Algèbre linéaire
Exercice I. (EML 2020)
On définit, pour tous réelsaetb,M(a, b)la matrice carrée d’ordre4par :
M(a, b) =
a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a b b b b
et on note :E=
M(a, b)|(a, b)∈R2 .
L’objectif de cet exercice est de déterminer les matrices deE qui sont diagonalisables.
1. a. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deM4,1(R).
Déterminer une base deEet sa dimension.
b. Le produit de deux matrices quelconques deEappartient-il encore àE? 2. Étude du casa= 0etb= 0.
Justifier que la matriceM(0,0)est diagonalisable.
3. Étude du casa6= 0etb= 0.
Soitaun réel non nul. On noteAla matriceM(a,0).
a. CalculerA2et déterminer un polynôme annulateur deA.
b. En déduire les valeurs propres de la matriceAet préciser une base de chacun des sous-espaces propres associés.
c. En déduire que la matriceAest diagonalisable. Déterminer une matriceP deM4,1(R)inversible et une matriceDdeM4,1(R)diagonale telles que :A=P DP−1.
4. Étude du casa= 0etb6= 0.
Soitbun réel non nul. On noteBla matriceM(0, b).
a. Déterminer le rang des matricesB etB−b I4,I4désignant la matrice identité d’ordre4.
b. En déduire l’ensemble des valeurs propres de B en précisant la dimension des sous-espaces propres associés.
c. La matriceBest-elle diagonalisable ? 5. Étude du casa6= 0etb6= 0.
Soientaetbdeux réels non nuls. On notef l’endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique deR4estM(a, b).
On pose :
v1 = (1,1,1,0), v2 = (0,0,0,1) et T = a a 3b b
!
a. Montrer queKer(f)est de dimension2et préciser une base(v3, v4)deKer(f).
b. Montrer que la familleB0 = (v1, v2, v3, v4)est une base deR4.
c. Déterminer la matrice notéeN de l’endomorphismef dans la baseB0.
d. Soientλun réel non nul etX=
x y z t
une matrice colonne deM4,1(R).
Montrer queXest un vecteur propre deN associé Ã la valeur propreλ
⇐⇒ x y
!
est un vecteur propre deT associé à la valeur propreλ et z=t= 0.
e. On suppose dans cette questionuniquementque(a, b) = (1,1).
Déterminer les valeurs propres deT. En déduire que la matriceM(1,1)est diagonalisable.
f. On suppose dans cette questionuniquementque(a, b) = (1,−1).
Justifier queTn’admet aucune valeur propre. La matriceM(1,−1)est-elle diagonalisable ? g. Montrer l’équivalence : M(a, b)est diagonalisable ⇐⇒ a2+ 10ab+b2>0.
Exercice II. (EML 2019)
On rappelle que deux matrices AetB deM3(R) sont dites semblables lorsqu’il existe une matriceP deM3(R) inversible telle que :B =P−1AP.
L’objectif de cet exercice est d’étudier des exemples de matrices inversibles qui sont semblables à leur inverse. Les trois parties de cet exercice sont indépendantes entre elles.
Partie A : Premier exemple
On considère la matriceAdeM3(R)définie par :A=
1 −1 1 0 1/2 0
0 0 2
.
1. Déterminer les valeurs propres deA. Justifier queAest inversible et diagonalisable.
2. Déterminer une matriceDdeM3(R)diagonale où les coefficients diagonaux sont rangés dans l’ordre crois- sant, et une matriceP deM3(R)inversible, telles queA=P DP−1.
Expliciter la matriceD−1. 3. On noteQ=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
. CalculerQ2etQDQ.
4. En déduire que les matricesAetA−1sont semblables.
Partie B : Deuxième exemple
On considèrefl’endomorphisme deR3défini par ∀(x, y, z)∈R3, f(x, y, z) = (x,−z, y+2z). On noteMla matrice def dans la base canonique deR3.
On considère également les vecteursu1etu2 deR3 définis par :u1= (1,0,0)etu2 = (0,1,−1).
5. Expliciter la matriceM et montrer queMest inversible.
6. a. Vérifier que1est valeur propre def et que(u1, u2)est une base du sous-espace propre associé.
b. Déterminer un vecteuru3deR3tel que :f(u3)−u3=u2. c. Montrer que la familleB1= (u1, u2, u3)est une base deR3. On admet queB2 = (u1,−u2, u3)est également une base deR3.
7. a. Écrire la matriceM1def dans la baseB1 et la matriceM2def dans la baseB2. b. Justifier que les matricesM1 etM2sont semblables, et calculerM1M2.
8. En déduire que les matricesM etM−1sont semblables.
Partie C : Troisième exemple
On considère la matriceT deM3(R)définie par :T =
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1
. On noteI3 la matrice identité deM3(R)et on pose :N =T −I3.
9. Justifier que la matriceT est inversible. Est-elle diagonalisable ? 10. a. CalculerN3et(I3+N)(I3−N+N2).
b. En déduire une expression deT−1 en fonction deI3, N etN2.
11. On notegl’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique estN. a. Justifier qu’il existe un vecteurudeR3tel queg◦g(u)6= 0etg◦g◦g(u) = 0.
b. Montrer que la familleB3= (g◦g(u), g(u), u)est une base deR3. c. Écrire la matrice degdans la baseB3.
d. CalculerN2−N et en déduire que les matricesN etN2−N sont semblables.
12. Montrer que les matricesT etT−1sont semblables.
Exercice III. (EML 2018)
On noteB= (e1, e2, e3)la base canonique deR3.
On considère l’endomorphismef deR3 dont la matrice dans la baseBest la matriceAdonnée par :
A=
0 −2 −5
−2 0 4
1 1 0
.
On considère l’endomorphismegdeR3défini par ∀(x, y, z)∈R3, g(x, y, z) = (x+y−z,2y, −x+y+z).
Enfin, on pose u=e1−e2= (1,−1,0)etv=f(e1) +e1. 1. a. Calculerv.
b. Montrer que la familleC= (u, v, e1)est une base deR3. c. On noteP la matrice de passage de la baseBà la baseC.
Expliciter la matriceP et calculerP−1. 2. a. Déterminer la matriceA0def dans la baseC.
b. En déduire les valeurs propres def. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? c. L’endomorphismef est-il bijectif ?
d. Expliciter, sans justification, le lien entre les matricesA,A0,P etP−1. 3. a. Déterminer la matriceBdegdans la baseB.
b. Montrer :B2 = 2B.
c. En déduire les valeurs propres deg, ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.
d. L’endomorphismegest-il diagonalisable ?
On pose :E ={M ∈ M3(R)|BM =M A}.
1. a. Montrer queEest un espace vectoriel.
b. SoitMune matrice appartenant àE.
Montrer queMn’est pas inversible.(On pourra raisonner par l’absurde).
