On lance une pièce une infinité de fois. Pour n > 1, on note A i l’événement le « i-ème lancer amène Pile . » 1. Décrire par une phrase les événements suivants :

EXERCICE 1 :

On lance une pièce une infinité de fois. Pour n > 1, on note A i l’événement le « i-ème lancer amène Pile . » 1. Décrire par une phrase les événements suivants :

B = ^+∞ T

i=5

A i , C = ^+∞ S

i=5

A i

2. Écrire à l’aide de A i , l’événement D :« On n’obtient que des Pile à partir d’un certain lancer. »

• • •

1. B signifie qu’à partir du cinquième lancer, on n’obtient que des Pile .

C signifie qu’à partir du cinquième lancer, on obtient au moins une fois Pile . 2. D = ^+∞ S

n=1 +∞

T

i>n

A i

EXERCICE 2 :

Émile est un excellent footballeur. La probabilité qu’il marque un but lorsqu’il tire un pénalty est égale à 2/3.

Paulin est un peu moins fort. La probabilité qu’il marque un but lorsqu’il tire un pénalty est égale à 1/2.

Émile lance un défi à Paulin. Chacun va tirer un pénalty à son tour, en commençant par Paulin. Le premier qui marque a gagné.

Quelle est la probabilité que Émile gagne ?

• • •

Notons A n l’événement : « Émile et Paulin échouent lors de leurs n − 1 premiers tirs, Paulin rate son n − ième tir, et Émile réussit son n − ième tir ». Alors les événements A n sont disjoints et leur réunion est l’événement « Émile gagne » que l’on note désormais A. On a donc

P _+∞

S

n=1

A n

=

+∞

X

n=1

P(A n )

et si l’on note E i : « Émile marque au i-ème tir. » (notation analogue pour Paulin), on a A n = E n−1 ∩ P n−1 ∩ P n ∩ E n

et P (A n ) = 1

2 ⁿ

× 1

3 ⁿ⁻¹

× 2

3 (événements indépendants) on a donc P

_+∞

S

n=1

A n

=

+∞

X

n=1

2 1

6 n

= 2 × 1/6 1 − 1/6 = 2

5

EXERCICE 3 :

Trois joueurs A, B et C s’affrontent à un jeu selon les règles suivantes :

• à chaque partie deux joueurs s’affrontent et chacun peut gagner avec la même probabilité ;

• le gagnant de la partie précédente et le joueur n’ayant pas participé s’affrontent à la partie suivante.

Est déclaré vainqueur celui qui gagne deux parties consécutives.

1. Établir que le jeu s’arrête presque sûrement.

2. A et B s’affrontent en premier. Quelles sont les probabilités de gain de chaque joueur ?

• • •

1. Notons A n l’évènement « le jeu dure au moins n affrontements » (n >2) et B n l’évènement « le jeu s’arrête lors du n − ième affrontement ».

On a la réunion disjointe A n = B n ∪ A n+1 .

La suite d’événements (A n ) n∈N est décroissante et l’événement « le jeu s’éternise » se comprend comme T

n∈N

A n . Par continuité décroissante

P

T

n∈N

A n

= lim

n→+∞ P(A n )

Or, pour n > 1, le jeu s’arrête à la n − ième confrontation si A n est réalisé et que le joueur gagnant à la n − ième confrontation est celui ayant gagné à la (n − 1) − ième (une chance sur 2). On en déduit :

P A

(B n ) = 1

2 et de P (B n ) = P (A n ∩ B n ) = P(A n ) × P A

(B n ), on a P(B n ) = 1 2 P (A n ) De même, P(A n+1 ) = 1

2 P (A n ) Par récurrence immédiate, et P (A 2 ) = 1, on obtient P(A n+1 ) = 1

2 ⁿ⁻¹ = P(B n ), pour n > 2.

On a donc lim

n→+∞ P (A n ) = 0 et P

T

n∈N

A n

= 0 donc l’événement D = T

n∈N

A n est quasi-impossible et D :« le jeu s’arrête » est quasi-certain.

2. A et B s’affrontent en premier.

• A remporte le premier affrontement

af f.1 af f.2 af f.3 af f.4 af f.5 af f.6 A

C A

B C

A B

C A

B C

La lettre est celle du joueur vainqueur Grâce au schéma ci-contre, l’alternance des vainqueurs :

⊲ le joueur A gagne si la partie s’arrête au rang n ≡ 2 [3]

⊲ le joueur B gagne si la partie s’arrête au rang n ≡ 1 [3]

⊲ le joueur C gagne si la partie s’arrête au rang n ≡ 0 [3]

Ainsi, la probabilité que C gagne sachant que A remporte le premier affrontement est

+∞

X

k=1

P (B 3k ) =

+∞

X

k=1

1 2

^3k−1

= 1 4

1 1 − ¹ 8

= 2 7

• Si B remporte le premier affrontement, par un raisonnement identique, on obtient que la probabilité que C gagne sachant que B remporte le premier affrontement est également de 2

7 .

