0.1. ESPACE DE PROBABILITÉ 1
0.1 Espace de probabilité
Exercice 1 La population d’une ville compte48%d’hommes et 52% de femmes. Le 1er Janvier 2002 5% des hommes et 1% des femmes avaient la grippe.
a) Quelle est la proportion de personnes dans la ville atteinte de la grippe le 1/01/02.
b) On modélise cela à l’aide d’un modèle probabiliste, H représente les hommes, F les femmes et Gles grippés. Comment écrire les hypothèses à l’aide de probabilités.
c) On tire une personne au hasard dans cette ville on remarque qu’elle a la grippe, quelle est la probabilité que cette personne soit un homme?
Exercice 2 4 joueurs jouent au poker, avec un jeu de 32 cartes. On distribue au hasard, une main de 5 cartes à chaque joueur.
a) Quelle est le nombre de mains différentes qu’un joueur peu recevoir?
b) Quelle est la probabilité qu’un joueur donné reçoive un carré?
c) Quelle est la probabilité pour qu’un joueur donné reçoive une "quinte floche" ( 5 cartes de même couleurs consécutives.).
d) Quelle est la probabilité qu’un joueur reçoive un full (par exemple 2 valets et 3 as)
Exercice 3 Un ouvrier effectue un montage dans lequel entrent 3 composants identiques. Le montage est mauvais s’il comporte au moins un composant défectueux.
a) Soit un ensemble dencomposants dont un seul est défectueux.
a1) Calculer le nombreade tirages différents possibles de 3 composants chacun.
a2) Déterminer le nombrebde tirages différents qui contiennent le composant défectueux.
a3) Déterminer n pour que ba ≤5%
b) On suppose maintenant qu’il y a deux composants défectueux dans un lot den.
b1) Calculer le nombreade tirages différents possibles de 3 composants chacun.
b2) Déterminer le nombrebde tirages différents qui contiennent au moins un composant défectueux.
Exercice 4 Dans une ville, il y a 3 centres de secours d’urgence. 5 malades appellent le même jour un centre au téléphone après avoir choisi, au hasard, l’un des centres sur Minitel.
a) Modéliser ce problème.
b) Quelle est la probabilité que les 5 malades appellent le même centre?
c) Quelle est la probabilité que les 3 centres soient appelés?
Exercice 5 On dispose de 10 billes que l’on veut aligner, combien peut-on former de figures différentes, si les billes de mêmes couleurs ne sont pas discernables et si:
i) les 10 billes sont de couleurs différentes.
ii) si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires.
iii) si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires, mais que les rouges doivent être groupées.
Exercice 6 On choisit deux points x et y au hasard dans l’intervalle [0;1] quelle est la probabilité que la somme de leur carré soit inférieur à 1. On pourra faire un schéma et représenterxen abscisse etyen ordonnée.
Exercice 7 On marque n points sur un cercle, on en choisit deux au hasard, quelle est la probabilité qu’ils soient voisins ?
Exercice 8 On jette 3 fois un dé quelle est la probabilité qu’au moins un trois ne sorte? Et si on le jette 6 fois ? 12 fois?
Exercice 9 Combien de triangles différents peut-on constituer en prenant leur sommet parmi 10 points (Ces points n’étant pas alignés 3 par 3).
0.2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 2 Exercice 10 Si une personne sur 10 000 est centenaire, calculer la probabilité qu’il y ait au moins un cente- naire dans un échantillon de 100 personnes, de 1000 personnes, de 10 000 personnes.
