Groupe I Exercice 1 :
Soit un triangle ABC quelconque, et I milieu de [BC].
Tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par B, elle coupe la droite (AI) en D.
Soit E le symétrique de D par rapport à I.
Démontrer que (CE) est perpendiculaire à (AB).
Exercice 2 :
Soit un triangle ABC tel que AB<AC<BC. La perpendiculaire à (BC) passant par A coupe (BC) en H.
Soient I, J, K les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
Démontrer que le quadrilatère JIHK a 2 côtés parallèles et les 2 autres de la même longueur.
Groupe II Exercice 1 :
Soit un triangle ABC quelconque, et I milieu de [BC].
Tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par B, elle coupe la droite (AI) en D.
Soit E le symétrique de D par rapport à I.
Démontrer que :
1) I est le milieu de [DE].
2) BECD est un parallélogramme.
3) (CE) est perpendiculaire à (AB) Exercice 2 :
Soit un triangle ABC tel que AB<AC<BC. La perpendiculaire à (BC) passant par A coupe (BC) en H.
Soient I, J, K les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
1. Démontrer que (HI) est parallèle à (KJ).
2. Comparer IJ et AB.
3. Démontrer que KH = 2 1AB.
4. Comparer IJ et KH.
Groupe III Exercice 1 :
Soit un triangle ABC quelconque, et I milieu de [BC].
Tracer la droite perpendiculaire à (AB) passant par B, elle coupe la droite (AI) en D.
Soit E le symétrique de D par rapport à I.
Démontrer que :
1) I est le milieu de [DE].
2) BECD est un parallélogramme 3) (EC) est parallèle à (BD) 4) (CE) est perpendiculaire à (AB)
Outils à utiliser (pas tous , il faut savoir choisir parfois) :
• dire que A’ est le symétrique de A par rapport à O revient à dire que O est le milieu de [AA’].
• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu.
• Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.(info : les supports des côtés en réalité)
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
• Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Exercice 2 :
Soit un triangle ABC tel que AB<AC<BC. La perpendiculaire à (BC) passant par A coupe (BC) en H.
Soient I, J, K les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
1. Démontrer que (KJ) est parallèle à (BC).
2. En déduire que (KJ) est parallèle à (HI).
3. Démontrer que IJ = 2 1AB.
4. Que représente [KH] pour le triangle AHB ? 5. Démontrer que KH =
2 1AB.
6. En conclure que IJ = KH.
Outils :
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse.
Le segment qui joint les milieux de 2 côtés d’un triangle a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
Si une droite passe par les milieux de 2 côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle.
