MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien réel, n ∈ N ∗ et des vecteurs v 1 , ..., v n unitaires.
1. On suppose ici les vecteurs v i deux à deux orthogonaux. Montrer que :
n
X
i=1
v i
= √ n.
2. Les vecteurs v i ne sont pas ici supposés deux à deux orthogonaux. Il s'agit de montrer qu'il existe un n -uplet (ε 1 , ..., ε n ) ∈ {−1, 1} n tel que :
n
X
i=1
ε i v i
≤ √ n.
Considérons un espace probabilisé ni (Ω, P ) et n variables aléatoires X 1 , ..., X n mu- tuellement indépendantes sur Ω et à valeurs dans {−1, 1} telles que :
∀i ∈ J 1, n K , P (X i = 1) = P (X i = −1) = 1 2 . a. Montrer que E(R) = n pour la variable aléatoire R dénie par
R =
n
X
i=1
X i v i
2
.
b. En déduire qu'il existe ω ∈ Ω tel que R(ω) ≤ n . c. Conclure.
3. Pour toute partie I ⊂ J 1, n K et tout n -uplet (p 1 , ..., p n ) ∈ [0, 1] n , posons :
v I = X
i∈I
v i , v =
n
X
i=1
p i v i .
On veut montrer qu'il existe I ⊂ J 1, n K telle que kv − v I k ≤
√ n 2 .
Soient n variables aléatoires mutuellement indépendantes Y 1 , ..., Y n dénies sur Ω à valeurs dans {0, 1} et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p i . Posons :
S =
n
X
i=1
Y i v i − v
2
.
a. Montrer que E(S) ≤ n 4 . b. Conclure.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Aeuclid1MPSI B 29 juin 2019
Corrigé
1. Dans le calcul du carré de la norme, à cause de l'orthogonalité, seuls les (v i /v j ) avec i = j contribuent :
n
X
i=1
v i
2
= X
(i,j)∈ J 1,n K
2(v i /v j ) = X
i∈ J 1,n K
kv i k 2 = n
2. a. Il ne faut surtout pas chercher à préciser la loi de R mais utiliser la linéarité de l'espérance en développant R comme une combinaison linéaire de variables plus simples.
R = X
(i,j)∈ J 1,n K
2
X i X j (v i /v j )
⇒ E(R) = X
(i,j)∈ J 1,n K
2(v i /v j )E(X i X j ) = X
i∈ J 1,n K
kv i k 2 = n
En eet, pour i 6= j , la variable aléatoire X i X j est d'espérance nulle car prenant les valeurs −1 et 1 avec la même probabilité 1 2 . Par exemple, X i X j = 1 si et seulement si X i = 1 et X j = 1 ou X i = −1 et X j = −1 . Alors que la variable X i 2 est certaine de valeur 1 .
b. Si, pour tous les ω ∈ Ω , R(ω) était strictement plus grand que n , on aurait (sommation nie)
E(R) = X
ω∈Ω
P ({ω})X(ω) > X
ω∈Ω
P ({ω})
! n = n
En contradiction avec le résultat de la question précédente. Il existe donc un ω ∈ Ω tel que X (ω) ≤ n .
c. Pour l'évenement ω dont l'existence a été prouvé lors de la question précédente, notons i = X i (ω) . On a alors
n
X
i=1
i v i
= p
R(ω) ≤ √ n
3. a. Dans le calcul de E(S) en développant S comme le carré d'une norme, les variances et covariance des variables aléatoires Y i jouent le principal rôle. En eet, comme
les Y i sont de Bernoulli de paramétre p i , ce nombre p i est aussi l'espérance de Y i
donc Y i − p i est centrée( d'espérance nulle).
S =
X
i∈ J 1,n K
(Y i − p i )v i
2
= X
i∈ J 1,n K
(Y i − p i ) 2 kv i k 2 + X
i6=j
(Y i − p i )(Y j − p j )(v i /v j )
⇒ E(S) = X
i∈ J 1,n K
V(Y i ) kv i k 2 + X
i6=j
cov(Y i , Y j )(v i /v j ) = X
i∈ J 1,n K
p i (1 − p i )
Les covariances étant nulles car les variables sont mutuellement indépendantes.
La fonction x 7→ x(1 − x) est positive entre 0 et 1 et atteint sa plus grande valeur
1
4 en 1 2 . En majorant ainsi chaque p i (1 − p i ) , on obtient bien
E(S) ≤ X
i∈ J 1,n K
1 4 = n
4
b. Il est donc impossible que tous les ω soient tels que S(ω) > n 4 . Soit ω ∈ Ω tel que S(ω) ≤ n 4 et I = {i ∈ J 1, n K tq Y i (ω) = 1} . Dans ces conditions
S(ω) = kv I − vk 2 ≤ 1
4 ⇒ kv I − vk ≤
√ n 2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