Si l’on note G C :« le joueur C gagne » et G ¹ _A : « A gagne le premier affrontement », on a : P (G C ) = P (G ¹ _A )P(G C | G ¹ _A ) + P(G ¹ _B )P (G C | G ¹ _B ) = 1

2 × 2 7 + 1

2 × 2 7 = 2

7 En vertu du rôle symétrique joué par les joueurs A et B, on a :

P (G A ) + P (G B ) + P(G C ) = 1 ⇒ P(G A ) = 1 2

1 − 2

7

= 5

14 = P (G B )

EXERCICE 4 :

Une urne contient une boule blanche et une boule rouge.

On tire dans cette urne une boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne accompagnée de deux autres boules de la même couleur puis on répète l’opération.

1. Quelle est la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?

2. Le résultat précédent reste-t-il vrai si on remet la boule accompagnée de trois autres boules de la même couleur ?

• • •

1. On note A n l’événement

« les n premières boules tirées sont rouges. » On pose P (A 0 ) = 1 et P(A n | A n−1 ) = 2n − 1

2n . En effet, si les n − 1 premières boules tirées étaient rouges, l’urne contient alors 2n − 1 boules rouges et avec la blanche, on dénombre 2n boules.

Initialement : B + R _ap.tir.1 −→ B + 3R _ap.tir.2 −→ B + 5R −→ . . . _ap.tir.n−1 −→ B + (2n − 1)R (ap.tir : après tirage) Par la formule des probabilités composées, et compte-tenu du fait que A k = A k ∩ A k−1 ∩ . . . ∩ A 0 pour tout k ∈ N tel que 0 6 k 6 n

P (A n ) = P (A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n ) = P(A 0 )P(A 1 | A 0 )P (A 2 | A 1 ) . . . P(A n | A n−1 ) =

n

Y

k=1

2k − 1

2k = (2n)!

2 ²ⁿ (n!) ² Formule de Stirling : n! _+∞ ∼ n ⁿ e ⁻ⁿ √

πn On obtient, en l’utilisant pour n! et pour (2n)!,

P (A n ) _+∞ ∼ 1

√ πn et 1

√ πn _n→+∞ −→ 0 et par continuité décroissante, on a donc

P +∞

T

n=0

A n

= 0

2. Dans l’hypothèse où l’on ajoute trois boules identiques à celle qui a été tirée, on obtient de façon évidente, toujours avec la formule des probabilités composées :

P (A n ) =

n

Y

k=1

3k − 1 3k

soit en exprimant ln(P (A n )) =

n

X

k=1

ln

3k − 1 3k

=

n

X

k=1

ln

1 − 1 3k

et ln

1 − 1

3k

+∞ ∼ − 1

3k qui est le terme général d’une série à termes négatifs divergente. On a ln(P (A n )) _n→+∞ −→ −∞ et donc P (A n ) _n→+∞ −→ 0. On aboutit donc à la même conclusion

P +∞

T

n=0

A n

= 0

EXERCICE 5 :

Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité p, c’est l’information correcte qui est transmise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une probabilité 1 − p, c’est l’information contraire qui est transmise. On note p n la probabilité que l’information après n transmissions soit correcte.

1. Donner une relation de récurrence entre p n+1 et p n .

2. En déduire la valeur de p n en fonction de p et de n.

3. En déduire la valeur de la limite de p n lorsque n tend vers + ∞ . Qu ?en pensez-vous ?

• • •

1. On note I n :« l’information après n transmissions est correcte ». D’après la formule des probabilités totales ((I n ) n>0 étant un système complet d’événements), on obtient

P (I n+1 ) = P(I n+1 | I n )P(I n ) + P (I n+1 | I n )P(I n )

On a d’après l’énoncé, P (I n+1 | I n ) = p et P (I n+1 | I n ) = 1 − p, ce qui permet d’écrire que p n+1 = p × p n + (1 − p) × (1 − p n ) = (2p − 1)p n + (1 − p) .

2. On reconnaît une suite (p n ) n>0 arithmético-géométrique dont la limite l vérifie (2p − 1)l + 1 − p = l ⇔ l = 1 2 . En changeant de suite : u n = p n − 1

2 , on obtient une suite géométrique de raison (2p − 1) et de premier terme u 0 = p 0 − 1/2 = 1/2, d’où

∀ n > 0, p n = 1 2 + 1

2 (2p − 1) ⁿ 3. On distingue 3 cas suivant les valeurs de p :

• p = 1, p n = 1 pour tout n, l’information est transmise presque sûrement correctement ;

• p = 0, p 2n = 1 et p 2n+1 = 0 pour tout n, l’information est presque sûrement mal transmise ;

• p ∈ ]0; 1[, alors | 2p − 1 | < 1 et donc (p n ) converge vers 1

2 . On ne sait donc plus quelle était l’information initiale.

