DROITES ET PLANS DE LESPACE. I.

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DROITES ET PLANS DE L ESPACE.

I. Parallélisme dans l espace.

Toutes les propriétés et tous les théorèmes sont admis. Les figures sont page 268 du manuel.

Théorème

1

: Si une droite est parallèle à une droite d'un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

Exemple : ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs de [ AB ] et [AC ]. Montrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (DBC ).

Théorème 2 : Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Exemple : ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [ FG ] et [ EH]. M est un point du segment [ BC ]. Déterminer et tracer l'intersection des plans ( IJM) et (ABC ).

Théorème

3

: Si une droite est parallèles à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d’intersection.

Exemple : SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme. Construire l intersection des plans (SAD ) et (SBC ).

.

A

B

C D

I

J

A

B

C D

E

F G

H I J

M

(2)

Théorème 4 : Si deux droites sécantes d’un plan P sont parallèles à un même plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.

Exemple : ABCD est un tétraèdre. M est le milieu de [AB ], N celui de [ AC ] et P celui de [AD ]. Montrer que les plans ( MNP) et ( ABC) sont parallèles.

.

Théorème 5 (théorème du toit) : (sera démontré dans un prochain chapitre) : Si d et d sont deux droites parallèles contenues respectivement dans deux plans sécants P et Q, alors d et d' sont parallèles à la droite d'intersection de P et Q.

Exemple : ABCDEFGH est un cube

M est un point de [AB], N est le point de [EF] tel que (MN) est parallèle à (BF) et P est un point de [FG].

Construire l'intersection des plans (MNP) et (BFH). Justifier.

II. Orthogonalité dans l espace.

1. Orthogonalité de deux droites.

Définition : Deux droites D

1

et D

2

sont orthogonales s’il existe un plan P contenant deux droites d

1

et d

2

telles que :d

1

est parallèle à D

1

; d

2

est parallèle à D

2

; dans le plan P, d

1

et d

2

sont perpendiculaires.

Exemple : Dans le cube ABCDEFGH :

A

B D

C

E G

F H

A

B

D

C E

G

F

H

M N

P

A

B

D C

M

P N

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Ainsi deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

Conséquences :

Si deux droites d’un plan P sont perpendiculaires, alors elles sont orthogonales.

Si deux droites sont orthogonales et sécantes, alors elles sont perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.

2. Orthogonalité d une droite et d un plan.

Définition : Une droite perpendiculaire à un plan est une droite orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Théorème : Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan (et donc orthogonale à toutes les droites du plan).

ABCDEFGH

Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles.

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

A

B

D C

E G

F H