Exercice 11 On notepnla probabilité que sur une suite denpiles ou faces, il y ait à un moment 3 piles de suite ou trois face de suite, montrer en conditionnant sur les trois premiers résultats que l’on a la formule de récurrence suivante :
pn= 1 4 +1
2pn−1+1 4pn−2
Donner une valeur approchée dep10
0.2 Variables aléatoires discrètes
Exercice 12 On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes. On noteDla variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre deux amis dans la queue.
a) DéterminerP(D=k).
b) Pour quelle valeur dek,P(D=k)est-il maximum ?
c) Déterminer l’espérance deD. On pourra utiliser les formules classiques suivantes :
n
X
k=1
k= 1
2n(n+ 1)
n
X
k=1
k2 = 1
6n(n+ 1) (2n+ 1)
Exercice 13 On jette deux dés , on note X le résultat du 1er etY le résultat du 2ème.Z = max(X;Y).
Déterminer la loi deZ, son espérance et sa variance.
Exercice 14 La fabrication d’un objet dans une usine s’effectue avec 4% de défauts . On noteN le nombre d’objets défectueux dans un lot de 35 objets, déterminer la loi de N. Calculer P(N = 0), P(N = 1), et P(N = 2).
Exercice 15 On suppose que le nombre d’appels téléphoniques arrivant à un standard pendant un intervalle d’une heure suit une loi de Poisson de paramètre 20(P(N =k) =e−20 20k!k).
a) Calculer le nombre moyen d’appels reçus en une heure.
b) Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure.
c) Un second standard reçoit en moyenne 50 appels par heure. Comment peut-on modéliser ceci à l’aide d’une loi de Poisson? Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure.
Exercice 16 On jette un dé, et on noteN le nombre de jets nécessaire pour qu’un 6 apparaisse.
a) Déterminer la loi deN.
b) CalculerE(N)en utilisant la série entière suivante :
∞
X
n=1
nxn−1= 1
(1−x)2 ∀x∈]−1; 1[
Exercice 17 Une certaine pièce A d’une machine tombe souvent en panne, elle est remplacée alors dans la journée et on suppose qu’elle ne peut pas retomber en panne. Le coût d’un dépannage s’élève àxeuros et la perte de production du à une panne coûteyeuros. On notepn la probabilité de bon fonctionnement le nème jour. Si la machine fonctionne le nèmejour la probabilité qu’elle fonctionne le (n+1)èmejour est 0.8, par contre si la machine tombe en panne le nèmejour la probabilité qu’elle fonctionne le (n+1)èmejour est 0.9.
a) Exprimerpn+1en fonction depn. En déduirepnen fonction denetp1. Déterminer la limite depn. b) On noteXnla variable aléatoire correspondant au coût du à la pièce A le nèmejour. Calculer son espérance.
c) Comparer cela à la stratégie consistant à changer un matin sur deux la pièce A.
0.3. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 3 Exercice 18 Soientb,r∈N∗ etc∈N. Une urne contientbboules blanches etr boules rouges. On effectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l’urne avec en plus c boules de la même couleur. On noteXnla variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera
p= r
b+r q= b b+r
1) Déterminer la loi du couple(X1,X2)En déduire la loi deX2la comparer à celle deX1. 2) Trouver les lois conditionnelles deX1sachantX2et deX2sachantX1.
3) Déterminer la loi de la variableS2=X1+X2.
4) Déterminer la loi deX3sachant queS2 =kpourk∈N. 5) Déduire du 4) que la loi deX3est la même que celle deX1. 6) Exprimer la loi deXn+1à l’aide deE(Sn).
7) Montrer que toutes les variables aléatoiresXnont même loi de probabilité.
Exercice 19 Montrer que la seule loi surNayant la propriété suivante :
∀l,p∈N P(X > l+p|X > l) =P(X > p) est la loi géométrique (P(X =k) =p(1−p)k).
Exercice 20 Soientp∈]0; 1[;Xune variable aléatoire de loi de Poisson de paramètreλ P(X=k) =e−λλk
k!
etY telle que
P(Y =k|X=n) =Cnkpk(1−p)n−k Déterminer la loi deY.
