Lycée Paul Rey Denis Augier
Chapitre 14 : Loi des grands nombre
I Variables aléatoires discrètes.
A Exemple.
Exemple 1. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à 6 faces.
L’univers des possibles Ω“ t1; 2; 3; 4; 5; 6u.
Maintenant, on considère que la personne qui lance le dé reçoit :
• 50 e, s’il obtient le nombre 6 lors du lancé .
• 20 e, s’il obtient les nombre 4 ou 5 lors du lancé.
• il donne 30e sinon.
Si l’on note la fonctionX qui au résultat du lancer donne la somme obtenu par le joueur.
Exemple 2. Si l’on considère l’expérience qui consiste à lancer une pièce. Ensuite au affecte 1 lorsque l’on obtient "face" et 0 si l’on obtient "pile". On définie ainsi une variable aléatoire Y tel que :
Y : Ω“ tP ile , F aceu ÑYpΩq “ t0,1u La loi de probabilité, si la pièce est équilibrée, est donné par :
B Définition.
Si pour une expérience aléatoire, on note Ω l’ensemble des issues possibles.
On appellevariable aléatoire réelle toute application à valeurs réelles de Ω.
(C’est-à-dire XpΩq ĂR).
X: ΩÑXpΩq ĂR ω ÞÑXpωq
SiXpΩq “ pxiqiPD avec DĂN (avec xi PR), on parlera de variable aléatoire réelle discrète.
Cette année on rencontrera essentiellement le cas où D“J1, nKavec nPN˚.
La donnée des valeurs de PpX“xiq sera appeléela loi de probabilité de la variable X.
Définition 1
La somme des probabilités vaut 1 :
ÿ
iPD
PpX“xiq “1 Proposition 1
Déterminer une loi de probabilité 1 et Vidéo 2 Vidéo 1
Ex 1 à 21 page 324 à 326 : faire en priorité les exercices verts.
1 Spécialité 2019-2020 1
Lycée Paul Rey Denis Augier
C Espérance et variance.
Avec les notations de la définition précédente, l’espérance si elle existe est définie par :
EpXq “ ÿ
iPD
xiPpX“xiq
La variance, si elle existe est définie par : VpXq “E”
pX´EpXqq2ı
Et enfin l’écart type (si la variance existe) est dé- finie par :
σpXq “a VpXq Définition 2
D Propriétés de l’espérance, de la variance et de l’écart type.
Avec les notations de la définition précédente. Soientaetbdeux réels. On a :EpaX`bq “aEpXq`b Proposition 2
On peut aussi calculer la variance par la formule :
VpXq “E` X2˘
´EpXq2“
˜ ÿ
iPD
x2iPpX“xiq
¸
´EpXq2 Proposition 3
Siaetb sont deux réels on obtient :
VpaX`bq “a2VpXq Et donc :
σpaX`bq “ |a|σpXq Proposition 4
II Somme de variables aléatoires.
LorsqueX etY sont deux variables aléatoires,X`Y est la variable aléatoire qui prend pour valeurs les sommes des valeurs possibles deX etY.
Définition 3
Exemple 3. On lance un dé à 6 faces et 1 à 4 faces. On note X la valeur obtenue par le premier dé et Y par le second.
Loi de probabilité, espérance et variance ?
1 Spécialité 2019-2020 2
Lycée Paul Rey Denis Augier
Soient X etY deux variables aléatoires :
EpX`Yq “EpXq `EpYq (plus généralement E
˜ N ÿ
n“1
λnXn
¸
“
N
ÿ
n“1
EpλnXnq.
Si de plus les deux variables sont indépendantes :
VpX`Yq “VpXq `VpYq Proposition 5
Remarque 1. Attention si les deux variables sont indépendantes : VpX´Yq “VpXq `VpYq
III Inégalités de concentration
A Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire à valeurs positives et soit aPs0,`8r : PpXěaq ď EpXq
a Proposition 6
B Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire à valeurs positives et soit aPs0,`8r : Pp|X´EpXq| ěaq ď VpXq
a2 Proposition 7
IV Loi des grands nombres
A Pour la loi binomiale
Si pXiqt1,nu n suivant un même loi de Bernoulli de paramètre p. Alors Sn “
n
ÿ
i“1
Xi détermine le nombre de succés parmi les népreuve de Bernoulli associées auxpXiqt1,nu, suit une loi binomiale de paramètre n, p.
Proposition 8
1 Spécialité 2019-2020 3
Lycée Paul Rey Denis Augier
Si pXiqt1,nu nsuivant un même loi de Bernoulli de paramètre p. Alors Mn“ Sn
n “
n
ÿ
i“1
Xi
n s’appelle la fréquence empirique associée aux pXiqt1,nu
SiaPs0,`8r, alors : P´
Sn´npěa¯
ě npp1´pq
a2 et P´
Mn´pěa¯
ě pp1´pq na2 Définition-Proposition 9
B cas général
Si pXiqt1,nu, n variables aléatoires identiques et indépendantes. On note Mn “ Sn
n “
n
ÿ
i“1
Xi
n la moyenne empirique associée aux pXiqt1,nu
SiaPs0,`8r, alors :
P
´
Mn´EpX1qěa
¯
ě VpX1q na2 Donc cette probabilité tend vers 0.
On dit queMn qu’elle tend en probabilité vers EpX1q lorsquentend vers `8 Définition-Proposition 10
1 Spécialité 2019-2020 4
