D124 – Trois petits exercices de géométrie de nos grands parents Solutions
Exercice n°1
Soit M le milieu de AD. Le segment EM qui joint les milieux des côtés CD et AD du triangle ACD est parallèle à AC. EM est donc perpendiculaire à la ligne AB et M qui est à
l’intersection des hauteurs AD et EM dans le triangle ABE est l’orthocentre de ce triangle.
Dès lors BM qui est la troisième hauteur est perpendiculaire à AE.
Par ailleurs BM qui joint les milieux des côtés AD et AF dans le triangle ADF est parallèle à DF. DF est donc perpendiculaire à AE.
Exercice n°2
Soit I le point d’intersection des bissectrices issues des sommets A et B dans le triangle ABC.
Soient a,b et c les angles BAI, CBI et BCI.
On a la relation : angle BIC = 180°-(b+c) = 90° + a. On en déduit que angle CEI = 180° - 90°
- a = 90°-a. D’où angle ECI = a.
Par ailleurs les points D,C,E et I sont cocycliques car les triangles CEI et CDI sont rectangles avec CI comme hypoténuse commune. On a donc angle EDI = angle ECI et angle BAI = angle EDI = a
Exercice n°3
L’angle CPA qui sous-tend l’arc AC est égal à 45°. Par ailleurs angle QPR = angle CPA.
Enfin, comme les points B,P,R et Q sont cocycliques, les angles QBR et RPQ sont égaux. Le triangle BQR est rectangle avec l’angle QBR égal à 45°.Il est donc également isocèle et BQ = RQ.