Exercice 21 Un premier joueur lance un dé rouge, un deuxième joueur lance deux dés verts : Si le dé rouge a une valeur supérieur à la somme des verts le deuxième joueur verse 1 euro au premier, si cette valeur est égal à la somme des verts il lui verse 10 euros, dans les autres cas c’est le premier joueur qui verse 1 euro au deuxième.
a) Modéliser les gains algébriques du premier joueur.
b) Quelle est la probabilité que le joueur 1 gagne.
c) Quel est le "gain moyen" du premier joueur.
d) Faut-il mieux être le joueur 1 ou le joueur 2.
0.3 Variables aléatoires à densité
Exercice 22 SoitXune variable aléatoire de densitéfX avec
fX(t) = 1 +tsit∈[−1; 0], αsit∈[0,2] et0sinon a) Représenter la densité deX.
b) Déterminerα.
c) Calculer et représenter la fonction de répartition deX.
d) CalculerP(X > 12)puisE(X).
e) Calculer la fonction de répartitionFY de la variable aléatoireY =X2, en déduire sa densitéfY. f) Représenter les deux fonctionsfY etFY.
g) CalculerE(Y)d’une part à l’aide defY d’autre part à l’aide defX.
0.3. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 4 Exercice 23 1. : La densité de probabilitéfX d’une V.A.Xest donnée par
fX(t) = c 1 +t2 a) ReprésenterfX.
b) Déterminerc.
d) CalculerP(X >√ 3).
e) CalculerE(X).
f) Déterminerhtel queP(X < h) = 0.1.
Exercice 24 SoitXune variable aléatoire de densitéfX:
fX(t) =Kt2sit∈[−α;α], 0sinon a) Représenter la densité deX.
b) DéterminerKen fonction deα.
c) Déterminer puis représenter la fonction de répartition deX FX. d) CalculerP(X > α2)puisE(X).
Exercice 25 On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantesX1etX2de paramètresa1 eta2 fX1(t) =a1e−a1tsit >0, 0 sinon
. On poseY = min(X1;X2). Déterminer la fonction de répartition deY, en déduire sa densité, puis son espérance.
Exercice 26 SoitX une V.A. uniforme sur [-1,2] etY =X2, déterminer la fonction de répartition deY, en déduire sa densité puisE(X);E(Y);V ar(Y)
Exercice 27 SoitXune V.A. Gaussienne de paramètres(2; 4) a) CalculerP(X >1);P(|X|<4);P(|X|<4|X >2);
b) Déterminerαle plus grand possible tel queP(X−2> α)>10−2 c) Quelle est la loi de X−12 .
Exercice 28 L’éclairage d’une commune est assurée par 2000 lampes dont la durée de vie moyenne est 1000 heures. Cette durée de vie suit une distribution normale d’écart typeσ = 300N(1000; 300)
a) Quel est le nombre de lampes hors d’usage au bout de 700 H? de 1500 H? de 3000 H ? b) Au bout de combien d’heure 5% sont hors d’usage?
c) D’autres ampoules ont une durée de vie qui suit une loiN(1100; 400). Quelles ampoules faut-il choisir si l’on veut :
i) Que la durée de vie moyenne soit maximale
ii) Que la durée durant laquelle 95% des ampoules fonctionnent soit maximale.
Exercice 29 Les notes d’un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre(8,5 ; 4).
a) Quelle est la proportion d’étudiants ayant la moyenne.
b) On veut améliorer les notes à l’aide d’un transformation affineY =aX+b. Déterminera,bpour que 50%
des étudiants aient la moyenne et 75% ait une note supérieur à 8.
c) Comment peut-on faire pour garder la même moyenne et avoir 80% des étudiants entre 5 et 15.
Exercice 30 SiZsuit une loi normale on dit queX=eZsuit une loi log-normale, de mêmes paramètres que Z
a) DéterminerE(X)etV ar(X)en fonction deE(Z)etvarZ. b) calculerP(2< X <4)sachant queE(X) = 2etV arX = 2
c) On suppose que la distribution des revenusRd’une population suit une loi log-normale généralisée c’est à direR=a+X(X log normale, calculer les paramètres deR : (a;m;σ)sachant que la moitié gagne moins de 5000 francs , 10% gagnent plus de 9000 francs et 10% gagne moins de 1000 francs.
