- Caractérisation d'un plan par la donnée d'un point et de deux vecteurs non colinéaires

(1)

Chapitre n°15

Objectifs

1. Géométrie vectorielle :

- Caractérisation d'un plan par la donnée d'un point et de deux vecteurs non colinéaires

[étendre à l'espace la notion de vecteur et les opérations associées][faire observer que des plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles][On peut démontrer le théorème du toit]

- Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires :

→ Savoir choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d'alignement ou de coplanarité.

[On fait percevoir les notions de liberté et de dépendance]

- Repérage :

→ Savoir utiliser les coordonnées pour traduire la colinéarité, caractériser l'alignement, déterminer une décomposition de vecteurs.

[On ne se limite pas à des repères orthogonaux]

- Représentation paramétrique d'une droite :

Savoir déterminer la représentation paramétrique d'une droite

[La caractérisation d'un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires conduit à une représentation paramétrique de ce plan][Lien avec les autres disciplines : SI : cinématique et statique d'un système en mécanique]

Activité n°1

On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur est donc déﬁni par sa direction, son sens et sa norme et les propriétés des vecteurs du plan sont aussi étendues aux vecteurs de l’espace (relation de Chasles, colinéarité, propriétés algébriques...)

On considère la figure ci-contre où ABCDEFGH est un cube et O est le centre du carré ABEF .

1) Citer trois vecteurs égaux.

…...

2) Exprimer le vecteur ⃗ HO en fonction de ⃗ HD et ⃗ HG .

3) Placer le point M défini par ⃗ EM = 1

3 ^⃗ ^EA +2 ^⃗ ED

4) Citer un plan contenant M.

5) Placer le point N défini par ⃗ DN = 1

2 ^⃗ ^DB – 1 4 ^⃗ ^DA .

6) Citer un plan contenant le point N.

7) Conjecturer une caractérisation vectorielle de l'appartenance d'un

point à un plan défini par trois points non alignés.

(2)

Cours n°1

I) Vecteurs dans l'espace

Les propriétés vues dans le plan s'étendent sans exception à l'espace (colinéarité, etc.)

Définition n°1 : vecteurs colinéaires

Deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que

…...

Propriété n°1 : caractérisation vectorielle d'une droite

Soient A et B deux points de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace tels que ^⃗ AB et …... soient …...

⃗ AB est alors un v... d... de (AB).

Exemple n°1

ABCDEFGH est un parallélépipède et K le point de l'espace tel que ^⃗ BK = 1

3 ^⃗ ^BD

+ 1

3 ^⃗ ^BE .

1. Démontrer que ⃗ AB + ⃗ AD + ⃗ AE =3 ⃗ AK .

...

2. En utilisant le fait que ABCD et ACGE sont des parallélogrammes, et la relation précédente, démontrer que A, K et G sont alignés.

...

(3)

Définition n°2 : vecteurs coplanaires

Trois vecteurs ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine A ont des extrémités B, C et D qui appartiennent …... que A.

Propriété n°2 : caractérisation vectorielle d'un plan

Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est

l'ensemble des points M de l'espace tels que ⃗ AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques.

Démonstration

1) Si M appartient au plan (ABC), alors il vérifie la relation

⃗ AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques :

Les vecteurs ^⃗ AB et ^⃗ AC ne sont pas colinéaires, donc (A ; ^⃗ AB , ^⃗ AC ) est un repère du plan (ABC).

...

2) Si M vérifie la relation ⃗ AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques, alors M appartient au plan (ABC) :

On pose N tel que ⃗ AN = α ⃗ AB .

...

Corollaire de la propriété n°2 :

Soient trois vecteurs ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ tels que ⃗ u et ⃗ v ne soient pas colinéaires.

Alors ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ sont coplanaires uniquement si il existe α et β tels que

…...

(4)

Exemple n°2

Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], E et F deux points définis par ^⃗ ^AE = 2

3 ⃗ AC et ⃗ i = ⃗ j ^⃗ ^AD , G le point tel que BCGD est un parallélogramme.