2. On cherche à montrer queEn’est pas réduit à l’ensemble{0}.
a. Justifier que, pour tout réelλ, les matricesA−λI3et(tA)−λI3 ont même rang, la matriceI3 désignant la matrice identité deM3(R).
b. En déduire que les matricesBettAadmettent une valeur propre en commun, notéeα.
c. SoientX un vecteur propre deB associé à la valeur propreα, etY un vecteur propre detAassocié à la valeur propreα. On note :N =XtY.
Montrer que la matriceN est non nulle et queN appartient àE.
d. En déduire :dim(E)≥2.
Exercice IV. (EDHEC 2018)
On considère la matrice A= 1 2 3 6
! . 1. Vérifier queAn’est pas inversible.
2. Déterminer les valeurs propres deA, puis trouver les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
Dans la suite, on considère l’applicationf qui, à toute matrice deM2(R), associe f(M) =AM. 3. Montrer quef est un endomorphisme deM2(R).
4. a. Déterminer une base de Ker(f)et vérifier que Ker(f)est de dimension2.
b. En déduire la dimension de Im(f).
c. On poseE1 = 1 0 0 0
!
, E2 = 0 1 0 0
!
, E3 = 0 0 1 0
!
, E4 = 0 0 0 1
!
et on rappelle que la famille (E1, E2, E3, E4)est une base deM2(R). Écriref(E1),f(E2),f(E3)etf(E4)sous forme de combinaisons linéaires deE1,E2,E3 etE4, puis donner une base de Im(f).
5. a. Déterminer l’image parf des vecteurs de base de Im(f).
b. Donner les valeurs propres def puis conclure quef est diagonalisable.
6. Généralisation :f est est toujours l’endomorphisme deM2(R)défini parf(M) =AM , mais cette fois,Aest une matrice quelconque deM2(R). On admet quef etApossèdent des valeurs propres et on se propose de montrer que ce sont les mêmes.
a. Soitλune valeur propre deAetXun vecteur propre associé.
Justifier queXtXappartient àM2(R), puis montrer que c’est un vecteur propre def. En déduire queλest valeur propre def.
b. Soitλune valeur propre de f et M une matrice de M2(R) vecteur propre def associé à cette valeur propre. En considérant les colonnesC1 etC2deM, montrer queλest valeur propre deA.
Exercice V. (EML 2017)
On noteE =R2[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et B= (1, X, X2)la base canonique deE.
Pour tout polynômeP deE, on note indifféremmentP ouP(X).
Pour tout(α, β, γ) ∈ R3, la dérivéeP0 du polynôme P =α+βX +γX2 est le polynômeP0 = β+ 2γX et la dérivée secondeP00deP est le polynômeP00= 2γ.
On note, pour tout polynômeP deE:
a(P) =P−XP0, b(P) =P−P0, c(P) = 2XP −(X2−1)P0
Par exemple,a(X2) =X2−X(2X) =−X2. Enfin, on notef =b◦a−a◦b.
Partie I : Étude de a
1. Montrer queaest un endomorphisme deE.
2. a. Montrer que la matrice deAdeadans la baseBdeE est :A=
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
. b. Déterminer le rang de la matriceA.
3. L’endomorphismeaest-il bijectif ? Déterminer Ker(a) et Im(a).
On admet, pour la suite de l’exercice, quebetcsont des endomorphismes deE.
On noteBetCles matrices, dans la baseBdeE, debetcrespectivement.
Partie II : Étude deb
4. Montrer quebest bijectif et que, pour toutQdeE, on a : b−1(Q) =Q+Q0+Q00. 5. a. Montrer quebadmet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci.
b. L’endmorphismebest-il diagonalisale ? Partie III : Étude dec
6. Montrer : C =
0 1 0 2 0 2 0 1 0
. 7. L’endomorphismecest-il bijectif ?
8. a. Déterminer une matrice R, carrée d’ordre 3, inversible, dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, et une matriceD, carrée d’ordre trois, diagonale, à coefficients diagonaux dans l’ordre croissant, telles queC=RDR−1.
b. En déduire que l’endormophismecest diagonalisable et déterminer une base deEconstituée de vecteurs propres dec.
Partie IV : Étude def
9. Montrer que ∀P ∈E, f(P) =P0. 10. En déduire : (BA−AB)3 = 0.
Exercice VI. (EDHEC 2017)
On noteEl’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 et on rapelle que la famille (e0, e1, e2)est une base deE, les fonctionse0, e1, e2étant définies par :
∀t∈R, e0(t) = 1, e1(t) =tete2(t) =t2
On considère l’applicationϕqui, à toute fonctionP deE, associe la fonction, notéeϕ(P), définie par :
∀x∈R, (ϕ(P)) (x) = Z 1
0
P(x+t)dt
1. a. Montrer queϕest linéaire.
b. Déterminer (ϕ(e0)) (x),(ϕ(e1)) (x) et (ϕ(e2)) (x) en fonction de x, puis écrire ϕ(e0), ϕ(e1) et ϕ(e2) comme combinaisons linéaires dee0, e1, e2.
c. Déduire des questions précédentes queϕest un endomorphisme deE.
2. a. Écrire la matriceAdeϕdans la base(e0, e1, e2). On vérifiera que la première ligne deAest
1 1 2
1 3
b. Justifier queϕest un automorphisme deE.
c. L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?
3. Compléter les commandesScilabsuivante pour que soit affichée la matriceAnpour une valeur denentrée par l’utilisateur :
n=input(’entrer une valeur pour n:’) A=[...]
disp(...)
4. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, il existe un réeluntel que l’on ait :
An=
1 n/2 un
0 1 n
0 0 1
Donneru0 et établir que :
∀n∈N, un+1 =un+ 1
6(3n+ 2) b. En déduire, par sommation, l’expression deunpour tout entiern.
c. EcrireAnsous forme de tableau matriciel.
Exercice VII. (HEC 2019)
1. Dans cette question, on considère les matricesC =
0 1 2
∈ M3,1(R),L= [1,2,−1]∈ M1,3(R)et le produit matricielM =CL.
a. i. CalculerM etM2.
ii. Déterminer le rang deM.
iii. La matriceM est-elle diagonalisable ? b. i. SoitP =
0 1 0
1 0 0
0 −2 1
. Justifier queP est inversible et calculer le produitP
0 1 2
.
ii. Trouver une matrice inversibleQdont la transposée tQvérifie : tQ
1 2
−1
=
1 0 0
. iii. Pour une telle matriceQ, calculer le produitP M Q.
