Caractérisation par les coordonnées de vecteurs colinéaires

(1)

Caractérisation par les coordonnées de

vecteurs colinéaires

(2)

Propriété

Si^→⁻u a pour coordonnées⁻^→u µx

y

¶

, le vecteurk⁻^→u a pour coordonnéesk⁻^→u

µkx ky

¶

Caractérisation par les coordonnées de vecteurs colinéaires

(3)

Propriété

Si^→⁻u a pour coordonnées⁻^→u µx

y

¶

, le vecteurk⁻^→u a pour coordonnéesk⁻^→u

µkx ky

¶

Exemple Soit⁻^→u

µ2 3

¶

; alors 1 2

−

→u



 1 3 2





(4)

Déterminant de deux vecteurs ; On considère deux vecteurs⁻^→u

µx y

¶ et^→⁻v

µx^′ y^′

¶ . Le déterminant de⁻^→u et^→⁻v noté dét^³⁻^→u ;^→⁻v^´ou

¯

¯ x x^′ y y^′

¯

¯ , est le nombre défini par : dét^³^→⁻u ;^→⁻v^´=

¯

¯ x x^′ y y^′

¯

¯=xy^′−yx^′(différence des produits en croix)

(5)

Critère de colinéarité

• On considère deux vecteurs⁻^→u µx

y

¶ et⁻^→v

µx^′ y^′

¶ .

• Les deux vecteurs⁻^→u et^→⁻v sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

• Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul, doncxy^′₋x^′y₌0

(6)

y

¶ et⁻^→v

µx^′ y^′

¶ .

exemple Soient⁻^→u

µ 1 p2

¶ et^→⁻v

Ãp p3 6

! .

(7)

y

¶ et⁻^→v

µx^′ y^′

¶ .

exemple Soient⁻^→u

µ 1 p2

¶ et^→⁻v

Ãp p3 6

! .

dét^³⁻^→u ; ⁻^→v^´=1×p 6−p

2×p 3=p

6−p 6=0 Ces deux vecteurs sont donc colinéaires

(8)

Exemple

Dans un repère orthonormé, on considère les points : A(₋5; 8),B(6; 5),C(₋1; 3),D(3; 2)etE(7; ₋7).

1 Les droites(AB)et(CD)sont-elles parallèles ?

2 Les pointsA,C etE sont-ils alignés ?

(9)

Exemple

2 Les pointsA,C etE sont-ils alignés ? Solution de la question 1.

−−→AB

µ6₋(₋5 5₋8)

¶

donc^−−→AB µ11

−3

¶

−−→CD

µ3₋(₋1) 2₋3

¶

donc^−−→CD µ4

−1

¶

(10)

Exemple

2 Les pointsA,C etE sont-ils alignés ? Solution de la question 1.

−−→AB

µ6₋(₋5 5₋8)

¶

donc^−−→AB µ11

−3

¶

−−→CD

µ3₋(₋1) 2₋3

¶

donc^−−→CD µ4

−1

¶

11_×(₋1)₋(₋3)_×4_{= −}11₊12₌1₆₌0.

Le déterminant des deux vecteurs n’est pas nul, donc les deux vecteurs ^−−→ABet^−−→CDne sont pas colinéaires.

Les droites(AB)et(CD)ne sont donc pas parallèles.

(11)

Solution de la question 2.

A(₋5; 8),C(₋1; 3),E(7; ₋7).^−−→AC

µ−1₋(₋5) 3₋8

¶

donc^−−→AC µ4

−5

¶ .

−−→AE

µ7₋(₋5)

−7₋8

¶

donc^−−→AE µ12

−15

¶

(12)

A(₋5; 8),C(₋1; 3),E(7; ₋7).^−−→AC

µ−1₋(₋5) 3₋8

¶

−5

¶ .

−−→AE

µ7₋(₋5)

−7₋8

¶

−15

¶

Première méthode

det^³^−−→AC ;^−−→AE^´₌4_×(₋15)₋(₋5)_×12_{= −}60₊60₌0 ; ces deux vecteurs sont colinéaires.

(13)

A(₋5; 8),C(₋1; 3),E(7; ₋7).^−−→AC

µ−1₋(₋5) 3₋8

¶

−5

¶ .

−−→AE

µ7₋(₋5)

−7₋8

¶

−15

¶

Première méthode

det^³^−−→AC ;^−−→AE^´₌4_×(₋15)₋(₋5)_×12_{= −}60₊60₌0 ; ces deux vecteurs sont colinéaires.

Deuxième méthode On a^−−→AC

µ 4

−5

¶ et^−−→AE

µ 12

−15

¶ .

On remarque que 12=4×3 et−15=(−5)×3 donc^−−→AE=3^−−→AC.

Ces deux vecteurs sont colinéaires.

(14)

(15)

Conclusion

−−→AC et^−−→AEsont colinéaires ; les droites(AC)et(AE)sont donc parallèles (même direction) et ont un point commun ; elles sont donc confondues.

Les pointsA,CetE sont donc alignés.