1. Exprimer les vecteurs ^⃗ IE , ^⃗ IF et ^⃗ IG en fonction de ^⃗ AB , ^⃗ AC et ^⃗ AD .

...

2. Prouver que I, E, G et F sont coplanaires.

...

Exercice n°1

Ex.17 p.245

Exercice n°2

Ex.20 p.245

Exercice n°3*

Ex.83 p.249

(5)

Cours n°2

II) Repérage dans l'espace Propriété n°3

Si O est un point de l'espace et ⃗ i , ⃗ j et ⃗ k trois vecteurs non coplanaires, alors, tout point M de l'espace vérifie ⃗ OM =x ⃗ i +y ^⃗ j +z ^⃗ k .

Démonstration (principe)

Existence :

On projette M sur le plan (O, ⃗ i , ^⃗ j ) parallèlement à ^⃗ k . Unicité :

On montre que deux triplets (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') correspondants à ⃗ OM imposent x = x', y=y' et z=z' par unicité des coordonnées du vecteur nul.

Définition n°3 : abscisse, ordonnée et cote.

Soit O un point de l'espace et ⃗ i , ^⃗ j et ^⃗ k trois vecteurs non coplanaires. Soit M un point quelconque de l'espace.

Alors les nombres réels x , y , et z tel que ⃗ OM =x ⃗ i +y ^⃗ j +z ^⃗ k sont les coordonnées de M dans le repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) .

x s'appelle …..., y s'appelle …... et z s'appelle

…...

Propriété n°4

coordonnées d'un vecteur – coordonnées du milieu – distance

Dans un repère (O, ⃗ i , ^⃗ j , ^⃗ k ) de l'espace, soient A(x

A

;y

A

;z

A

) et B(x

B

;y

B

;z

B

) deux points quelconques, ⃗ u ( ^x ^z ^y ) ^et ^⃗ ^v ( ^{x '} ^{y '} ^{z '} ) deux vecteurs quelconques, et k un réel quelconque.

Alors

1) ^⃗ AB a pour coordonnées ( ^... ^... ^... )

2)

^...+...^...

+ ⃗ v a pour coordonnées ( ^... ^... ^... )

(6)

3) k ⃗ u a pour coordonnées ( ^... ^... ^... )

4) Le milieu de [AB] a pour coordonnées ( ... + ...

... ; ...+ ...

... ).

5) La distance AB vaut √ (...−...)

²

... .

Exemple n°3

Soit un repère (O, ⃗ i , ^⃗ j , ^⃗ k ) de l'espace. Les points A(1;2;0), B(-1;1;1), C(1;4;1) et D(3 ;-1;3) sont-ils coplanaires ?

...

Exercice n°4

Ex.24 et 26 p.245

Exercice n°5

Ex.27 et 28 p.245

Exercice n°6

Ex.97 p.250

Exercice n°7

Ex.98 p.250

(7)

Exercice n°8

Ex.108 p.251

Exercice n°9

Ex.103 p.250

Exercice n°10

Ex.104 p.251

Activité d'approche n°2

Partie A

(O, ⃗ i , ^⃗ j , ^⃗ k ) est un repère de l'espace, A et B sont deux points de coordonnées respectives (4 ;-1;2) et (-1;2;2).

1. Calculer les coordonnées du vecteur ^⃗ AB .

...

2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AM un point M appartient à la droite (AB).

...

3. En déduire un système de trois égalités de paramètre k qui 'caractérise' la droite (AB).

...

Partie B

C est un point de coordonnées (1;1;1).

1. Calculer les coordonnées du vecteur ⃗ AC .

...

(8)

...

2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs ⃗ AB , ⃗ AC et ⃗ AM un point M appartient au plan (ABC).

...

3. En déduire un système de trois égalités de paramètres k et k' qui 'caractérise' le plan (ABC).

...

Cours n°3

III) Représentation paramétrique de droites et de plans.