0.4. COUPLES, SUITES ET CONVERGENCE DE VARIABLES ALÉATOIRES 5 Exercice 31 Un des cadres du service des études économiques d’un constructeur automobile a prévu qu’il y aura 1550 000 voitures particulières immatriculées en France en 1998. Afin d’évaluer les caractéristique de l’erreur, il fait l’hypothèse que l’écart entre prévision et réalisation∆est une V.A. de loi:
g(u) = k(v)
√2πe−u2 siu∈[−v;v]et0sinon
a) Déterminerk(v);F∆;E(∆)etV ar(∆)
b) Pourv= 0,1. Donner un intervalle dans lequel le nombre de voitures immatriculées en 98 a 90% de chance de se trouver.
Exercice 32 On suppose que le nombreN de vis se trouvant dans une mesure d’un litre suit une loi normale N(860,11).
a) Quelle est la probabilité qu’il y ait moins de 850 vis dans un litre? moins de 800 ?
b) CalculerP(N > 860),P(N ≥ 861),P(N ≥860,5)comment peut-on interpréter ces résultats en termes de vis ? Conclusion.
c) Ce modèle permet-il de dire quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 850 vis dans un litre? Comment peut on faire?
0.4 Couples, suites et convergence de variables aléatoires
Exercice 33 Une urne contient N jetons numérotés de 1 à N. On tire dans cette urne p jetons au hasard, successivement et sans remise. On appelle Xi la V.A. qui au cours d’une succession de tirages modélise le numéro du jeton extrait au tirage de rang i.
a) Déterminer la loi de probabilité deXi.
b) Les variables aléatoiresXietXj sont-elles indépendantes?
c) On poseS =X1+X2+...+Xp. c1) CalculerE(Xi)puisE(S).
c2) CalculerV ar(Xi),Cov(Xi;Xj)puisV ar(S).
Exercice 34 Soit(X;Y)un couple de V.A. de loi f(x;y) = 1
2πσ1σ2
e−
(x−µ1)2
2σ1 +(x−µ2)
2 2σ2
a) Déterminer les lois marginales deXetY. b) Que peut-on en déduire?
c) Déterminer la loi deX+Y.
Exercice 35 1. On jette 10 pièces , non truquées, soitXle nombre de pile, déterminer la loi de X.
Tracer la fonction caractéristique de X puis comparer là à la fonction caractéristique de l’approximation centrale.
Exercice 36 Dans une société, les employés d’un bâtiment A ont souvent besoin d’appeler au téléphone un bâtiment B. Le bâtiment A contient 200 employés et l’on constate que chacun d’entre eux veut téléphoner en moyenne 3mn par heure au bâtiment B. Quel nombre de lignes, minimal k faut-il établir entre les 2 bâtiments pour qu’un employé de A, désirant téléphoner en B, ait une probabilité inférieur à 1% que toutes les lignes soit occupées.
Exercice 37 On suppose que la durée de vie d’une ampoule électrique est une V.A. de loi exponentielle de paramètre λ = 10h−1 . Si l’on remplace une ampoule dès qu’elle " claque ". Quel est la probabilité qu’au bout de 100 000 heures l’ampoule en fonctionnement soit au moins la dixième.
0.5. ESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE 6 Exercice 38 Un restaurant peut servir 75 repas. La pratique montre que 15% des clients ayant réservés ne viennent pas.
a) Le restaurateur accepte 90 réservations, quel est la probabilité qu’il se présente plus de 50 clients ? plus de 75 ?
b) Combien le restaurateur doit-il accepter de réservations pour avoir une probabilité égale à 0,95 de pouvoir servir tous les clients qui se présenteront.
c)Le restaurateur accepte 75 réservations, on noteN une variable aléatoire qui modélise le nombres de clients qui se présentent, calculer, interpréter et comparerP(X >70),P(X >70,5)etP(X≤71).