2. La fonctionScilabsuivante permet de multiplier lai-ème ligneLi d’une matriceApar un réel sans modifier ses autres lignes, c’est-à-dire de lui appliquer l’opération élémentaireLi ←aLi(oùa6= 0).
function B=multlig(a,i,A) [n,p] = size(A) B = A
for j=1 :p
B(i,j)=a*B(i,j) end
endfunction
a. Donner le codeScilabde deux fonctionsaddlig(d’argumentsb, i, j, A) etechlig(d’arguments i,j,A) permettant d’effectuer respectivement les deux autres opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice :
Li←Li+bi(i6=j) et Li ↔Lj(i6=j).
b. Expliquer pourquoi la fonctionmultligmatsuivante retourne le même résultatBque la fonctionmultlig. function B = multligmat(a,i,A)
[n,p] = size(A) D = eye(n,n) D(i,i) = a B = D*A endfunction
3. Dans cette question, on notenun entier supérieur ou égal à 2 etMune matrice deMn(R)de rang 1.
Pour tout couple(i, j) ∈ [[1, n]]2, on noteEi,j la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l’intersection de sai-ème ligne et de saj-ème colonne, qui vaut 1.
a. i. Justifier l’existence d’une matrice-colonne non nulleC=
c1
... cn
∈ Mn,1(R)et d’une matrice-ligne non nulleL= [`1, . . . , `n]∈ M1,n(R)telles queM =CL.
ii. Calculer la matriceM Cet en déduire une valeur propre deM. iii. Montrer que si le réel
n
X
i=1
ci`iest différent de 0, alors la matriceMest diagonalisable.
b. i. À l’aide de l’égalité M = CL, établir l’existence de deux matrices inversibles P et Q telles que P M Q=E1,1.
ii. En déduire que pour tout couple(i, j)∈[[1, n]]2, il existe deux matrices inversiblesPietQj telles que PiM Qj =Ei,j.
Exercice VIII. (HEC 2013) On noteE =R3[X].
Soitf l’application définie surEqui associe à tout polynomeP ∈E, le polynômef(P)défini par : f(P)(X) =−3XP(X) +X2P0(X).
1. a. Rappeler la dimension de E.
b. Montrer quef est un endomorphisme deE.
c. Déterminer la matriceMdef dans la base canonique deE.
d. La matriceMest-elle inversible ? CalculerM2,M3,M4, puis en déduireMnpourn≥4.
e. Préciser le noyauKerfdef ainsi qu’une base deKerf. f. Déterminer l’imageImf def.
2. On note idE et 0E respectivement, l’endomorphisme identité et l’endomorphisme nul de E, et pour tout endomorphismevdeE, on posev0 =idE et pour toutkdeN∗,vk=v◦vk−1.
Soituetgdeux endomorphîsmes deE tels que u4= 0E,u3 6= 0E etg=idE +u+u2+u3. a. Justifier qu’il existe un un polynômeP deEtel queP /∈Ker(u3).
On considère par la suite un tel polynômeP.
b. Montrer que la familleB= (P, u(P), u2(P), u3(P))est libre et en déduire queBest une base deE.
c. Déterminer la matriceT degdansB. Montrer quegest un automorphisme deE.
d. Calculerg◦(idE−u)et en déduire une expression deg−1.
e. CalculerT−1et retrouver le résultat de la question précédente (on donnera la matrice deuet deidEdans B).
f. Etablir l’égalitéKer(u) =Ker(g−idE).
(On pourra notamment s’intéresser au rang des matrices des applications concernées.)
Exercice IX. (EDHEC 2020)
On convient que, pour tout réelx, on ax0= 1.
1. Soitn∈N. Justifier l’existence des intégrales In= Z 1
0
xn
(1 +x)2dx et Jn= Z 1
0
xn 1 +xdx.
2. CalculerI0etI1.
3. a. Pour toutndeN, calculer In+2+ 2In+1+In. b. En déduireI2.
c. Compléter le programme suivant, pour qu’il permette le calcul deIn(dans la variable b) et son affichage pour une valeur denentrée par l’utilisateur.
n=input (’donnez une valeur pour n : ’) a=...
b=...
for k=...
aux=...
a=...
b=...
end disp (b)
4. a. Montrer que ∀n∈N, 06In6 1 n+ 1. b. En déduire que la suite(In)n∈
Nest convergente et donner sa limite.
5. Établir, à l’aide d’une intégration par parties, que ∀n∈N∗, In=nJn−1−1 2.
6. a. CalculerJ0, puis exprimer, pour tout entier natureln, Jn+Jn+1 en fonction den.
b. En déduire la valeur deJ1.
7. En utilisant les questions5.et6., compléter le programme suivant, afin qu’il permette le calcul et l’affichage deInpour une valeur denentrée par l’utilisateur.
n=...
J=...
for k=...
J=...
end I=...
disp(I)
8. Établir que ∀n∈N∗, Jn= (−1)n ln(2)−
n
X
k=1
(−1)k−1 k
! .
9. a. Utiliser les questions4.et5.pour déterminer la valeur de lim
n→+∞Jn. b. En déduire la nature de la série de terme général (−1)k−1
k , ainsi que la valeur de
+∞
X
k=1
(−1)k−1 k . c. Utiliser la question5.pour trouverα >0tel que Jn ∼
n→+∞
1 αn.
10. Pour toutndeN∗, on pose un= ln(2)−
n
X
k=1
(−1)k−1 k .
a. Déduire des questions précédentes un équivalent deunlorsquenest au voisinage de+∞. b. Montrer que la série de terme général (−1)n
2n est convergente. Peut-on en déduire la nature de la série de terme généralun?
11. On se propose, malgré l’impasse précédente, de montrer que la série de terme généralun est convergente.
Pour ce faire, on admet le résultat suivant : si une suite (xn) est telle que les suites (x2n) et (x2n+1) sont convergentes et de même limite`, alors la suite(xn)converge vers`. Pour tout entier naturelnnon nul, on poseSn=
n
X
k=1
uk.
a. Justifier que, pour tout entier naturelknon nul, on a uk = (k+ 1)uk+1−kuk+ (−1)k b. En déduire l’égalité suivante : ∀n∈N∗, Sn= (n+ 1)un+1−u1−1
2(1−(−1)n).
c. Montrer alors que lim
n→+∞S2n= lim
n→+∞S2n+1= 1
2−ln(2). Conclure.
12. Des trois résultats suivants, expliquer lequel on vient de démontrer : a)
+∞
X
k=1 k
X
j=1
(−1)j−1 j = 1
2 −ln(2) b)
+∞
X
k=1 +∞
X
j=1
(−1)j−1 j = 1
2 −ln(2) c)
+∞
X
k=1 +∞
X
j=k+1
(−1)j−1 j = 1
2 −ln(2)
Exercice X. (EDHEC 2016)
Soitn∈N. On définit la fonctionfnsur[n,+∞[par fn(x) = Z x
n
e
√ tdt.
1. a. Montrer quefnest de classeC1sur[n,+∞[puis déterminerfn0(x)pour toutxde[n,+∞[.