Propriété n°5 : représentation paramétrique d'une droite

Dans un repère (O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k ) de l'espace, soit

la droite (d) passant par A (x

A

; y

A

; z

A

) et de vecteur directeur ⃗ u ( ^x ^y ^z

ûûû

) ^.

Alors M ( x

M

; y

M ;

z

M

) est un point de (d) si et seulement s'il existe un réel k tel que :

{ ...=...

...=...

Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique de la

droite (d) passant par A et de vecteur directeur ⃗ u

(9)

Démonstration (principe)

Voir activité n°2, en généralisant.

Exemple n°4

Déterminer la représentation paramétrique de la droite passant par A(-1;4;1) et B(2;3;0).

...

Propriété n°6 : représentation paramétrique du plan

Dans un repère (O, ⃗ i , ^⃗ j , ^⃗ k ) de l'espace, soit

le plan (P) passant par A (x

A

; y

A

; z

A

) et de vecteurs directeurs ⃗ u ( ^x ^y ^z

ûûû

) ^et ^⃗ ^v ( ^x ^y ^z

^v^v^v

) ^.

Alors M ( x

M

; y

M ;

z

M

) est un point de (P) si et seulement s'il existe deux réels k et k' tel que :

{ ...=...

...=...

Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique du plan

(P) passant par A et de vecteurs directeurs ⃗ u et ⃗ v .

(10)

Exemple n°5

Déterminer la représentation paramétrique de la droite passant par A(-1;4;1), B(2;3;0) et C(1;3 ;-1).

...

Exemple n°6

Étudier les positions relatives du plan (P) et de la droite (d), puis du plan (P) et de la droite (d'). On donnera leur intersection éventuelle.

Représentation paramétrique de (P) :

{ ^x=1−2 ^y=−2+ ^z=3−t ^t ^{t−t '} ⁺ ³ ^{t '} avec t ∈ R et t' ∈ R Représentation paramétrique de (d) :

{ ^x=2 ^y=5−2 ^z=1+ ⁺ ² ⁴ ^t ^t ^t avec t ∈ R

Représentation paramétrique de (d') :

{ ^y=−2+t ^x= ¹ ⁺³ ^4−t ^t avec t ∈ R

...

(11)

...

(12)

Exercice n°11

Ex.31 p.245

Exercice n°12

Ex.34 p.245

Exercice n°13

Ex.36 p.245

Exercice n°14

Ex.120 p.251

Exercice n°15

Ex.124 p.252

Exercice n°16*

Sujet D p.259

Exercice n°17*

Sujet E p.260

Exercice n°18**

Ex.164 p.263

(13)

(14)

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.245) : 1.a. Les vecteurs ^⃗ AB , ⃗ JK , ⃗ BG , ⃗ GB , ⃗ AH et ⃗ HA . 1.b. Les vecteurs ⃗ JK , ⃗ HA et ⃗ GB . 2. ⃗ AI = 1

2 ⃗ AB + ⃗ AE .

Ex. n°2 (Ex.20 p.245) : 1. ⃗ AN = ⃗ AB + ⃗ BN = ⃗ AB + ⃗ AC . 2. ⃗ AM = ⃗ AN + ⃗ AD 3.

A,N,M et D sont coplanaires.

**Ex. n°3* (Ex.83 p.249) : 1.** ⃗ BA + ⃗ BD = 2 ⃗ BK 2. ⃗ BF – 2 ⃗ BK =3 ⃗ KJ 3. ⃗ BF + ⃗ BK = 3

⃗ BJ , donc ^⃗ BK , ^⃗ BJ et ^⃗ BF sont coplanaires.

Ex. n°4 (Ex.24 et 26 p.245) : ex24 : ⃗ AB (12 ;-2 ;-6) – ex26 : 1. ⃗ AB (1;2;3) et ⃗ AC (3;6;9) 2. ^⃗ AC =3 ^⃗ AB ...

Ex. n°5 (Ex.27 et 28 p.245) : ex27 : I(4 ;-2;2) ex28 : AB = √ ³ ^.

