondes sont des ondes planes, on peut donc utiliser la relation de structure des ondes planes

Ý Ñ B “

~ k ^ Ý Ñ E ω

Compte tenu des notations et de la question, on d´ ecompose le vecteur d’onde

~ k

“ kpcos α~ u

´ sin α~ u

q et ~ k

“ kpcos α~ u

` sin α~ u

q On a alors

Ý Ñ B

“ k

ω pcos α~ u

´ sin α~ u

q ^ E

~ u

“ kE

ω p´ cos α~ u

´ sin α~ u

q et

Ý Ñ B

“ k

ω pcos α~ u

` sin α~ u

q ^ E

~ u

“ kE

ω p´ cos α~ u

` sin α~ u

q 3.1.3.1

Ý

Ñ E

“ E

exppjωtqpexpp´j~ k

¨ ~ rq ` expp´j~ k

¨ ~ rqq~ u

En d´ ecomposant le produit scalaire avec le vecteur d’onde

Ý

Ñ E

“ E

exppjωtqpexpp´jkpy cos α ´ z sin αqq ` expp´jkpy cos α ` z sin αqqq~ u

soit Ý Ñ

E

“ E

exppjωtq expp´jky cos αqpexppjkz sin αq ` expp´jkz sin αqq~ u

ce qui donne finalement

Ý

Ñ E

“ 2E

exppjpωt ´ ky cos αqq cospkz sin αq~ u

On retrouve la formulation demand´ ee avec

β “ k cos α et E

pzq “ E

cospkz sin αq

3.1.3.2 Le champ total est une superposition de deux solutions de l’´ equation d’onde. L’´ equation d’onde est lin´ eaire, donc la somme de deux solutions est toujours solution de l’´ equation d’onde.

3.1.3.3 La fonction cos est une fonction de p´ eriode 2π. La p´ eriode spatiale p de cospkz sin αq vaut donc p “ 2π

k sin α et en introduisant la longueur d’onde dans le vide λ “

p “ λ sin α 3.1.3.4 La phase du champ total est le terme de propagation

ϕ “ ωt ´ ky cos α

La phase se propage donc dans la direction y avec une vitesse de phase qui est la vitesse du plan d’onde v

“ dy

dt “ d dt

ˆ ωt ´ ϕ k cos α

˙

“ ω

k cos α “ c cos α La vitesse de phase est donc sup´ erieure ou ´ egale ` a c ! !

3.1.4.1 Comme on a calcul´ e les champs magn´ etiques des ondes planes, on va en faire la somme avec la mˆ eme m´ ethode que pour Ý Ñ

E . On d´ ecompose sur chaque axe pour conserver des expressions qui tiennent sur une ligne !

B

“ kE

ω exppjωtqp´ sin α expp´j~ k

¨ ~ rq ` sin α expp´j~ k

¨ ~ rqq soit

B

“ kE

ω exppjωtq sin αp´ expp´j~ k

¨ ~ rq ` expp´j~ k

¨ ~ rqq “ kE

ω exppjωtq sin αfpy, zq En d´ ecomposant le produit scalaire avec le vecteur d’onde

f py, zq “ ´ expp´jkpy cos α ´ z sin αqq ` expp´jkpy cos α ` z sin αqq soit

f py, zq “ expp´jky cos αqpexpp´jkz sin αq ´ exppjkz sin αqq “ ´2i expp´jky cos αq sinpkz sin αq qui donne finalement

B

“ ´2i kE

ω exppjpωt ´ ky cos αqq sin α sinpkz sin αq et en notation r´ eelle

B

“ 2 kE

ω sinpωt ´ ky cos αq sin α sinpkz sin αq Ce champ est longitudinal puisqu’il est selon la direction de propagation.