Donner le sens de variation defn. b. En minorantfn(x), établir que lim
x→+∞fn(x) = +∞.
c. En déduire que pour chaque entier natureln, il existe un unique réelun∈[n,+∞[, tel quefn(un) = 1.
2. a. Montrer que lim
n→+∞un= +∞.
b. Montrer que ∀n∈N, e−√un ≤un−n≤e−
√n.
3. a. Utiliser la question2.b.pour compléter les commandes Scilab suivantes afin qu’elles permettent d’affi- cher un entier naturelnpour lequelun−nest inférieur ou égal à10−4.
n=0
while ...
n=...
end disp(n)
b. Le script affiche l’une des trois valeursn= 55,n= 70etn= 85.
Préciser laquelle en prenant2.3comme valeur approchée deln(10).
4. a. On pose, pourn∈N, vn=un−n. Montrer que lim
n→+∞vn= 0.
b. Établir que ∀x≥ −1, √
1 +x≤1 +x 2. c. Vérifier ensuite que ∀n∈N∗, e−√un ≥e−
√nexp(− vn 2√
n).
d. Déduire de l’encadrement obtenu en2.b.que un−n ∼
n→+∞e−
√n.
Exercice XI. (EDHEC 2019)
Pour tout entier natureln, on poseun= Z 1
0
1−t2n
dt. On a donc, en particulier,u0 = 1.
1. Détermineru1etu2.
2. a. Montrer que la suite(un)est décroissante.
b. En déduire que la suite(un)est convergente.
3. On se propose dans cette question de déterminer la limite de la suite(un).
a. Rappeler la valeur de l’intégrale Z +∞
−∞
1 σ√
2πe−t
2
2σ2dt, oùσest un réel strictement positif.
b. En déduire la valeur de l’intégrale Z +∞
−∞
e−nt2dt, puis celle de Z +∞
0
e−nt2dt.
c. Montrer que, pour tout réelt, on a :e−t2 >1−t2. d. En déduire que :06un6 1
2 rπ
n, puis donner la limite de la suite(un).
4. Calculer Z 1
0
(1−t)ndt, puis montre queun> 1
n+ 1. Que peut-on déduire en ce qui concerne la série de terme généralun?
5. a. Établir, grâce à une intégration par parties, que, pour tout entier natureln, on a : un+1= (2n+ 2)(un−un+1)
b. En déduire l’égalité :
∀n∈N, un= 4n(n!)2 (2n+ 1)!
c. On admet l’équivalentn! ∼
+∞
√2πn nne−n. En écrivantun= 4n(n!)2
(2n+ 1)(2n)!, montrer que : un ∼
+∞
1 2
rπ n
6. Informatique.
On admet que, sitest un vecteur, la commandeprod(t)renvoie le produit des éléménts det. Compléter le scriptScilabsuivant afin qu’il permette de calculer et d’afficher la valeur deunpour une valeurnentrée par l’utilisateur.
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) x=1 :n
m=2*n+1 y=1 :m v=...
w=...
u=...*v∧2/w disp(u)
Exercice XII. (EML 2002)
On admet que pour tout entierk∈Net toutx∈[0; 1[, la sérieX
n>k
n k
xnest convergente, et on notesk(x) =
+∞
X
n=k
n k
xn.
1. Vérifier que ∀x∈[0; 1[, s0(x) = 1
1−x et s1(x) = x (1−x)2. 2. Montrer que ∀k∈N, ∀n∈N, k < n,
n+ 1 k+ 1
= n
k
+ n
k+ 1
.
3. Déduire de la question précédente que ∀k∈N, ∀x∈[0,1[, sk+1(x) =xsk(x) +xsk+1(x).
4. Montrer, par récurrence que ∀k∈N, ∀x∈[0,1[, sk(x) = xk (1−x)k+1. Exercice XIII. (EML 2019)
On considère la fonctionf définie sur]0,+∞[par ∀t∈]0,+∞[, f(t) =t+1 t. Partie A : Étude d’une fonction d’une variable
1. Étudier les variations de la fonctionf sur]0,+∞[.
Dresser le tableau des variations def en précisant les limites en0et en+∞.
2. Montrer quef réalise une bijection de[1,+∞[vers[2,+∞[.
On noteg: [2,+∞[→[1,+∞[la bijection réciproque de la restriction def à[1,+∞[.
3. a. Dresser le tableau de variations deg.
b. Justifier que la fonctiongest dérivable sur]2,+∞[.
c. Soity∈[2,+∞[.
En se ramenant à une équation du second degré, résoudre l’équationf(t) =yd’inconnuet∈]0,+∞[. En déduire une expression deg(y)en fonction dey.
Partie B : Étude d’une fonction de deux variables
On considère la fonctionhde classeC2sur l’ouvertU =]0; +∞[×]0; +∞[définie par :
∀(x, y)∈U, h(x, y) = 1 x+1
y
!
(1 +x)(1 +y).
4. Calculer les dérivées partielles d’ordre1dehen tout(x, y)∈U. 5. Soit(x, y)∈U. Montrer :
(x, y)est un point critique deh ⇐⇒
y=x2 x=y2
.
6. En déduire quehadmet un unique point critique surU dont on précisera les coordonnées(a, b).
7. a. Vérifier :∀(x, y)∈U, h(x, y) = 2 +f(x) +f(y) +f x y
! . b. En déduire quehadmet en(a, b)un minimum global surU. Partie C : Étude d’une suite
On introduit la suite(un)n∈N∗ définie par u1 = 1et∀n∈N∗, un+1=un+ 1 n2un= 1
nf(nun).
8. Montrer, que pour toutndeN∗,unexiste etun>1.
9. Recopier et compléter les lignes3et4de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entier ndeN∗, elle renvoie la valeur deun.
function u = suite(n) u = 1
for k = ...
u = ...
end endfunction
10. On pose, pour toutndeN∗,vn=un+1−un. a. Montrer :∀n∈N∗,06vn6 1
n2. b. En déduire la nature de la sérieX
n>1
vn.
c. Calculer, pour tout entiernsupérieur ou égal à2,
n−1
X
k=1
vk.
En déduire que la suite(un)n∈N∗ converge vers un réel`, que l’on ne cherchera pas à déterminer.
11. a. Montrer que, pour tout entierksupérieur ou égal à2, on a : 1 k2 6
Z k k−1
1 t2dt.
b. Pour tous entiersnetptels que26p < n, calculer
n−1
X
k=p
vket en déduire que 06un−up6 Z n−1
p−1
1 t2dt.
c. En déduire, pour tout entiernsupérieur ou égal à3:u26un61 +u2. Montrer alors que`appartient à l’intervalle[2; 3].
d. Montrer, pour tout entierpsupérieur ou égal à2, que 06`−up 6 1 p−1.
e. En déduire une fonction Scilab qui renvoie une valeur approchée de`à10−4près.