Exercice 39 Soit(Xn)une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètren, montrer que cette suite converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle.
Exercice 40 1. Soit(X;Y)un couple de V.A. de loif(x;y) = 8xysix∈[0; 1]ety∈[0;x],0sinon.
a) DéterminerFX etFY les densités deXetY. b) CalculerP(Y < 12);P(Y < X)etE(X).
c) CalculerP(X < 12|Y > 12.
Exercice 41 Soit(X1,X2)un couple de v.a.r. admettant la densité de probabilité f(x1,x2) = 1
2πp
1−ρ2exp−( 1
2(1−ρ2)(x21−2ρx1x2+x22)). oùρ∈]0,1[.
Vérifier quef est une densité de probabilité surR2et trouver les densités marginales deX1etX2. Ces v.a.r.
sont-elles indépendantes?
0.5 Estimation et intervalle de confiance
Exercice 42 Un échantillon de 478 électeurs choisis aléatoirement, indique que 255 d’entre eux vont voter pour A. Évaluer des intervalles de confiance à 1% et à 5% pour la proportion d’électeurs votant pour A.
Exercice 43 On admet que la durée de vie, exprimée en jours, d’un composant électronique suit une loi normale d’écart type 70. Les durées de vie de 250 composants ont donné une moyenne de 450 jours. Donner un intervalle de confiance à 99% de la durée de vie moyenne d’un composant.
Exercice 44 D’un contrôle journalier effectué à la sortie d’une chaîne de fabrication de billes en acier sur un échantillon de 326 billes il ressort que leur poids suit une loi de Laplace Gauss de moyennem= 61,26mg et d’écart typeσ = 6,32mg.
a) Estimer l’écart type théorique de la production journalière.
b) Estimer le poids moyen à l’aide d’un intervalle de confiance symétrique au niveau de 95%.
c) Quel devrait être la taille de l’échantillon pour situer le poids moyen journalier de la production dans un intervalle de confiance symétrique de±5mg avec un niveau de 95%.
d) Si l’on veut situer le poids moyen de la production avec un même niveau de confiance dans un intervalle de longueur deux fois plus petite, dans quelle proportion doit évoluer l’échantillon pris.
e) On dispose d’un lot de 10 billes dont les poids sont respectivement en mg :
67,24−65,21−65,34−62,01−70,12−64,90−62,12−69,3−60,1−65,4
Peut-on considérer ce lot comme extrait au hasard de la production de l’usine avec un niveau de confiance de 95%.
Exercice 45 On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportionpest défectueuse.
On contrôle un lot de 200 pièce et on trouve 20 pièces défectueuses. Donner des intervalles de confiance pour l’estimation dep, au niveau 95% puis 99%.
0.5. ESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE 7 Exercice 46 Comparaison de deux estimateurs.
On suppose que les V.A.Xisont indépendantes et suivent toutes une loi uniforme sur[0; 2A]on note : X= 1
n
n
X
k=1
Xk etM = max(X1;X2...;Xn)
a) Rappeler les valeurs deE(X);E(X)etvar(X).
b) Déterminer la fonction de répartition dM:FM(t).
c) DéterminerE(M)puis unαtel que la nouvelle variableMˆ définie parMˆ =αM soit un estimateur sans biais deAc’est à dire tel queE( ˆM) =A.
d) En calculant les variances des variables aléatoires 12XetMˆ, comparer l’efficacité de ces deux estimateurs sans biais deA.