On fait de mˆ eme pour B

, on a cette fois ci un cos α en facteur et une somme d’exponentielle qui donne un terme en ´ cospkz sin αq soit

B

“ ´2 kE

ω exppjpωt ´ ky cos αqq cos α cospkz sin αq et en notation r´ eelle

B

“ ´2 kE

ω cospωt ´ ky cos αq cos α cospkz sin αq

qui est perpendiculaire ` a la direction de propagation.

3.1.4.2 Contrairement ` a l’onde plane, on a ici un champ magn´ etique qui n’est pas perpendiculaire ` a la direction de propagation.

3.1.4.3 Pour α “ 0, cos α “ 1 et sin α “ 0 Ý

Ñ E

“ 2E

exppjpωt ´ kyqq~ u

soit en notation r´ eelle

Ý

Ñ E

“ 2E

cospωt ´ kyq~ u

et

B

“ 0 B

“ ´2 kE

ω exppjpωt ´ kyqq soit en notation r´ eelle

Ý

Ñ B

“ ´2 kE

ω cospωt ´ kyq~ u

On retrouve donc une onde plane, transversale.

Pour α “ π{2 cos α “ 0 et sin α “ 1 Ý

Ñ E

“ 2E

exppjpωtqq cospkzq~ u

soit en notation r´ eelle

Ý

Ñ E

“ 2E

cospωtq cospkzq~ u

et

B

“ ´2i kE

ω exppjpωtqq sinpkzq B

“ 0 soit en notation r´ eelle

Ý

Ñ B

“ 2 kE

ω sinpωtq sinpkzq~ u

3.2.1 Le champ total vaut Ý

Ñ E

“ 2E

exppjpωt ´ ky cos αqq cospkz sin αq~ u

On calcule

|E|

“ 2E

cospωt ´ ky cos αq cospkz sin αq2E

cospωt ´ ky cos αq cospkz sin αq ce qui donne

|E|

“ 4E

cos

pkz sin αq cos

pωt ´ ky cos αq En moyenne temporelle, xcos

pωt ´ ky cos αqy “ 1{2, donc

x|E|

y “ 2E

cos

pkz sin αq

3.2.2.1 Les surfaces d’intensit´ e maximale se situent l` a o` u le cos est maximal, soit cos

pkz sin αq “ 1 ñ kz sin α “ nπ ñ z

“ n π

k sin α Les surfaces d’intensit´ e minimale se situent l` a o` u le cos est minimal, soit

cos

pkz sin αq “ 0 ñ kz sin α “ p2n ` 1q π

2 ñ z

“ p2n ` 1q π 2k sin α En introduisant la longueur d’onde

z

“ n λπ

2π sin α “ n λ 2 sin α et

z

“ p2n ` 1q λπ

4π sin α “ p2n ` 1q λ 4 sin α

3.2.2.2 Dans le plan y “ 0, on observe des surfaces alternativement sombres (z

) et lumineuses (z

) pour des z constants, donc parall` eles ` a l’axe Ox. L’interfrange est la distance entre deux franges successives de mˆ eme nature