Exercice XIV. (EML 2018)
Dans tout cet exercice,f désigne la fonction définie surR∗par :
∀x∈R∗, f(x) =x−ln(x).
Partie I : Étude de la fonctionf
1. Dresser le tableau de variations def en précisant ses limites en 0 et en+∞.
2. Montrer que l’équationf(x) = 2, d’inconnuex ∈R∗, admet exactement deux solutions, que l’on noteaetb, telles que0< a <1< b.
3. Montrer :b∈[2; 4]. On noteln(2)≈0,7.
Partie II : Étude d’une suite
On pose :u0= 4et∀n∈N, un+1= ln(un) + 2.
1. Montrer que la suite(un)n∈Nest bien définie et que l’on a :∀n∈N, un∈[b,+∞[.
2. Déterminer la monotonie de la suite(un)n∈N. En déduire qu’elle converge et préciser sa limite.
3. a. Montrer :∀n∈N, un+1−b≤ 1
2(un−b).
b. En déduire :∀n∈N,0≤un−b≤ 1 2n−1.
4. a. Écrire une fonction Scilab d’en-tête function u = suite(n) qui, prenant en argument un entier n de N, renvoie la valeur deun.
b. Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un réel epsilonstrictement positif, elle renvoie une valeur approchée debàepsilonprès.
function b = valeur_approchee(epsilon) n = 0
while ...
n = n+1 end
b = suite(n) endfunction
Partie III : Étude d’une fonction définie par une intégrale On noteΦla fonction donnée par :
Φ(x) = Z 2x
x
1 f(t) dt.
1. Montrer queΦest bien définie et dérivable surR∗, et que l’on a :
∀x∈R∗, Φ0(x) = ln(2)−ln(x) (x−ln(x))(2x−ln(2x)).
2. En déduire les variations deΦsurR∗. 3. Montrer :∀x∈R∗+,0≤Φ(x)≤x.
4. a. Montrer queΦest prolongeable par continuité en 0.
On note encoreΦla fonction ainsi prolongée. Préciser alorsΦ(0).
b. Montrer : lim
x→0Φ0(x) = 0.
On admet quer la fonctionΦest alors dérivable en 0 et queΦ0(0) = 0.
5. On donneΦ(2)≈1,1et on admet que lim
x→+∞Φ(x) = ln(2)≈0,7.
Tracer l’allure de la courbe représentative deΦainsi que la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
Exercice XV. (EML 1992)
On notef :]1,+∞[→Rl’application définie par ∀x∈]1,+∞[, f(x) = 1 xln(x). 1. Etudier les variations def et tracer sa courbe représentative.
2. Montrer que ∀k∈N, k≥3, f(k)≤ Z k
k−1
f(x)dx≤f(k−1).
Pour toutn∈Ntel quen≥2, on note Sn=
n
X
k=2
f(k).
3. a. Montrer que ∀n∈N, n≥2, Sn− 1 2 ln(2) ≤
Z n 2
f(x)dx≤Sn− 1 nln(n).
b. En déduire que ∀n∈N, n≥2, ln (ln (n))−ln (ln (2))≤Sn≤ln (ln (n))−ln (ln (2)) + 1 2 ln (2). c. Etablir Sn ∼
n→+∞ln (ln (n)).
Pour toutn∈Ntel quen≥2, on note un=Sn−ln (ln (n+ 1)) et vn=Sn−ln (ln (n)).
4. En utilisant le résultat de la question 2, montrer que les suites(un)n≥2et(vn)n≥2sont adjacentes.
On note`leur limite commune.
5. a. Montrer que ∀n∈N, n≥2, 0≤vn−`≤ 1 nln (n).
b. En déduire un indicen0tel queun0 soit une valeur approchée de`à10−2près.
6. Créer un programme Scilab calculant une valeur approchée de`à10−2près.
Exercice XVI. (ESCP 1992)
Pour tout nombre entier naturelk, on considère la fonctionfkdéfinie surR+par la relation : fk(x) =
Z 1 0
tke−txdt.
1. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturelk, la fonctionfkest décroissante surR+.
b. Étudier la suite(fk(0))k∈Nde nombres réels. En déduire, pour tout nombre réel positif fixéx, la limite de la suite(fk(x))k∈
N.
2. a. Soitxun nombre réel strictement positif. Établir une relation entrefk(x)etfk+1(x).
b. Expliciter les fonctionf0,f1etf2. c. Montrer que, lorsquextend vers+∞:
f0(x)∼ 1 x.
d. À l’aide de la relation établie au2.a, montrer que, pour tout nombre entier naturelk, lorsquextend vers +∞:
fk(x)∼ Ak xk+1 oùAkest une constante que l’on déterminera.
3. a. Montrer que, pour tout nombre entier naturelket pour tout réel strictement positifx: fk(x) = 1
xk+1 Z x
0
uke−udu.
En déduire quefkest dérivable sur]0,+∞[et calculer sa dérivée.
b. Trouver une relation simple entrefk0 etfk+1. 4. Montrer que pour tout nombre réelypositif ou nul :
1−e−y ≤y.
En déduire que, pour tout nombre entier naturelk, la fonctionfkest continue en0.
Variables aléatoires discrètes
Exercice XVII. (EDHEC 2019)
Soitnun entier naturel supérieur ou égal à3.
Une urne contient une boule noire non numérotée etn−1boules blanches, dontn−2portent le numéro0et une porte le numéro1. On extrait ces boules au hasard, une à une, sans remise, jusqu’à l’apparition de la boule noire.
Pour chaqueide[[1, n−1]], on noteBil’événement : « lei-ème tirage donne une boule blanche », on poseBi =Ni
et on noteXla variable aléatoire égale au rang d’apparition de la boule noire.
1. Donner l’ensembleX(Ω)des valeurs que peut prendre la variableX.
2. a. Pour toutide[[2, n−1]], justifier quePB1∩...∩Bi−1(Bi) = n−i n−i+ 1.
b. Utiliser la formule des probabilités composées pour trouverP(X =k), pour toutkdeX(Ω).
c. Reconnaître la loi deXet donner son espérance et sa variance.
3. On noteY la variable aléatoire qui vaut1si la boule numérotée1a été piochée lors de l’expérience précédente, et qui vaut0sinon.
a. Pour toutkdeX(Ω), montrer, toujours grâce à la formule des probabilités composées, que : P
[X=k]∩[Y = 0]
= n−k n(n−1)
b. En déduireP(Y = 0).
c. Reconnaître la loi deY et donner son espérance et sa variance.
4. Simulation informatique.
On rappelle qu’enScilab, la commandegrand(1,1,’uin’,a,b)simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[[a, b]].
a. Compléter le scriptScilabsuivant afin qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice et affiche la valeur prise par la variable aléatoireX.
On admettra que la boule noire est codée tout au long de ce script par le nombrenB+1, oùnBdésigne le nombre de boules blanches.
