deux vecteurs non nuls de l'espace. Toutes les règles du produit scalaire dans le plan s'étendent à l'espace en considérant un plan où ces deux vecteurs peuvent être représentés :

Produit scalaire dans l'espace et application

I Produit scalaire dans le plan et l’espace

1) Définition Soient

u

et

v

deux vecteurs non nuls de l'espace. Toutes les règles du produit scalaire dans le plan s'étendent à l'espace en considérant un plan où ces deux vecteurs peuvent être représentés :

1. ⃗ u . ⃗ v = ∥⃗

u

∥×∥⃗

v

∥×

cos

(̂

BAC

) = AB× AC × cos (̂ BAC )

2. Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) :

⃗ AB ⋅⃗ AC = AB× AH si ⃗ AB et ⃗ AH ont le même sens

⃗ AB ⋅⃗ AC = − AB× AH si ⃗ AB et ⃗ AH sont de sens contraire

Remarques : En particulier, ⃗ u⋅⃗ u =

∥⃗u∥×∥⃗u∥×cos(̂BAB)

=

∥⃗u∥²×cos(0)

=

∥⃗u∥²

⃗

u⋅⃗ u est noté ⃗ u

²

et est appelé le carré scalaire de ⃗ u 2) Propriétés algébriques

En conséquence, deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v étant donnés, on obtient : Propriété :

1)

u

.

v

=

v .u

(symétrie) 2)

ku.v

=

u .kv

=

ku .v

avec k ∈ ℝ 3)

 uv.w

=

u .w

+

v .w

4)

 uv²=u²2u .vv²

Corollaire (formule de polarisation)

⃗ u.⃗v=1

2(∣∣⃗u∣∣²+∣∣v⃗∣∣²−∣∣u⃗−⃗v∣∣²) ⃗u.⃗v=1

2(∣∣⃗u+⃗v∣∣²−∣∣u⃗∣∣²−∣∣v⃗∣∣²) ⃗u.⃗v=1

4(∣∣u⃗+⃗v∣∣²−∣∣⃗u−⃗v∣∣²)

3) Orthogonalité de deux vecteurs

Une propriété très utilisée quand il est question de démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux Propriété Deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont orthogonaux si et seulement si ⃗ u ⋅⃗ v =⃗ 0

II- Orthogonalité dans l'espace

a) Droites perpendiculaires, droites orthogonales

A noter une distinction de vocabulaire dans l'espace entre perpendiculaire et orthogonal. Dire que deux droites sont perpendiculaires signifie que ces deux droites sont sécantes en formant un angle droit. Par contre deux droites orthogonales répondent à la définition suivante :

Définition

Deux droites D et D' de l'espace sont orthogonales si leur parallèles respectives passant par un même point de l'espace sont perpendiculaires

Sur la figure ci-contre, les droites

d

₁ et d₂ sont orthogonales

b) Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Définition

Dire qu'une droite D est orthogonale à un plan P signifie qu'elle est orthogonale à toute droite de ce plan Théorème

• Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan

•

Avec des vecteurs : un vecteur est orthogonal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs de ce plan. On l'appelle alors vecteur normal du plan Sur la figure, la droite Δ est orthogonale au plan P car elle est orthogonale à deux droites sécantes d et d' de ce plan

Démonstration :

⇒ : facile c'est une évidence Réciproquement

Soit D une droite de vecteur directeur

⃗ n

et P un plan de base (

⃗ u

,

⃗ v

).

Considérons

⃗ n

orthogonal à

⃗ u

et

⃗ v

et prenons un vecteur

w ⃗

quelconque de P.

