N°2 page 206

(1)

Corrigés d’exercices / Version de décembre 2012

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 206 : N°2, 4, 7, 8

Page 207 : N°10, 14

Page 211 : N°51 Page 212 : N°53

N°2 page 206

Données

Le segment

[ ]

^AB est un diamètre du cercle

C

^.

Le centre du cercle

C

est le point O.

Propriété

Le milieu d’un diamètre d’un cercle est le centre de ce cercle.

Conclusion

Le point O est le milieu du segment

[ ]

^AB ^.

Données

[ ]

^AB ^.

Le point J est le milieu du segment

[

^AM

]

^.

Propriété

La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

Conclusion

La droite

( )

^OJ est parallèle à la droite

(

^MB

)

^.

Le résultat est établi.

(2)

N°4 page 206

1. On travaille dans le triangle ARP.

Données

Le segment

[ ]

^AR est un diamètre du cercle

C

₁, de centre O₁. Le segment

[ ]

^AP est un diamètre du cercle

C

₂, de centre O₂. Propriété

Le milieu d’un diamètre d’un cercle est le centre de ce cercle.

Conclusion

Le point O est le milieu du segment ₁

[ ]

^AR ^.

Le point O est le milieu du segment ₂

[ ]

^AP ^.

Données

[ ]

^AR ^.

[ ]

^AP ^.

Propriété

La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

Conclusion

La droite

(

O O1 2

)

est parallèle à la droite

( )

^RP ^.

La droite

(

O O1 2

)

est parallèle à la droite

( )

^RP ^.

2. Toujours dans le triangle ARP : Données

[ ]

^AR ^.

[ ]

^AP ^.

1 2

O O =5 cm Propriété

Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Conclusion

1 2

O O 1 RP

= ×2 .

(3)

On en tire alors : RP= ×2 O O₁ ₂= × =2 5 10.

La longueur RP est égale à 10 cm.

N°7 page 206

a. VRAI !

Soit les droites

( )

^SI ^et

( )

^TP admettant comme sécante commune la droite

( )

^OT ^.

Dans ces conditions, les angles OSI et n OTP sont correspondants. n

Comme ils sont, d’après le codage de la figure, de même mesure on en déduit que les droites

( )

^SI ^et

( )

^TP sont parallèles.

Données

Dans le triangle OTP :

• Le point S est le milieu du segment

[ ]

^OT ^.

• Le point I appartient au segment

[ ]

^OP ^.

• La droite

( )

^SI est parallèle à la droite

( )

^TP ^.

Propriété

Troisième théorème des milieux : dans un triangle, si une droite coupe un côté en son milieu et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Conclusion

Le point I, intersection de la droite

( )

^SI et du côté

[ ]

^OP est le milieu de

[ ]

^OP ^.

Le codage de la figure est donc correct : le point I est bien le milieu du segment

[ ]

^OP ^.

b. VRAI ! Données

Dans le triangle OPM :

• Le point I est le milieu du segment

[ ]

^OP ^.

• Le point J est le milieu du segment

[ ]

^OM ^.

Propriété

Premier théorème des milieux : dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

Conclusion

La droite

( )

^IJ est parallèle à la droite

( )

^PM ^.

(4)

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1. a) et b). On obtient :

2. N’oublions pas d’établir rigoureusement que le point O est le milieu du segment

[ ]

^AB ^!

Données

Le segment

[ ]

^AB est un diamètre du cercle

C

de centre O.

Propriété

Le milieu du diamètre d’un cercle est le centre de ce cercle.

Conclusion

[ ]

^AB ^.

Données

Dans le triangle ABM :

• Le point O est le milieu du segment

[ ]

^AB ^.

• La droite

( )

^OJ est parallèle à la droite

(

^BM

)

^.

(5)

• Le point J appartient au côté

(

^AM

)

^.

Propriété

Troisième théorème des milieux : dans un triangle, si une droite coupe un côté en son milieu et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Conclusion

Le point J, intersection de la droite

( )

^OJ et du côté

(

^AM

)

est le milieu de

[ ]

^AM ^.

Le point J est le milieu du segment

[

^AM

]

^.

N°10 page 207

1. a) et b).

2. Les points A et E appartiennent à la même demi-droite

( )

^d issue de O et sont les points d’intersection respectifs de cette demi-droite avec le cercle

C (

^O,^r

)

et avec le cercle

( )

' O, 2r

C

. Les points O, A et E sont donc alignés dans cet ordre et on a : 1

OA OE

= 2 .

(6)

On en déduit ainsi que le point A est le milieu du segment

[ ]

^OE ^.

De façon similaire, on montre que le point B est le milieu du segment

[ ]

^OF ^.

Les points A et B sont les milieux respectifs des segments

[ ]

^OE ^et

[ ]

^OF ^.

3. On utilise directement les résultats que nous venons d’obtenir : Données

Dans le triangle OEF :

• Le point A est le milieu du segment

[ ]

^OE ^.

• Le point B est le milieu du segment

[ ]

^OF ^.

Propriété

Conclusion

La droite

( )

^AB est parallèle à la droite

( )

^EF ^.

Les droites

( )

^AB ^et

( )

^EF sont parallèles.

4. On va cette fois utiliser le deuxième théorème des milieux … Données

• Le point A est le milieu du segment

[ ]

^OE ^.