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) nB=n-1
X=1
u=grand(1,1,’uin’,1,nB+1) while u<nB+1
nB=——
u=grand(1,1,’uin’,1,——) X=——
end
disp(X,’la boule noire est apparue au tirage numéro’)
b. Compléter les lignes4 et8ajoutées au script précédent afin que le script qui suit renvoie et affiche, en plus de celle prise parX, la valeur prise parY.
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) nB=n-1
X=1 Y=——
u=grand(1,1,’uin’,1,nB+1) while u<nB+1
nB=——
if u==1 then Y=——
end
u=grand(1,1,’uin’,1,——) X=——
end
disp(X,’la boule noire est apparue au tirage numéro’) disp(Y,’la valeur de Y est’)
Exercice XVIII. (EDHEC 2018)
On dispose de trois pièces : une pièce numérotée0, pour laquelle la probabilité d’obtenir "pile" vaut1
2 et celle d’ob- tenir "face" vaut également 1
2, une pièce numérotée1, donnant "pile" à coup sûr et une troisième pièce, numérotée 2, donnant "face" à coup sûr.
On choisit l’une de ces pièces au hasard et on la lance indéfiniment.
Pour toutide{0,1,2}, on noteAil’événement : « on choisit la pièce numérotéei».
Pour tout entier naturelk non nul, on notePk l’événement : « on obtient "pile" au lancer numérok» et on pose Fk=Pk.
On considère la variable aléatoireX, égale au rang d’apparition du premier "pile" et la variable aléatoireY , égale au rang d’apparition du premier "face". On convient de donner àXla valeur0si l’on n’obtient jamais "pile" et de donner àY la valeur0si l’on n’obtient jamais "face".
1. a. DéterminerP(X = 1).
b. Montrer que :∀n>2, P(X =n) = 1 3
1 2
n
. c. En déduire la valeur deP(X= 0)
2. Montrer queXadmet une espérance et la calculer .
3. Montrer queX(X−1)possède une espérance. En déduire queXpossède une variance et vérifier queV(X) = 4
3.
4. Justifier queY suit la même loi queX.
5. a. Montrer que, pour tout entierjsupérieur ou égal à 2,P([X = 1]∩[Y =j]) =P([Y =j]).
b. Montrer que, pour tout entierisupérieur ou égal à 2,P([X =i]∩[Y = 1]) =P([X =i]).
6. Loi deX+Y.
a. Expliquer pourquoiX+Y prend toutes les valeurs entières positives sauf 0 et 2.
b. Montrer queP(X+Y = 1) = 2 3.
c. Justifier que , pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on a :
(X+Y =n) = ([X = 1]∩[Y =n−1])∪([Y = 1]∩[X=n−1])
d. En déduire que l’on a, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3 : P(X+Y =n) = 2
3 1
2 n−1
7. Informatique.
On rappelle que , pour tout entier naturelm, l’instructiongrand(1,1,’uin’,0,m)renvoie un entier aléa- toire compris entre0etm(ceci de façon équiprobable).
On décide de coder "pile" par1et "face" par0.
a. Compléter le scriptScilab suivant pour qu’il permette le calcul et l’affichage de la valeur prise par la variable aléatoireXlors de l’expérience réalisée dans cet exercice.
piece = grand(1,1,’uin’,- - -,- - -) x=1
if piece==0 then
lancer=grand(1,1,’uin’,- - -,- - -) while lancer==0
lancer=- - - x=- - - end else
if piece==1 then x=- - - end
end disp(x)
b. Justifier que le cas où l’on joue avec la pièce numérotée 2 ne soit pas pris en compte dans le script précédent.
Exercice XIX. (EML 2018)
On dispose d’une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité 2
3 et Face avec la probabilité 1 3. Partie I : Étude d’une première variable aléatoire
On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoire X prenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l’obtention du deuxième Pile.
1. a. Décrire les événements[X= 0],[X= 1],[X= 2]puis calculer leurs probabilités.
b. Montrer :∀n∈N, P(X=n) = (n+ 1) 4 3n+2. Partie II : Étude d’une expérience en deux étapes
On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu’à l’obtention du deuxième Pile ; puis en fonc- tion du nombrende Face obtenus, on placen+ 1 boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 ànet indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule dans cette urne.
On note toujours X la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on noteU la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On poseV =X−U.
1. a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoireU. b. Déterminer, pour toutndeN, la loi conditionnelle deU sachant[X=n].
c. En déduire, pour toutkdeN: P(U =k) =
+∞
X
n=k
1
n+ 1P(X=n) puis P(U =k) = 2 3k+1.
d. Montrer queU admet une espérance et une variance et les calculer.
2. a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variableV.
b. Déterminer, pour toutndeN, la loi conditionnelle deV sachant[X=n].
c. En déduire la loi deV.
3. Montrer que les variables aléatoiresU etV sont indépendantes.
4. Que vautCov(U, V)? En déduireCov(X, U).
Partie III : Étude d’un jeu
Dans cette partie,pdésigne un réel de]0; 1[.
Deux individusAetB s’affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes :
— le joueurAdispose d’une pièce amenant Pile avec la probabilité 2
3 et lance cette pièce jusqu’à l’obtention du deuxième Pile ; on noteXla variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;
— le joueurB dispose d’une autre pièce amenant Pile avec la probabilitépet lance cette pièce jusqu’à l’obten- tion d’un Pile ; on noteY la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;
— Le joueurAgagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui deB; sinon c’est le joueurB qui gagne.
On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueursAetBont la même probabilité de gagner.
1. Simulation informatique
a. Écrire une fonction Scilab d’en-têtefunction x = simule_X()qui simule la variable aléatoireX.
b. On suppose que l’on dispose d’une fonction simule_Yqui, prenant en argument un réel p de ]0; 1[, simule la variable aléatoireY. Expliquer ce que renvoie la fonction suivante :
function r = mystere(p) r = 0
N = 10∧4 for k = 1 :N
x = simule_X() y = simule_Y(p) if x <= y then
r = r + 1/N end
end endfunction
c. On trace, en fonction dep, une estimation de la probabilité queAgagne et on obtient le graphe suivant :
À la vue de ce graphe, conjecturer une valeur deppour lequel le jeu serait équilibré.
2. Étude de la variable aléatoireY
On noteZ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueurB.
a. Reconnaître la loi deZet préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.
b. ExprimerY à l’aide deZet en déduire l’existence de l’espérance et de la variance deY et préciser leurs valeurs.
c. Montrer :∀n∈N, P(Y ≥n) = (1−p)n. 3. a. Montrer :P(X≤Y) =P+∞
n=0P(X=n)P(Y ≤n).
b. Déduire des résultats précédents :P(X≤Y) = 4 (2 +p)2. c. Déterminer la valeur deppour laquelle le jeu est équilibré.