Exercice 47 Maximum de vraisemblance :
On donne ici une idée d’une méthode très utile, qui permet de trouver des estimateurs performants : On se place dans un modèle où les Xi sont indépendants de même loi de densité p(x,θ) (par exemple pour une loi exponentielle de paramètre θon a p(x,θ) = θe−θx six > 0, 0 sinon). Si x1,x2,...,xn sont les valeurs prises par les V.A.X1...Xnlors d’une expérience, on appelle vraisemblance la fonctionL(x1,x2,...,xn,θ) = p(x1,θ)p(x2,θ)...p(xn,θ), on appelle maximum de vraisemblance la valeur de θ qui maximise la vraisem- blance, on la noteθˆ.
a) Donner une interprétation intuitive qui justifie le choix de l’estimateurθˆ.
b) Si lesXisuivent des lois normales de paramètres(m,σ),σ étant connu, déterminer l’estimateur du maxi- mum de vraisemblance de la moyennem.
c) Reprendre l’exercice 46 et déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance deA.
Exercice 48 Sondage : Méthodes des strates.
On veut estimer la moyenne d’un caractère (par exemple 1 si on vote pour A, 0 si on vote pour B) d’une population(E)d’effectif N que l’on peut découper en strates (E1,...,Er), d’effectifN1...,Nr (par exemple par âge). On noteµila moyenne de la strateietσison écart type, on note de plusµla moyenne générale etσ l’écart type de la population, on ne connaît pas ces différentes quantités. On extrait de chaque populationEi
un échantillon non exhaustif de tailleni, on noteX(i;1),X(i;2),...,X(i,ni) les résultats sur l’échantillon deEi, etXila moyenne de cesnivaleurs, enfin on note :
Y = X
1≤i≤r
Ni NXi a) Montrer queY est un estimateur sans biais deµ.
b) Montrer que :
var(Y) = 1 N2
X
i
Ni2σ2i ni
c) On choisit des échantillons dans chaque strate de taille proportionnelle à la taille de la strateni = NNin, montrer que :
var(Y) = 1 n
1 N
X
i
Niσ2i ≤ maxiσ2i n
d) On fait maintenant un sondage surnpersonnes sans stratification, on noteXla moyenne de l’échantillon.
Comparer sa variance avec celle deY.
0.6. TESTS STATISTIQUES 8
0.6 Tests statistiques
Exercice 49 Une pièce jetée 660 fois tombe 312 fois sur pile, pensez vous que cette pièce est bien équilibrée?
Exercice 50 Des appareils électriques de chauffage ont une moyenne de vie de fonctionnement de 20000 heures avec un écart type de 7000 heures. À l’aide d’un changement de composant, le fabricant affirme que la durée de vie moyenne peut être accrue. On a testé un échantillon de 27 appareils et on a observé une durée de vie moyenne de 22000 heures. Peut on soutenir cette affirmation au risque de 5%, 1%?
Exercice 51 Le fabricant d’une nouvelle solution anti rouille annonce que son produit est efficace à 90%.
Dans un échantillon de 500 pièces le résultat est probant pour 420 d’entre elles. L’affirmation du fabricant est-elle légitime?
Exercice 52 Lors d’une émission de télévision un sujet arrive à identifier la couleur de 29 cartes sur 32 alors que les cartes sont retournées. Peut on affirmer que le sujet est extra sensoriel au risque de 0,1%.
Exercice 53 Un problème difficile de probabilité, laisse en désaccord deux étudiants, l’un défend que la probabilité de l’événement A est 12 et l’autre que c’est 13 .
Ils font 50 expériences et trouve que A se réalise 21 fois, que peut-on conclure?
Ils refont 50 expériences et trouve que A se réalise 20 fois, que peut-on conclure?
Exercice 54 Lors d’une étude granulométrique de sédiments, on a relevé, pour deux échantillons C et D, les caractéristiques suivantes de la distribution des diamètres des grains.
Échantillon C : 98 grains, moyenne 63 microns, écart type 15 microns.
Échantillon D : 62 grains, moyenne 54 microns, écart type 12 microns.