• Le point B est le milieu du segment

[ ]

^OF ^.

Propriété

Conclusion

AB 1 EF

= ×2 .

D’où, immédiatement : EF= ×2 AB.

EF= ×2 AB

(7)

N°14 page 207

Données

Dans le triangle ABC :

• Le point E appartient au segment

[ ]

^AB ^.

• Le point F appartient au segment

[ ]

^AC ^.

• La droite

( )

EF est parallèle à la droite

( )

^{BC .}

Propriété

Le théorème de Thalès Conclusion

AE AF EF

AB= AC =BC

Données

Dans le triangle ADC :

• Le point G appartient au segment

[ ]

^AD ^.

• Le point F appartient au segment

[ ]

^AC ^.

• La droite

( )

FG est parallèle à la droite

( )

^{DC .}

Propriété

AF AG FG

AC = AD =DC

Le rapport apparaissant dans les deux égalités obtenues, il vient finalement :

AF AE EF AG FG

AC = AB= BC= AD =DC

(8)

N°51 page 211

1. On a d’abord : Données

Dans le triangle BCE :

• Le point K est le milieu du segment

[ ]

^EC ^.

[ ]

^BC ^.

Propriété

Conclusion

La droite

( )

^JK est parallèle à la droite

( )

^EB ^.

Données

Dans le triangle BAC :

[ ]

^BA ^.

[ ]

^BC ^.

Propriété

Conclusion

La droite

( )

^IJ est parallèle à la droite

( )

^AC ^.

Comme

( ) ( )

^{JK / / EB} ^,

( ) ( )

^{IJ / / AC} et, par hypothèse,

( ) ( )

^{AC / / EB} , il vient immédiatement :

( ) ( )

^{JK / / IJ} ^.

Données

( ) ( )

^{JK / / IJ}

Propriété

Deux droites parallèles admettant un point commun sont confondues.

Conclusion

Les droites

( )

^IJ ^et

( )

^JK sont confondues : les points I, J et K sont donc alignés.

On a même, vu la disposition des triangles ABC et BCE : ^J^∈

[ ]

^IK ^.

(9)

2. Il est encore une fois question de longueurs ici et on s’oriente « tranquillement » vers une utilisation du second théorème des milieux.

Données

Dans le triangle BCE :

• Le point K est le milieu du segment

[ ]

^EC ^.

[ ]

^BC ^.

Propriété

Conclusion

KJ 1 BE

= ×2 . Données

Dans le triangle BAC :

[ ]

^BA ^.

[ ]

^BC ^.

Propriété

Conclusion

IJ 1 AC

= ×2 .

Comme ^J^∈

[ ]

^IK , on a : IK= +IJ KJ. Par ailleurs, on a : 1

IJ AC

= ×2 et 1

KJ BE

= ×2 . D’où : ÎK ÎJ ^KJ ¹ ÂC ¹ ^BE ¹

(

^{AC BE}

)

2 2 2

= + = × + × = × + .

Finalement : 2IK=AC+BE.

2IK=AC BE+

N°53 page 212

La figure semble « offrir » relativement peu d’informations ! Rassurez-vous, il y en a suffisamment pour pouvoir répondre à la question posée. Ceci dit, cet exercice réunit

plusieurs difficultés rencontrées dans divers autres exercices (notamment 14 et 16 page 207).

(10)

L’unité des longueurs manipulées ci-dessous est le centimètre.

Nous notons x la longueur cherchée à savoir TD.

Comme T est un point du segment

[ ]

ÂD ^{, on a :}ÂD⁼ÂT⁺^TD⁼^{4, 2}⁺^x

Données

Dans le triangle ABC :

• Le point M appartient au segment

[ ]

^AB ^.

• Le point R appartient au segment

[ ]

^AC ^.

• La droite

(

MR est parallèle à la droite

) ( )

^{BC .}

MR=3, 4 et BC=5,1. Propriété

AM AR MR

AB = AC= BC d’où AM AR 3,4 AB = AC = 5,1 Données

Dans le triangle ADC :

• Le point T appartient au segment

[ ]

^{AD .}

• Le point R appartient au segment

[ ]

^AC ^.

• La droite

( )

^RT est parallèle à la droite

( )

^DC ^.

AT=4, 2 et AD=4, 2+x. Propriété

AR AT RT

AC = AD= CD d’où AR 4,2 RT AC = 4, 2 x=CD

+ Le rapport AR

AC est commun aux deux égalités obtenues. On a donc :

AR AM 3,4 4,2 RT

AC = AB = 5,1=4, 2 x=CD +

Pour déterminer x, on va donc utiliser l’égalité : 3,4 4,2 5,1=4, 2 x

+ .

(11)

On a d’abord : 3,4 34 2 17 2 5,1 51 3 17 3

= = × =

× . On a donc : 4,2 2

4, 2 x=3 + .

On effectue le produit en croix : ^{3 4, 2}^× ^{= ×}²

(

^{4, 2}⁺^x

)

^.

On développe le membre de droite (surtout ne pas effectuer les calculs !) : 3 4, 2× = ×2 4, 2 2+ ×x

Alors : 3 4, 2× − ×2 4, 2= ×2 4,2 2+ ×x−2 4, 2× . Soit : 4, 2= ×2 x.

D’où : 4, 2 2 2,1 x= = .

La longueur TD vaut 2,1 centimètres.