Exercice XX. (EDHEC 2017)
Partie 1 : étude d’une variable aléatoire
Les sommets d’un carré sont numérotés 1, 2, 3, et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4 et le sommet 4 au sommet 1.
Un mobile se déplace aléatoirement sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :
•Au départ, c’est à dire à l’instant0, le mobile est sur le sommet 1.
•Lorsque le mobile est à un instant donné sur un sommet, il se déplace à l’instant suivant sur l’un quelconque des trois autres sommets, et ceci de façon équiprobable.
Pour toutn∈N, on noteXnla variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se situe le mobile à l’instant n. D’après le premier des deux points précédents, on a doncX0 = 1.
1. Donner la loi deX1, ainsi que l’espéranceE(X1)de la variableX1. On admet pour la suite que la loi deX2 est donnée par :
P(X2 = 1) = 1
3 P(X2 = 2) =P(X2 = 3) =P(X2 = 4) = 2 9
2. Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, donner, en justifiant, l’ensemble des valeurs prises parXn.
3. a. Utiliser la formule des probabilités totales pour établir que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a :
P(Xn+1 = 1) = 1
3(P(Xn= 2) +P(Xn= 3) +P(Xn= 4)) b. Vérifier que cette relation reste valable pourn= 0etn= 1.
c. Justifier que, pour toutndeN, on aP(Xn= 1) +P(Xn= 2) +P(Xn= 3) +P(Xn= 4) = 1et en déduire l’égalité :
∀n∈N P(Xn+1= 1) =−1
3P(Xn= 1) + 1 3
d. Établir alors que : ∀n∈N P(Xn= 1) = 1 4 +3
4
−1 3
n
.
4. a. En procédant de la même façon qu’à la question précédente, montrer que l’on a :
∀n∈N P(Xn+1= 2) = 1
3(P(Xn= 1) +P(Xn= 3) +P(Xn= 4)) b. En déduire une relation entreP(Xn+1 = 2)etP(Xn= 2).
c. Montrer enfin que : ∀n∈N P(Xn= 2) = 1 4 −1
4
−1 3
n
. 5. On admet que, pour tout entier natureln, on a :
P(Xn+1 = 3) =−1
3P(Xn= 3) +1
3 et P(Xn+1= 4) =−1
3P(Xn= 4) + 1 3 En déduire sans calcul que :
∀n∈N P(Xn= 3) =P(Xn= 4) = 1 4−1
4
−1 3
n
6. Déterminer, pour tout entier natureln, l’espéranceE(Xn)de la variable aléatoireXn. Partie 2 : calcul des puissances d’une matriceA
Pour toutndeN, on considère la matrice-ligne deM1,4(R): Un=
P(Xn= 1) P(Xn= 2) P(Xn= 3) P(Xn= 4)
1. a. Montrer (grâce à certains résultats de la partie 1) que, si l’on poseA= 1 3
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0
, on a :
∀n∈N Un+1=UnA.
b. Établir par récurrence que : ∀n∈N Un=U0 An. c. En déduire la première ligne deAn.
2. Expliquer comment choisir la position du mobile au départ pour trouver les trois autres lignes de la matrice An, puis écrire ces trois lignes.
Partie 3 : une deuxième méthode de calcul des puissances deA
On considère les matricesIetJsuivantes : I =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
etJ =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
1. Déterminer les réelsaetbtels queA=aI+bJ.
2. a. CalculerJ2 puis établir que, pour tout entier naturelknon nul, on a : Jk= 4k−1J.
b. À l’aide de la formule du binôme de Newton, en déduire, pour tout entiernnon nul, l’expression deAn comme combinaison linéaire deI etJ.
c. Vérifier que l’expression trouvée reste valable pourn= 0.
Partie 4 : informatique
1. a. Compléter le scriptScilab suivant pour qu’il affiche les 100 premières positions autres que celle d’origine, du mobile dont le voyage est étudié dans ce problème, ainsi que le nombrende fois où il est revenu sur le sommet numéroté 1 au cours de ses 100 premiers déplacements (on pourra utiliser la commandesum).
A=[ ... ] /3
x=grand(100,’markov’,A,1) n=...
disp(x) disp(n)
b. Après avoir exécuté cinq fois ce script, les réponses concernant le nombre de fois où le mobile est revenu sur le sommet 1 sont :n= 23,n= 28,n= 23,n= 25,n= 26. En quoi est-ce normal ?
Exercice XXI. (EML 2017)
On considère une urne contenant initialement une boule bleue et deux boules rouges.
On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la façon suivante : on pioche une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne en ajoutant une boule de la même couleur que celle qui vient d’être obtenue.
Pour toutkdeN∗, on note :
Bkl’événement : "on obtient une boule bleue auk-ième tirage"
Rkl’événement : "on obtient une boule rouge auk-ième tirage"
Partie I : Simulation informatique
1. Recopier et compléter la fonction suivante afin qu’elle simule l’expérience étudiée et renvoie le nombre de boules rouges obtenues lors desnpremiers tirages, l’entiernétant entré en argument.
function s=EML(n)
b=1 // b désigne le nombre de boules bleues présentes dans l’urne r=2 // r désigne le nombre de boules rouges présentes dans l’urne
s=0 // s désigne le nombre de boules rouges obtenues lors des n tirages for k=1:n
x=rand() if ... then
...
else
...
end end endfunction
2. On exécute le programme suivant : n=10
m=0
for i=1:1000 m=m+EML(n) end
disp(m/1000)
On obtient6.657. Comment interpréter ce résultat ?
Partie II : Rang d’apparition de la première boule bleue et rang d’apparition de la première boule rouge
On définit la variable aléatoireY égale au rang d’apparition de la première boule bleue et la variable aléatoire Zégale au rang d’apparition de la première boule rouge.
3. a. Montrer : ∀n∈N∗, P([Y =n]) = 2
(n+ 1)(n+ 2).
b. La variable aléatoireY admet-elle une espérance ? une variance ? Partie III : Nombre de boules rouges obtenues au cours dentirages
On définit, pour toutkdeN∗, la variable aléatoireXkégale à 1 si on obtient une boule rouge auk-ième tirage et égale à 0 sinon.
On définit, pour toutndeN∗, la variable aléatoireSnégale au nombre de boules rouges au cours desnpre- miers tirages.
4. Donner, pour toutndeN∗, une relation entreSnet certaines variables aléatoiresXkpourk∈N∗. 5. Déterminer la loi deX1, son espérance et sa variance.