(

⃗ u

,

⃗ v

) étant une base de P, il existe deux réels x et y tels que :

w ⃗

= x

⃗ u

+ y

⃗ v

On a alors

⃗ n ⋅⃗ w

=

⃗ n

. ( x

⃗ u

+ y

⃗ v

) = x

⃗ n ⋅⃗ u

+ y

⃗ n ⋅⃗ v

Or

⃗ n ⋅⃗ u

=

⃗ n⋅⃗ v

= 0 donc

⃗ n⋅⃗ w

= 0 et donc

w ⃗

orthogonal à

⃗ n

c) Orthogonalité et position relative de droites et plans

Soit une droite D de vecteur directeur ⃗u et deux plans P et P' de vecteur normal respectifs ⃗n et ⃗n ' Cas d'une droite et d'un plan

1. Si ⃗u et ⃗n ne sont pas orthogonaux alors la droite D et le plan P sont ...

2. Si ⃗u et ⃗n sont orthogonaux alors la droite D est ... au plan P ou …... dans le plan P 3. Si ⃗u et ⃗n sont colinéaires alors la droite D et le plan P sont …...

Cas de deux plans

1. Si ⃗n et ⃗n ' sont colinéaires alors les plans P et P' sont …...

2. Si ⃗n et ⃗n ' ne sont pas colinéaires alors les plans P et P' sont …... …... …... …... … 3. Si ⃗n et ⃗n ' sont orthogonaux alors les plans P et P' sont …...

Illustration

Cas n°3 Deux plans

d) Projeté orthogonal d'un point Propriétés et définitions :

• Soient A un point et d une droite de l'espace . Il existe un unique plan passant par A et orthogonal à d.

La droite d est alors sécante avec ce plan et leur point d'intersection est appelé projeté orthogonal de A sur d

• Soient A un point et P un plan de l'espace. Il existe une unique droite passant par A et orthogonale à P. Le plan P est alors sécant avec cette droite et leur point d'intersection est appelé projeté orthogonal de A sur P .

III- Calculs de distances

a) Base et repère orthonormés Définitions

• Une base orthonormée de l'espace est constituée de trois vecteurs orthogonaux deux à deux et tous de norme 1.

Autrement dit, ( ⃗ i , ⃗ j , k ) est un base orthonormé signifie : ⃗

⃗ i⋅⃗ j =⃗ i⋅⃗ k =⃗ j⋅⃗ k = 0 et ∣∣ ^{i ⃗} ∣ ∣ = ∣∣ ^{⃗ j} ∣ ∣ = ∣∣ ^⃗ k ∣ ∣ = 1

• Un repère orthonormé de l'espace est constitué d'une origine et d'une base orthonormée. Ci-contre le repère (O; ⃗ i , ⃗ j , k ) ⃗

Calculs en repère orthonormé

• Dans un base ( ⃗ i , ⃗ j , k ) de l'espace, on considère les vecteurs ⃗ ⃗ u ( ^{x y z} ) ^{et ⃗ v} ( ^{x ' y ' z '} )

On a alors : ⃗ u ⋅⃗ v = xx '

+

yy '

₊

zz ' et

∣∣

u ⃗

∣∣

= √ ^x

²

^{+ y}

²

^+z

²

• Dans un repère orthonormé (O; ⃗ i , ⃗ j , k ) de l'espace, on considère les points ⃗

A ( x

_A

; y

_A

; z

_A

) et B( x

_B

; y

_B

; z

_B

) . On a alors AB= √ ^{( x}

^B

^−x

^A

⁾

²

^+(y

^B

^{− y}

^A

⁾

²

^+(z

^B

^−z

^A

⁾

²

b) Distance d'un point à un plan, à une droite Propriété et définition

Soient A un point de l'espace et P un plan passant par un point B de vecteur normal ⃗ n .

• Le projeté orthogonal H du point A sur le plan P est le point le plus proche de A

• La distance AH est alors donné par : AH = ∣ ^⃗ AB . n ⃗ ∣

∣∣

n ⃗

∣∣

Propriété et définition

Soient A un point de l'espace et d une droite passant par un point B de vecteur directeur ⃗ u .

• Le projeté orthogonal H du point A sur la droite d est le point le plus proche de A

• La distance AH est alors donné par :

AH = ∣∣ ^{⃗ AB − ⃗ AB .}

^∣∣

^{u ⃗}

^∣∣2

^{⃗ u u ⃗} ∣ ∣