ENFA - Bulletin n°12 du groupe PY-MATH –mars 2004 page 49 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr
BOITE A OUTILS ET DEDUCTOGRAMMES
Parmi les difficultés des élèves pour résoudre un problème, on peut en distinguer au moins deux.
Repérer les outils (à prendre dans un sens très général) les plus performants pour répondre à la question posée et organiser les arguments de la démonstration.
Voici deux exercices de géométrie pour tenter d’y remédier. Quelques commentaires sont donnés en dernière page.
Exercice 1 : argumenter en utilisant une boite à outils Voici les données :
D1 : Le cercle ( C ) de centre O a pour rayon 5.
D2 : Le segment [AB] est un diamètre du cercle ( C ).
D3 : Le point E est un point du cercle ( C ) tel que : AE = 4.
D4 : Le point F est le milieu du segment [AE].
D5 : Le point I est l'image du point B par la translation qui transforme O en E.
D6 : Les segments [BE] et [OI] se coupent au point J.
Voici les questions :
Q1 : Démontrer que le triangle ABE est rectangle en E.
Q2 : Démontrer que la longueur BE est égale à 2
21.
Q3 : Démontrer que les droites (OF) et (AE) sont perpendiculaires.
Q4 : Démontrer que la longueur OF est égale à
21. Q5 : Démontrer que le quadrilatère OBIE est un losange.
Q6 : Démontrer que le quadrilatère OJEF est un rectangle.
O
A
B
E
F I
J
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La boite à outils:.
Elle est fournie page suivante ; volontairement, quelques énoncés manquent!
Il est demandé de remplir le tableau réponse et de compléter le dessin au fur et à mesure de l'avancée de l'exercice.
Tableau réponse :
Question Q1 Q2 Q3
Donnée(s) ou résultat(s) de(s) la
question(s) Outil(s)
Figure
Conclusion
Question Q4 Q5 Q6
Donnée(s) ou résultat(s) de(s) la
question(s) Outil(s)
Figure
Conclusion
O O O
O O O
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Boite à outils
N°1 N°2
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
N°3
A, B et C étant 3 points non alignés, si le point D est l'image de C par la translation qui transforme A en B, alors ABDC est un parallélogramme.
N°4
Soit ( C ) un cercle de centre O et A un point de ce cercle. La tangente en A au cercle ( C) est la droite perpendiculaire à (OA) passant par A.
N°5
Si un triangle a pour coté un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce diamètre.
N°6
Si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l'autre.
N°7 N°8
Dans un triangle isocèle, la médiane principale est à la fois médiatrice, hauteur et bissectrice.
N°9
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.
N°10
Si un parallélogramme a deux cotés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
N°11
Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses cotés parallèles 2 à 2.
N°12
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
N°13
Un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires est un losange.
N°14
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux cotés, alors elle est parallèle au troisième coté.
N°15
Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
N°16
Dans un triangle ABC, le point M étant sur [AB], le point N étant sur [AC], si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors on a :
AB AM =
AC AN =
BC MN.
N°17
Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M du plan tels que : OM = r.
N°18
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
N°19 N°20
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.
A
B
C M
N
A
B
C
D
O M
r A
B C
O A
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Exercice 2 : Organiser une démonstration en utilisant un schéma de démonstration
Voici une figure codée
Repérer :
Les données ou hypothèses : Rédiger un énoncé de l'exercice :
Démontrer que la droite (AK) coupe le segment [IJ] en son milieu.
Voici la boite à outils D1 ( définition ) :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles deux à deux.
P1 ( propriété ) :
La droite passant par les milieux de 2 cotés d’un triangle est parallèle au troisième coté.
P2 ( propriété ) :
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
Compléter :
Le schéma de démonstration
en indiquant au dessus des flèches les outils utilisés.
A
B
C I
J
K