6. a. Déterminer la loi du couple(X1, X2).
b. En déduire la loi deX2.
c. Les variables aléatoiresX1etX2sont-elles indépendantes ? 7. Soitn∈N∗etk∈[[0;n]].
a. Calculer P(R1∩. . .∩Rk∩Bk+1∩. . .∩Bn).
b. Justifier : P([Sn=k]) = n
k
P(R1∩. . .∩Rk∩Bk+1∩. . .∩Bn),
puis en déduire : P([Sn=k]) = 2(k+ 1) (n+ 1)(n+ 2)
8. Montrer que, pour toutndeN∗,Snadmet une espérance et : E[(]Sn) = 2n 3 . 9. Soitn∈N∗.
a. Montrer :∀k∈[[0;n]], P[Sn=k]([Xn+1 = 1]) = k+ 2 n+ 3. b. En déduire : P([Xn+1 = 1]) = E[(]Sn) + 2
n+ 3 .
c. Déterminer alors la loi de la variable aléatoireXn+1. Que remarque-t-on ? Partie IV : Étude d’une convergence en loi
On s’intéresse dans cette partie à la proportion de boules rouges obtenues lors desnpremiers tirages.
On pose, pour toutndeN∗, Tn= Sn
n .
10. Justifier, pour toutndeN∗: ∀x <0, P([Tn6x]) = 0, et : ∀x >1, P([Tn6x]) = 1.
11. Soitx ∈[0; 1]. Montrer, pour toutndeN∗: P([Tn6x]) = (bnxc+ 1) (bnxc+ 2)
(n+ 1)(n+ 2) oùb.cdésigne la fonction partie entière.
12. En déduire que la suite de variables aléatoires(Tn)n∈N∗converge en loi vers une variable aléatoire à densité, dont on précisera la fonction de répartition et une densité.
Exercice XXII. (EDHEC 2016)
Dans cet exercice , toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P) . On désigne parpun réel de]0,1[.
On considère deux variables aléatoires indépendantesU etV, telles queU suit la loi uniforme sur[−3,1], etV suit la loi uniforme sur[−1,3].
On considère également une variable aléatoireZ,indépendante deU etV, dont la loi est donnée par : P(Z = 1) =p et P(Z =−1) = 1−p
Enfin ,on noteXla variable aléatoire , définie par :
∀ω ∈Ω, X(ω) =
( U(ω) si Z(ω) = 1 V(ω) si Z(ω) =−1
On noteFX ,FUetFV les fonctions de répartition respectives des variablesX,U etV . 1. Donner les expressions deFU(x)etFV(x)selon les valeurs dex.
2. a. Établir, grâce au système complet d’évènements((Z = 1),(Z =−1)), que :
∀x∈R, FX(x) =pFU(x) + (1−p)FV(x)
b. Vérifier queX(Ω) = [−3,3]puis expliciterFX(x)dans les cas :
x <−3, −3≤x≤ −1, −1≤x≤1, 1≤x≤3etx >3
c. On admet que X est une variable à densité .Donner une densitéfX de la variable aléatoireX. d. Établir que X admet une espéranceE(X)et une varianceV(X), puis les déterminer.
3. On se propose de montrer d’une autre façon queXpossède une espérance et un moment d’ordre2puis de les déterminer.
a. Vérifier que l’on a :
X=U1 +Z
2 +V1−Z 2 .
b. Déduire de l’égalité précédente queXpossède une espérance et retrouver la valeur deE(X).
c. En déduire également queXpossède un moment d’ordre2et retrouver la valeur deE(X2).
4.
a. SoitT une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètrep. Déterminer la loi de2T−1.
b. On rappelle quegrand(1,1,’unf’,a,b) et grand(1,1,’bin’,p)sont des commandes Scilab permettant de simuler respectivement une variable aléatoire à densité suivant la loi uniforme sur[a, b]et une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètrep.
Écrire des commandesScilab permettant de simulerU, V, Z,puisX. Exercice XXIII. (EML 2013)
Soitn≥2. On considère une urneU contenantnboules numérotées de 1 ànet indiscernables au toucher.
On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise de la boule dans l’urneU.
Soitkun entier supérieur ou égal à 1. Pour touti∈[[1;n]], on noteXila variable aléatoire égale au nombre d’obten- tions de la boule numéroiau cours deskpremiers tirages.
1. Soiti∈[[1;n]]. Donner la loi deXi. Rappeler l’espérance et la variance deXi. 2. Les variables aléatoiresX1, X2, . . . , Xnsont-elles indépendantes ?
3. Soit(i, j)∈[[1;n]]2tel quei6=j.
a. Déterminer la loi de la variableXi+Xj. Rappeler la variance deXi+Xj. b. En déduire la covariance du couple(Xi, Xj).
c. Calculer le coefficient de corrélation deXietXj. d. Déterminer la loi du couple(Xi, Xj).
Variables aléatoires à densité
Exercice XXIV. (Ecricome 2019)
On suppose que toutes les variables aléatoires présentées dans cet exercice sont définies sur le même espace pro- babilisé.
Partie A
Soitf la fonction définie surRpar :
∀t∈R f(t) =
1
t3 sit≥1 0 si −1< t <1
−1
t3 sit≤ −1 1. Démontrer que la fonctionf est paire.
2. Justifier que l’intégrale Z +∞
1
f(t)dtconverge et calculer sa valeur.
3. a. À l’aide d’un changement de variable, montrer que pour tout réelAstrictement supérieur à 1, on a : Z −1
−A
f(t)dt= Z A
1
f(u)du.
En déduire que l’intégrale Z −1
−∞
f(t)dtconverge et donner sa valeur.
b. Montrer que la fonctionfest une densité de probabilité.
4. On considère une variable aléatoireXadmettantf pour densité. On noteFX la fonction de répartition deX.
a. Montrer que, pour tout réelx, on a :
FX(x) =
1
2x2 six≤ −1 1
2 si −1< x <1 1− 1
2x2 six≥1
b. Démontrer queXadmet une espérance, puis que cette espérance est nulle.
c. La variable aléatoireXadmet-elle une variance ? 5. SoitY la variable aléatoire définie parY =|X|.
a. Donner la fonction de répartition deY, et montrer queY est une variable aléatoire à densité.
b. Montrer queY admet pour densité la fonctionfY définie par :
fY(x) =
2
x3 six≥1
0 sinon
c. Montrer queY admet une espérance et la calculer.
Partie B
1. SoitD une variable aléatoire prenant les valeurs−1 et1 avec équiprobabilité, indépendante de la variable aléatoireY.
SoitT la variable aléatoire définie parT =DY. a. Déterminer la loi de la variableZ = D+ 1
2 . En déduire l’espérance et la variance deD.
b. Justifier queTadmet une espérance et préciser sa valeur.
c. Montrer que pour tout réelx, on a :
P(T ≤x) = 1
2 P(Y ≤x) +1
2 P(Y ≥ −x)
d. En déduire la fonction de répartition deT.
2. SoitU ,→U(]0,1[)etV la variable aléatoire définie par : V = 1
√1−U. a. Rappeler la fonction de répartition deU.
