• Aucun résultat trouvé

ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, dont les trois points distincts A, B et C définissent un plan

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, dont les trois points distincts A, B et C définissent un plan"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Externat Notre Dame Ape (Tle S) Vendredi 5 avril

1. a. −−→AB (2 ;−8 ;−2),−−→AC (3 ; 0 ; 1) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, dont les trois points distincts A, B et C définissent un plan.

b. On a−→n ·−−→AB=2−8+6=0 et→−n ·−−→AC=3−3=0.

Le vecteur−→n orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est donc un vecteur normal au plan (ABC).

c. On sait queM(x;y;z)∈(ABC)⇐⇒1x+1y−3z+d=0. En particulier C(2 ; 2 ; 2)∈(ABC)⇐⇒

1×2+1×2−3×2+d=0 ⇐⇒d=2.

Conclusion :M(x;y;z)∈(ABC)⇐⇒ x+y−3z+2=0.

2. a. Le vecteur−→p(1 ;−1 ; 1) est un vecteur normal au plan (P).

Or−→n et−→p ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les plans (ABC) etPne sont pas paral- lèles donc sécants.

b. M(x;y;z)D ⇐⇒ M(x;y;z)∈

½ x+y−3z+2 = 0 xy+z−4 = 0 ⇐⇒

x+y = 3t−2 xy = −t+4 (1)

z = t

⇒ 2x=2t+2⇐⇒ x=t+1.

En remplaçant dans l’équation (1)y=x+z−4=z+1+z−4=2t−3.

Finalement :M(x;y;z)D ⇐⇒

x = t+1 y = 2t−3 z = t 3. a. Le point deDcorrespondant àt=1 est le point I.

b. CalculonsΩI2=(2−3)2+(−1−1)2+(1−3)2=1+4+4=9, doncΩI=3 : le point I appartient à la sphèreS.

c. Un pointM(x;y;z) appartient àSsi et seulement siΩM2=9 ⇐⇒(x−3)2+(y−1)2+(z−3)2= 9.

Un pointM(x; y ;z) appartient àD et àS si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations :





x = 1+t

y = −3+2t

z = t

(x−3)2+(y−1)2+(z−3)2 = 9

(1+t−3)2+(−3+2t−1)2+(t−3)2=9 ⇐⇒ t2+4−4t+4t2+16−16t+t2+9−6t=9 ⇐⇒

6t2−26t+20=0⇐⇒3t2−13t+10=0.

On sait que I appartient àSdonct=1 est une des des solutions de l’équation du second degré.

Or 3t2−13t+10=(t−1)(3t−10) ; donc l’autre solution est donnée par 3t−10=0 ⇐⇒t=10 3 , valeur du paramètre qui conduit à J

µ13 3 ; 11

3 ; 10 3

¶ .

Références

Documents relatifs

[r]

On choisit dans le plan le plus éloigné de la carte postale cinq points représentant des bâtiments repérables sur le plan de

Dans une caisse cubique, on empile des boules de 6cm de rayon comme l’indique le dessin ci-contre1. Quel est le volume de la caisse qui contient exactement cet empilement

Savoir déterminer la représentation paramétrique d'une droite [La caractérisation d'un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires conduit à une représentation

−−→ AC et −−→ AE sont colinéaires ; les droites (AC) et (AE) sont donc parallèles (même direction) et ont un point commun ; elles sont donc confondues. Les points A, C et

Soit t un réel

Encore un exercice classique, application directe du cours, qui conduit à exploiter la caractérisation fondamentale du centre du cercle circonscrite d’un triangle. Nous allons dans

Si deux de ces droites sont égales entre elles (nommons δ cette droite) celle ci contien- dra l'union de deux paires.. D'après le troisième axiome, les points a i se répartissent