DROITES DU PLAN
Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, , ).
I. Vecteurs directeurs d'une droite
Comme son nom l'indique, le vecteur directeur d'une droite va diriger cette droite. Il donne sa direction.
Définition : Un vecteur est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe deux points distincts A et B de d tels que = .
Remarque : Un vecteur directeur d'une droite ne peut pas être nul car les points A et B sont distincts.
Théorème 1 : Soit A un point du plan et un vecteur non nul.
Il existe une unique droite du plan passant par A et ayant pour vecteur directeur .
Exemple 1 : Construire la droite passant par A et de vecteur directeur .
Correction :
Il faut construire un représentant du vecteur qui a pour origine A. On a .
Propriétés 1 :
1) Soit un vecteur directeur d'une droite d. Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si le vecteur est non nul et colinéaire à .
2) Soit A un point du plan, un vecteur non nul et d la droite passant par A et de vecteur directeur . Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Une droite a donc une infinité de vecteurs directeurs.
Rappel : et sont colinéaires si et seulement . (voir ch les vecteurs).
Exemple 2 : On considère la droite qui passe par A(-1;2) et dirigée par . Le point B(35; 52) appartient-il à d ?
Cherchez l'exemple avant de lire la correction. Si vous êtes bloqué, lisez l'indication en bleu et faites vos calculs.
On calcule les coordonnées de puis on calcule Si le déterminant est nul le point est sur la droite sinon il ne l'est pas.
;
; .
donc et sont colinéaires . Conclusion : B appartient à
Propriété 2 :Une droite de vecteur directeur et une droite de vecteur directeur sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires.
Exemple 3 : On considère les points A( 4 2) ; B(1 5) et d la droite de vecteur directeur directeur
. Les droites d et (AB) sont-elles parallèles ?
Cherchez l'exemple avant de lire la correction. Si vous êtes bloqué, lisez l'indication en bleu et faites vos calculs.
Il nous faut un vecteur directeur de chaque droite. Pour d, le vecteur est donné mais pour (AB) il faut calculer les coordonnées d'un vecteur directeur.
Il faut retenir que est un vecteur directeur de (AB). Attention aux notations !
;
; .
On étudie ensuite la colinéarité de et , en calculant un déterminant :
≠0 donc et ne sont pas colinéaires . Conclusion : n'est pas parallèle à (AB).
II. Equations d'une droite
On a déjà vu dans le chapitre des fonctions affine, que si est la fonction affine définie par
alors sa représentation graphique est la droite d'équation On va approfondir cette notion ici, et voir d'autres type d'équations de droite.
1. Equations cartésiennes d'une droite
Propriété 3:
1) Toute droite D du plan admet une équation cartésienne de la forme avec a et b réels non simultanément nuls et c réel. Le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur de cette droite. (A retenir)
2) Réciproquement, si sont trois réels avec et non simultanément nuls, alors l'ensemble des points M de coordonnées telles que est une droite.
Remarque : Une droite, ayant une infinité de vecteurs directeur, a une infinité d'équation cartésienne.
Quelque soit le réel k non nul, est aussi une équation cartésienne de la droite (AB).
Démonstration de la propriété 3 :
Si vous n'envisagez pas la spé maths l'an prochain, passez ce point. Et ce n'est pas parce que vous ne comprenez pas cette démonstration que vous ne suivrez pas en spé l'an prochain.
Cette démonstration est au programme. Essayez de la comprendre. Si vous n'y arrivez pas, ce n est « pas très grave ».
1) Soit un point de D et un vecteur directeur de D.
si et seulement si et sont colinéaires si et seulement si
si et seulement si =0
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si avec ; et . b α s'écrit aussi α b. Un vecteur directeur de D est .
2) admis.
Vous devez savoir refaire les exemples 4 à 7 :
Exemple 4: Soit d la droite d’équation . Les points C(2; −1) et D(−0,5; −1) appartiennent-ils à d ?
Cherchez l'exemple avant de lire la correction. Si vous êtes bloqué, lisez l'indication en bleu et faites vos calculs.