i “ z

´ z

“ λ 2 sin α 3.3.1.1 Le vecteur de Poynting est donn´ e par

Ý Ñ R “

Ý Ñ E ^ Ý Ñ

B µ

en prenant soin d’utiliser les champs r´ eels, soit ici

Ý

Ñ R “ E

~ u

^ pB

~ u

` B

~ u

q µ

“ E

B

~ u

´ E

B

~ u

µ

En d´ eveloppant et en d´ ecomposant sur chaque axe

R

“ 2E

cospωt ´ ky cos αq cospkz sin αq2

sinpωt ´ ky cos αq sin α sinpkz sin αq µ

et

R

“ ´2E

cospωt ´ ky cos αq cospkz sin αqp´2

cospωt ´ ky cos αq cos α cospkz sin αqq µ

donc

R

“ 4kE

cospωt ´ ky cos αq sinpωt ´ ky cos αq cospkz sin αq sinpkz sin αq sin α ωµ

soit en utilisant cos a sin a “ 1{2 sinp2aq

R

“ kE

sinp2ωt ´ 2ky cos αq sinp2kz sin αq sin α ωµ

et

R

“ 4kE

cos

pωt ´ ky cos αq cos

pkz sin αq cos α

ωµ

En moyenne temporelle, xR

y “ 0 et

xR

y “ 2kE

cos

pkz sin αq cos α ωµ

et donc finalement

x Ý Ñ

R y “ 2kE

cos

pkz sin αq cos α ωµ

~ u

Les lignes de champ du vecteur de Poynting se situent donc sur ~ u

et repr´ esentent la direction de propa- gation de l’´ energie, puisque le vecteur de Poynting est le vecteur densit´ e d’´ energie ´ electromagn´ etique.

3.3.1.2 ? ? ? ?

3.3.1.3 p (qui n’est pas le mˆ eme que dans la question 3.1.3.3 !) est la distance entre deux maximums successifs de x Ý Ñ

R y, donc deux maximums successifs du cos

pkz sin αq, donc (cf 3.2.2.1) p “ λ

2 sin α “ i

La p´ eriode spatiale du vecteur de Poynting est donc ´ egale ` a l’interfrange.

3.3.1.4 la puissance moyenne est donn´ ee par P “ ť x Ý Ñ

R yd Ý Ñ S donc P “

ij

lx,lz

2kE

cos

pkz sin αq cos α

ωµ

~ u

¨ ~ u

dxdz “ 2kE

cos α ωµ

ij

lx,lz

cos

pkz sin αqdxdz

On indique ici que la surface est grande devant la p´ eriode spatiale, ce qui implique qu’il faut moyenner le cos

pkz sin αq sur une grande surface, ce qui implique que l’int´ egration sur la surface du cos

pkz sin αq va simplement donner un facteur 1{2, donc

P “ kE

cos α ωµ

l

l

3.3.2.1 Par d´ efinition

u “ ε

E

2 ` B

2µ

On s’int´ eresse ici ` a la moyenne temporelle est spatiale de cette grandeur, donc cos

pkz sin αq et sin

pkz sin αq vont simplement donner un facteur 1{2, de mˆ eme que xcos

pωt´ky cos αqy “ 1{2 et xsin

pωt´ky cos αqy “ 1{2. On a donc, en valeur moyenn´ ees sur le temps et l’espace

x|E|

y “ E

pour le champ magn´ etique B

“ B

` B

donc en moyenne temporelle et spatiale xB

y “ k

E

ω

sin

α ` k

E

ω

cos

α “ k

E

ω

On a donc finalement, en moyenne temporelle et spatiale

xuy “ ε

E

2 ` k

E

ω

1 2µ

Hors k

{ω

“ 1{c

et µ

ε

c

“ 1 donc

xuy “ ε

E

2 ` ε

E

2 “ ε

E

3.3.2.2 L’´ energie qui traverse S pendant dt est ´ egale ` a P dt, donc dE “ kE

cos α

ωµ

l

l

dt “ cε

E

cos αl

l

dt

Par ailleurs, en appelant v

la vitesse de propagation de l’´ energie, l’´ energie dE est contenue dans un cylindre de longueur V

dt et de surface l

l

. on peut donc calculer

dE “ xuyv

dtl

l

“ ε

E

v

dtl

l

En identifiant les deux expressions, on obtient

v

“ c cos α

La vitesse de propagation de l’´ energie est dont inf´ erieure ou ´ egale ` a c (ouf !) et on trouve une relation simple

v

v

“ c

qui est en fait une relation tr` es g´ en´ erale.

3.3.2.3

Quand α “ 0, la superposition des ondes donne une onde plane. La vitesse de propagation de l’´ energie est

´

egale ` a la vitesse de phase. A l’oppos´ e, quand α “ π{2, l’onde est stationnaire et la vitesse de propagation

de l’´ energie est nulle. Entre les deux, on a une onde qui n’est ni stationnaire ni progressive, mais un

m´ elange entre les deux.