EXERCICE 6 :

On effectue une succession infinie de lancers indépendants d’une pièce équilibrée.

On s’intéresse aux successions de lancers donnant un même côté. On dit que la première série est de longueur n > 1 si les n premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le (n + 1)-ème l’autre côté.

De même la deuxième série commence au lancer suivant la fin de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté.

Ω désigne l’ensemble des successions infinies de Pile ou Face .

Pour i ∈ N ^∗ , on note P i l’événement : « le i-ème lancer amène Pile » et F i l’événement contraire.

1. On note L 1 la longueur de la première série.

(a) Exprimer l’événement (L 1 = n) à l’aide des événements P i et F i pour i entier naturel variant entre 1 et n + 1. En déduire, que pour tout n ∈ N ^∗ :

P (L 1 = n) = p ⁿ q + q ⁿ p (b) Montrer que la série X

P (L 1 = n), n > 1, converge et que

+∞

X

n=1

P (L 1 = n) = 1 En déduire P(L 1 ∈ N ^∗ )

2. On note L 2 la longueur de la deuxième série.

(a) Exprimer l’événement (L 1 = n) ∩ (L 2 = k) à l’aide des événements P i et F i pour i entier variant entre 1 et n + k + 1 puis calculer la probabilités de l’événement (L 1 = n) ∩ (L 2 = k).

(b) En déduire que, pour k ∈ N ^∗ ,

P (L 2 = k) = p ² q ^k−1 + q ² p ^k−1 Démontrer que

+∞

X

k=1

P (L 2 = k) = 1

• • •

1. (a) Soit n ∈ N ^∗ , (L 1 = n) se réalise si et seulement si les n premiers lancers donnent Pile et le (n + 1) − ème Face ou les n premiers lancers donnent Face et le (n + 1) − ème Pile . On a donc,

(L 1 = n) = (P 1 ∩ P 2 ∩ . . . P n ∩ F n+1 ) ∪ (F 1 ∩ F 2 ∩ . . . F n ∩ P n+1 ) L’incompatibilité des événements donne :

P(L 1 = n) = P(P 1 ∩ P 2 ∩ . . . P n ∩ F n+1 ) + P (F 1 ∩ F 2 ∩ . . . F n ∩ P n+1 ) L’indépendance mutuelle des lancers donne :

P (L 1 = n) = P (P 1 )P(P 2 ) . . . P (P n )P(F n+1 ) + P (F 1 )P (F 2 ) . . . P (F n )P(P n+1 ) = p ⁿ q + q ⁿ p (b) Les séries géométriques X

p ⁿ et X

q ⁿ convergent car p ∈ ]0; 1[ et q ∈ ]0; 1[ donc X

P (L 1 = n) converge et :

+∞

X

n=1

P (L 1 = n) = q

+∞

X

n=1

p ⁿ + p

+∞

X

n=1

q ⁿ = qp 1

1 − p + pq 1

1 − q = p + q = 1 Par ailleurs, les (L 1 = n), pour n ∈ N ^∗ , sont deux à deux incompatibles, on a :

P(L 1 ∈ N ^∗ ) = P [

n∈N

(L 1 = n)

!

=

+∞

X

n=1

P (L 1 = n) = 1

2. (a) Examinons les différentes possibilités d’obtention de l’événement (L 1 = n) ∩ (L 2 = k) : il a lieu si et seulement si les n premiers lancers donnent Pile , les k suivants Face et le (n + k + 1) − ème Pile ou les n premiers lancers donnent Face , les k suivants Pile et le (n + k + 1) − ème Face . Ce qui s’écrit compte-tenu des notations

(L 1 = n) ∩ (L 2 = k) = (P 1 ∩ . . . ∩ P n ∩ F n+1 ∩ . . . ∩ F n+k ∩ P n+k+1 ) ∪ (F 1 ∩ . . . ∩ F n ∩ P n+1 ∩ . . . ∩ P n+k ∩ P n+k+1 ) L’indépendance des lancers et l’incompatibilité des deux situations permet d’écrire :

P ((L 1 = n) ∩ (L 2 = k)) =

n

Y

i=1

P (P i )

! _n+k Y

i=n+1

P(F i )

!

P(P n+k+1 ) +

n

Y

i=1

P(F i )

! _n+k Y

i=n+1

P (P i )

!