Ex. n°6 (Ex.97 p.250) : 1. L(3;3 ;-2) et K(4;5 ;-5). 2. ⃗ GK (3;6 ;-9) et ^⃗ GL (2;4 ;-6)...

Ex. n°7 (Ex.98 p.250) : 1. E( 3

2 ; – 7 2 ; 9

2 ) et F( 11 2 ; 23

2 ; – 21

2 ). 2. x

_E

+ x

_F

2 = 7

2 = x

_C

+ x

_D

2 ; y

_E

+ y

_F

2 =4= y

_C

+ y

_D

2 et z

_E

+ z

_F

2 = -3 = z

_C

+ z

_D

2 Ex. n°8 (Ex.108 p.251) : 1. ⃗ u , ⃗ v et w ⃗ ne sont pas coplanaires. 2. ⃗ t =2 ⃗ u – 3 ⃗ v + w ⃗ . Ex. n°9 (Ex.103 p.250) : 1. ^⃗ AB (2 ;-1 ;-1) et ^⃗ AC (1;4;1). ^⃗ AB et ^⃗ AC ne sont pas

colinéaires.

Ex. n°10 (Ex.104 p.251) : AB = √ ²⁶ ^{et AC =} √ ²⁶ . 2. ABC est isocèle en A.

Ex. n°11 (Ex.31 p.245) : { ^x=−1+t ^y=3+ ^z=2−7 ⁴ ^t ^t t réel quelconque.

Ex. n°12 (Ex.34 p.245) : 1. ⃗ u (2;3 ;-1) 2. A(5;8;2) 3. t=3 et B(7;11;1) Ex. n°13 (Ex.36 p.245) : 1. A(2;5;3) 2. y

B

= 0.

Ex. n°14 (Ex.120 p.251) : 1. ^⃗ AB (1;2;3) et ^⃗ AC (3;4;5) ne sont pas colinéaires. 2.

{ ^y=1+ ^x=−1+ ^z=1+3 ² ^t ^t ^t ⁺ ⁺ ⁺⁵ ³ ⁴ ^{t '} ^{t '} ^{t '} ^avec ^t ^∈ℝ ^et ^{t '} ^∈ℝ ^.

Ex. n°15 (Ex.124 p.252) : La droite (AB) et le plan sont sécants en Ω( 1 2 ;2;0).

**Ex. n°16* (Sujet D p.259) : 1.** { ^x=−1+2 ^y=−2−3 ^z=−1−t ^t ^t ^t ^∈ℝ ^2. ^⃗ ^u (-1;2;1) est un vecteur directeur de Δ'. … Δ et Δ' ne sont pas coplanaires. 3.a. C, D et E définissent un plan car ⃗ CD et ⃗ CE ne sont pas …. 3.b. Résoudre ⃗ AB = a ⃗ CD + b ⃗ CE … 3.c. Δ est parallèle au plan p.

**Ex. n°17* (Sujet E p.260) : 1.a.** ⃗ u

₁

(1;3;0) et ⃗ u

₂

(2;1 ;-1). 1.b. (d

1

) et (d

2

) ne sont pas

coplanaires. 2.a. On pose ⃗ v

₁

= ^⃗ A

₁

S . Les vecteurs ⃗ u

₁

, ⃗ v

₁

et ⃗ u

₂

ne sont pas

(15)

coplanaires, donc la droite (d

2

) est sécante au plan p

1

. 2.b. On pose ⃗ v

₂

= ⃗ A

₂

S .Les vecteurs ⃗ u

₁

, ⃗ v

₂

et ⃗ u

₂

ne sont pas coplanaires, donc la droite (d

1

) est sécante au plan p

2

. 2.c. (R) doit être la droite d'intersection de p

1

et p

2

.

Ex. n°18 (Ex.164 p.263) : 2.a.IKJL est un parallélogramme. 3.b. (AB) et (MK) sont**

parallèles.

(16)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

- Caractérisation d'un plan par la donnée d'un point et de deux vecteurs non colinéaires

Chapitre n°15

Objectifs

1. Géométrie vectorielle :