TS Fiche produit scalaire dans l’espace 2011-2012
I Cas de deux vecteurs colinéaires
1. Si−→u et −→v sont colinéaires et de même sens alors−→u .−→v =||−→u|| × ||−→v||
2. Si−→u et −→v sont colinéaires et de sens contraires alors−→u .−→v =−||−→u|| × ||−→v||
De plus, si−→u ou−→v est nul alors−→u .−→v = 0 et−→u .−→u =||−→u||2 se dit carré scalaire de−→u, noté−→u2.
II Cas général
On dispose de plusieurs moyens pour calculer un produit scalaire :
1. Avec les projections (deux vecteurs non colinéaires non nuls définissent un plan)
A B
C H
• −→u .−→v =−→u .−→ v′ où−→
v′ est le projeté orthogonal de −→v sur−→u. Ainsi
−−→ AB.−→
AC=−−→ AB.−−→
AH
2. Avec les normes et le cosinus (−→u et−→v non nuls)
−
→u .−→v =||−→u|| × ||−→v||cos(−→u ,−→v) 3. Avec les normes
−
→u .−→v =1
2 ||−→u +−→v||2− ||−→u||2− ||−→v||2
= 1
2 ||−→u||2+||−→v||2− ||−→u − −→v||2 4. Avec les coordonnées dans un repère orthonormé
−
→u .−→v =xx′+yy′+zz′ si−→u
x y z
et si−→v
x′ y′ z′
III Propriétés
1. Règles de calcul :
• −→u .−→v =−→v .−→u
• (k−→u).−→v =k(−→u .−→v) =−→u .(k−→v) oùk∈R
• −→u .(−→v +−→w) =−→u .−→v +−→u .−→w
• ||−→u +−→v||2= (−→u+−→v)2=−→u2+−→v2+ 2−→u .−→v
• ||−→u − −→v||2= (−→u− −→v)2=−→u2+−→v2−2−→u .−→v
• ||−→u||2− ||−→v||2=−→u2− −→v2= (−→u +−→v).(−→u − −→v) 2. Orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
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