Les deux échantillons sont-ils significativement différents, en ce qui concerne le diamètre des grains ? Exercice 55 Deux machines A et B fabriquent en série la même pièces. Lors d’une expertise de la production, on remarque que la machine A a produit 2700 pièces dont 50 sont défectueuses alors que sur les 1600 pièces produites par la machine B, 35 sont défectueuses. Doit-on conclure que la machine A est mieux réglée que la B ?
Exercice 56 Pour contrôler la fabrication d’une pièce industrielle, on étudie la distribution de 100 séries de contrôle de cette pièce. Chaque série contient 200 pièces prélevées au hasard dans la fabrication (prélève- ment non exhaustif). On désigne par Nk le nombre de séries de contrôle, ayant kpièces défectueuses, les observations sont résumées dans le tableau suivant :
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >9
Nk 1 7 14 19 20 17 12 7 2 0 1
La production est homogène si la proportion de pièces défectueuses ne varie pas au cours des prélèvements.
On teste doncH0: La production est homogène. On fera un test deχ2au risque de 5%.
Exercice 57 L’analyse des charges de rupture d’un échantillon de 500 câbles donne les résultats suivants : charge de rupture en kg 650 655 660 665 670 675 680 685 690 695 700
effectif 1 8 13 22 24 19 9 8 3 1 1
a) Calculer la moyenne et l’écart type de cette série. Puis estimer moyenne et écart type de l’ensemble de la production.
b) Les charges de ruptures suivent-elles une loi normale?
Exercice 58 On veut comparer la qualité de sondages réalisés par deux instituts différents, une étude rapide permet de trouver un certain nombre de résultats :
Institut 1 Institut 2 Nombre de prévisions exactes 90 75 Nombre de prévisions fausses 32 31
0.6. TESTS STATISTIQUES 9 Y-a-t-il une différence significative entre les deux instituts de sondages.
Exercice 59 Une étude sur l’utilisation de certains distributeurs de billets SNCF, permet de mieux comprendre les phénomènes d’attentes, on relève toutes les heures le nombre de personnes faisant la queue, et cela pour une dizaine de distributeurs, on obtient les résultat suivant :
Taille de la file d’attente 0 1 2 3 4 5 et + Nombre d’observations 24 39 28 18 6 9
a) On veut modéliser la taille de la file d’attente par une variable aléatoireT, estimer l’espérance deT. b) Peut-on faire l’hypothèse que la taille de la file d’attente suit une loi de Poisson ?
Exercice 60 On mesure la taille de pères né en 1942 et celle de leur fils adultes, on obtient les résultats suivants :
Taille de l’échantillon Taille moyenne écart type de l’échantillon
Père 241 169,7 8,21
Fils 215 174,3 9,41
En admettant que les tailles des hommes d’une même génération suivent une loi de Gauss, peut-on conclure qu’entre ces deux générations la taille des hommes a significativement augmentée?
Exercice 61 On veut comparer la durée de vie de composants de trois marques différentes : Échantillon 1 403 442 431 430
Échantillon 2 460 450 435 429 Échantillon 3 455 420 415 Tester si il y a une différence significative entre les différentes marques?
Exercice 62 On pèse de jeunes hommes lors de leur trois jours :
Poids mesuré en kg <60 60-64 64-67 67-69 69-72 72-76 76-95 >95
Nombres de jeunes 15 65 63 70 58 45 15 4
L’hypothèse que le poids de ces jeunes hommes suit une loi normale est elle raisonnable?
Exercice 63 On veut étudier si il y a indépendance entre les notes de R.D.M. de M. Cabrillac et les notes de Mathématiques : sur plusieurs années on a relevées les notes suivantes.
RDM<6 6<RDM<9 9<RDM<12 RDM>12
M<6 15 8 5 1
6<M<9 10 28 10 7
9<M<12 6 25 31 15
12<M 3 13 16 27
Que peut-on conclure?