Méthode : On remplace par et par puis on calcule . Si on trouve 0, le point est sur la droite, sinon, il ne l'est pas.
Pour le point C : ≠0 donc
Pour le point D : ≠0 donc D ∈
Exemple 5: Soit A(1; 2) et
.
Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par A et de vecteur directeur .
Cherchez l'exemple avant de lire la correction. Si vous êtes bloqué, lisez l'indication en bleu et faites vos calculs.
L'équation de D est de la forme . Il faut donc trouver la valeur des coefficient , et . On commence par exploiter les coordonnées du vecteur directeur. On sait qu'un vecteur directeur de D a pour coordonnées .
Ici,
donc cad et .
dirige D donc une équation cartésienne de D est avec réel.
Pour trouver la valeur de , on utilise les coordonnées d'un point qui appartient à la droite :
A(1; 2) appartient à D donc ses coordonnées vérifient l'équation de D c'est à dire puis
d'où ; puis .
Exemple 6 : Soit A( 2; 4) et B(1;3). Déterminer une équation cartésienne de (AB).
Cherchez l'exemple avant de lire la correction. Si vous êtes bloqué, lisez l'indication en bleu et faites vos calculs.
L'équation de (AB) est de la forme . Il faut donc trouver la valeur des coefficients , et . On commence par calculer les coordonnées d'un vecteur directeur.
;
; . Un vecteur directeur de (AB) est
On sait qu'un vecteur directeur de (AB) a pour coordonnées . Ici, donc cad et .
donc une équation cartésienne de (AB) est avec réel.
Pour trouver la valeur de , on utilise les coordonnées d'un point qui appartient à la droite :
A( 2; 4) appartient à (AB) donc ses coordonnées vérifient l'équation de (AB) c'est à dire
puis d'où ; puis . On n'oublie pas de conclure :
est une équation cartésienne de la droite (AB).
Exemple 7 : Tracer dans un repère la droite d d'équation 5x 4y 6 0.
Cherchez l'exemple avant de lire la correction. Si vous êtes bloqué, lisez l'indication en bleu et faites vos calculs.
Pour tracer une droite il faut deux points ou un point et un vecteur directeur.
On va utiliser ici la méthode avec un point et un vecteur.
On commence par calculer les coordonnées d'un vecteur directeur :
; ; . Un vecteur directeur de a pour coordonnées cad .
On calcule ensuite les coordonnées d'un point . Pour cela, On choisit une valeur pour et je calcule la valeur de correspondante.
Soit un point de alors ; ; . A(0;1,5)
On réalise ensuite la construction : (je vous ai mis un pas à pas) : on trace la droite passant par A(0;1,5) et dirigée par
.
On place le point A(0;1,5)
On trace un représentant du vecteur qui a pour origine A.
On trace ensuite la droite (AC) qui est la droite recherchée.
2. Equation réduite d'une droite Propriété 4 : Soit D une droite.
1) Si D est parallèle à l'axe des ordonnées alors D admet une équation de la forme avec réel.
2) Si D n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors D admet une équation de la forme
avec et réels. est le coefficient directeur et l'ordonnée à l’origine.
Ainsi, toute droite D du plan a pour équation ou . Cette équation est appelée équation réduite de la droite D.
Remarques : * L'équation réduite est unique.
* Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.
* est un vecteur directeur de la droite d'équation .
Exemple 8 : La droite D a pour équation cartésienne . Déterminer son équation réduite.
Pour déterminer l'équation réduite, il faut « transformer l'équation » pour se ramener à .
.
Son équation réduite est .
Attention ! L'équation est bien et pas Le mot équation vous rappelle qu'il doit y avoir le signe =.
La propriété suivante a déjà été vue dans le chapitre sur les fonctions affines. Je vous la remets :
Soient
et
deux points distincts d'une droite D tels que
alors la droite D a pour coefficient directeur
.
Cherchez l'exemple avant de lire la correction.
Exemple 9 :
Nous avons déjà travaillé sur ce type d'exercice. Seule la « forme » de la réponse va changer.