P (F n+k+1 )

= p ⁿ⁺¹ q ^k + q ⁿ⁺¹ p ^k , (n; k) ∈ ( N ^∗ ) ²

(b) ((L 1 = n)) n>0 est un système complet d’événements et d’après la formule des probabilités totales, X

P((L 1 = n) ∩ (L 2 = k)), n > 1 converge et :

P (L 2 = k) =

+∞

X

n=1

P ((L 1 = n) ∩ (L 2 = k)) =

+∞

X

n=1

(p ⁿ⁺¹ q ^k + q ⁿ⁺¹ p ^k ) Les séries de terme général p ⁿ et q ⁿ convergent, donc

P (L 2 = k) = q ^k

+∞

X

n=1

p ⁿ⁺¹ + p ^k

+∞

X

n=1

q ⁿ⁺¹ = q ^k p ² 1

1 − p + p ^k q ² 1 1 − q et comme q = 1 − p, on obtient P (L 2 = k) = p ² q ^k−1 + q ² p ^k−1

EXERCICE 7 :

On considère une suite indéfinie de lancers d’une pièce équilibrée. Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par R n l’événement : « Pile apparaît au n-ième lancer » et par S n l’événement : « Face apparaît au n-ième lancer ».

On note ∀ n > 3, B n = R n−2 ∩ R n−1 ∩ S n et U n = S ⁿ

i=3

B i . On pose u 1 = u 2 = 0 et pour tout n > 3, u n = P(U n ).

1. Montrer que la suite (u n ) n>1 est monotone et convergente.

2. (a) Pour tout n > 3, calculer P (B n ).

(b) Montrer que, pour tout n > 3, les événements B n ,B n+1 et B n+2 sont deux à deux incompatibles.

(c) Calculer les valeurs de u 3 , u 4 et u 5 .

3. Dans cette question, on suppose que n > 5.

(a) Comparer les événements U n ∩ B n+1 et U n−2 ∩ B n+1 . Préciser leurs probabilités respectives.

(b) Montrer que, pour tout n > 3, u n+1 = u n + 1

8 (1 − u n−2 ) (c) Déterminer la limite de la suite (u n ).

• • •

1. On a U n inclus dans U n+1 : en effet, si 1 Face et 2 Pile ont eu lieu entre la lancer 1 et le lancer n alors cela a eu lieu entre le lancer 1 et le lancer n + 1. Ainsi (U n ) constitue une suite croissante d’événements et u n+1 > u n . De plus, (u n ) est bornée donc majorée (par 1) donc elle converge (une suite croissante et majorée converge).

2. (a) Les différents lancers effectués sont indépendants donc

Pour tout n > 3, P(B n ) = P (R n−2 )P (R n−1 )P (S n ) = 1 2 × 1

2 × 1 2 = 1

8

(b) Pour tout n > 3, B n est inclus dans S n et B n+1 est inclus dans R n . De plus, R n ∩ S n = ∅ donc B n ∩ B n+1 = ∅ donc B n et B n+1 sont incompatibles.

On montre de même que B n+1 et B n+2 sont incompatibles. B n+2 est également inclus dans R n , ce qui permet d’établir que B n et B n+2 sont incompatibles.

(c) u 3 = P (B 3 ) = 1

8 ; u 4 = P (U 4 ) = P (B 3 ) + P (B 4 ) = 1

4 et u 5 = P (U 5 ) = P (B 3 ) + P(B 4 ) + P (B 5 ) = 3 8 . 3. Dans cette question, on suppose que n > 5.

(a) Pour tout n > 5, on a U n = U n−2 ∪ B n−1 ∪ B n . Ainsi

U n ∩ B n+1 = (U n−2 ∩ B n+1 ) ∪ (B n−1 ∩ B n+1 ) ∪ (B n ∩ B n+1 ) L’incompatibilité des événements montrée à la question précédente parmet d’établir que U n ∩ B n+1 = U n−2 ∩ B n+1

Les événements U n−2 et B n+1 sont indépendants, donc :

P (U n ∩ B n+1 ) = P (U n−2 ∩ B n+1 ) = P (U n−2 )P (B n+1 ) = 1 8 u n−2

(b) Pour tout n > 5, on a U n+1 = U n ∪ B n+1 .

u n+1 = P(U n ) + P(B n+1 ) − P (U n ∩ B n+1 ) = u n + 1 8 − 1

8 u n−2 .

Les valeurs trouvées à la question précédente permettent de valider la relation précédente pour n = 3 et pour n = 4.

Ainsi, pour tout n > 3,

u n+1 = u n + 1

8 (1 − u n−2 )

(c) On sait que la suite (u n ) n>1 converge et on note l sa limite. En passant à la limite dans l’égalité de la question précédente, on trouve l = l + 1

8 (1 − l) ⇔ l = 1. On en déduit que

u n _n→+∞ −→ 1