TS Correction Fiche 13 2013-2014
ABCDEF GH est un cube de côté 1. On se place dans le repère orthonormé (A,−−→ AB,−−→
AD,−→
AE).
H
C E
D
F
A
B
G
Dans le repère considéré, les sommets du cube ont les coordonnées suivantes :
A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,1,0) , E(0,0,1) ,F(1,0,1) ,G(1,1,1) etH(0,1,1).
1. −−→ BE
−1 0 1
,−−→ BG
0 1 1
et−−→ DF
1
−1 1
Les produits scalaires suivants−−→ DF .−−→
BE= 0 et−−→ DF .−−→
BG= 0 traduisent le fait q’un vecteur directeur de la droite (DF) est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (BEG) non colinéaires. Ainsi la droite (DF) est ortho- gonale au plan (BEG).
2. −−→
DF est un vecteur normal du plan (BEG) donc une équation cartésienne est de la forme x−y+z+d= 0
Or,B∈(BEG) doncxB−yB+zB+d= 0⇔d=−1.
Ainsi (BEG) : x−y+z−1 = 0
3. On nommePle plan passant parF parallèle à (BEG). Il admet également le vecteur−−→
DF comme vecteur normal et donc
P :x−y+z+d= 0 etF∈ P ⇒d=−2 P : x−y+z−2 = 0
Le plan (ABC) admet le vecteur
0 0 1
comme vecteur normal et passe parA(0,0,0) donc (ABC) : z= 0 . Les vecteurs −−→
DF et −→
AE des plans (BEG) et P n’étant pas colinéaires (à vérifier), les deux plans se coupent suivant une droite (d) définie de la manière suivante :
(d)
z= 0
x−y+z−2 = 0 ⇔(d)
x=t
y=t−2 , t∈R z= 0
La droite cherchée a pour représentation paramétrique (d)
x=t
y=t−2 , t∈R z= 0
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