Déterminer graphiquement, l'équation réduite des droites suivantes :
Il faut retenir qu'il y a 2 types deux droites, celles qui sont parallèles à l'axe des ordonnées et ont une équation de la forme et les autres de la forme .
est parallèle à l'axe des ordonnées donc son équation est de la forme x=... . Pour trouver le c, on regarde où la droite coupe l'axe des abscisses. a pour équation . On note aussi de la façon suivante : .
Pour les 3 autres, je vous laisse relire les méthodes et envoyer si nécessaire vos questions par mail.
Je vous rappelle que le coefficient directeur est donné par .
Pour rédiger, 2 façons une phrase réponse ou la notation mathématique. Il faut faire l'un ou l'autre mais si on choisit la notation mathématique il faut bien l'écrire correctement :
a pour équation ou .
a pour équation ou .
a pour équation ou .
Exemple 10 : Cherchez l'exemple avant de lire la correction.
Nous avons déjà travaillé sur ce type d'exercice pour les droites d'équations du type (les méthodes sont dans le chapitre sur les fonctions affines). Seule la « forme » de la consigne va changer.
Tracer dans le repère page suivante les droites , et d'équations respectives ; et
.
a pour équation . Cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées et elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.
III. Position relative de 2 droites 1. Droites parallèles
Propriété 6 : A connaître
1) Deux droites D et D' d'équations cartésiennes respectives et sont parallèles si et seulement si
2) Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Démonstration : Elle n'est pas « trop » compliquée.
1) Soit D une droite d'équation et D' une droite d'équation . Nous avons vu dans la propriété 3 que est un vecteur directeur de D et
est un vecteur directeur de D'.
Nous avons vu dans la propriété 2 que :
D est parallèle à D' si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
2) Soit D une droite d'équation réduite et D' une droite d'équation réduite est un vecteur directeur de D et
est un vecteur directeur de D'.
D est parallèle à D' si et seulement si et sont colinéaires si et seulement si det( ; )=0
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
2. Droites parallèles , droites sécantes
Le tableau ci-dessous résume toutes les configurations possibles pour la position relative de 2 droites : , , , et sont des réels distincts.
Equation de
Equation de
Position relative de et
et sont
parallèles et sont sécantes et sont sécantes et sont parallèles
Figure
Exemple 11 : Cherchez l'exemple avant de lire la correction.
On considère les droites suivantes : ; ; et
.
Etudier la position relative de et puis de et .
* Pour et :
Nous avons les équations réduites des 2 droites donc on va appliquer le 2) de la propriété 6.
et ont le même coefficient directeur donc et sont parallèles.
* Pour et :
Nous avons les équations cartésiennes des 2 droites donc on va appliquer le 1) de la propriété 6.
; ; ;
donc n'est pas parallèle à . Les droites sont sécantes.
3. Interprétation graphique des solutions d'un système linéaire.
Tout système peut s'écrire
avec réels.
Soit la droite d'équation et la droite d'équation .
La résolution du système se ramène donc à l'étude de la position relative des droites et . On est dans un des trois cas suivant :
Le système admet une unique solution qui sont les coordonnées du point d'intersection des 2 droites.
Le système admet une infinité de solutions
Le système n'admet pas de solution.
Nous avons vu que des droites étaient non parallèles si et seulement si
Ainsi, le système admet une unique solution ssi
Reprenons l'exemple 11 : Cherchons les coordonnées du point A d'intersection des droites et . Les coordonnées de A sont la solution du système
x 4y 9 0 3x 7y 8 0. On multiplie la première ligne par 3 :
3x 12y 27 0 3x 7y 8 0
On soustrait membre à membre :
3x 12y 27 0 19y 19 0
On résout la deuxième équation pour obtenir la valeur de :
3x 12y 27 0
y 1
On remplace y par 1 dans la première équation puis on cherche x.
3x 12 1 27 0
y 1
3x 15
y 1
x 5
y 1
et se coupent en A(5 1).
