Exercice XXIV. (Ecricome 2019)
On suppose que toutes les variables aléatoires présentées dans cet exercice sont définies sur le même espace pro-babilisé.
Partie A
Soitf la fonction définie surRpar :
∀t∈R f(t) =
1
t3 sit≥1 0 si −1< t <1
−1
t3 sit≤ −1 1. Démontrer que la fonctionf est paire.
2. Justifier que l’intégrale Z +∞
1
f(t)dtconverge et calculer sa valeur.
3. a. À l’aide d’un changement de variable, montrer que pour tout réelAstrictement supérieur à 1, on a : Z −1
f(t)dtconverge et donner sa valeur.
b. Montrer que la fonctionfest une densité de probabilité.
4. On considère une variable aléatoireXadmettantf pour densité. On noteFX la fonction de répartition deX.
a. Montrer que, pour tout réelx, on a :
b. Démontrer queXadmet une espérance, puis que cette espérance est nulle.
c. La variable aléatoireXadmet-elle une variance ? 5. SoitY la variable aléatoire définie parY =|X|.
a. Donner la fonction de répartition deY, et montrer queY est une variable aléatoire à densité.
b. Montrer queY admet pour densité la fonctionfY définie par :
fY(x) =
c. Montrer queY admet une espérance et la calculer.
Partie B
1. SoitD une variable aléatoire prenant les valeurs−1 et1 avec équiprobabilité, indépendante de la variable aléatoireY.
SoitT la variable aléatoire définie parT =DY. a. Déterminer la loi de la variableZ = D+ 1
2 . En déduire l’espérance et la variance deD.
b. Justifier queTadmet une espérance et préciser sa valeur.
c. Montrer que pour tout réelx, on a :
P(T ≤x) = 1
2 P(Y ≤x) +1
2 P(Y ≥ −x)
d. En déduire la fonction de répartition deT.
2. SoitU ,→U(]0,1[)etV la variable aléatoire définie par : V = 1
√1−U. a. Rappeler la fonction de répartition deU.
b. Déterminer la fonction de répartition deV et vérifier que les variableV etY suivent la même loi.
3. a. Écrire une fonction en langageScilab, d’en-têtefunction a=D(n), qui prend un entiern≥1en entrée, et renvoie une matrice ligne contenantnréalisations de la variable aléatoireD.
b. On considère le script suivant : n=input(‘entrer n ‘)
a=D(n) b=rand(1,n) c=a/sqrt(1-b) disp(sum(c)/n)
De quelle variable aléatoire les coefficients du vecteurc sont-ils une simulation ? Pour nassez grand, quelle sera la valeur affichée ? Justifier votre réponse.
Exercice XXV. (EDHEC 2019)
Partie 1 : étude de quelques propriétés d’une variable aléatoireX Dans cet exercice,θdésigne un réel élément de
0,1
2
.
On considère la fonctionf définie par :f(x) =
1
θx1+1θ six>1 0 six <1
.
1. Montrer quef peut être considérée comme une densité.
On considère dans la suite une variable aléatoireXde densitéf et on noteF sa fonction de répartition.
2. Montrer queXpossède une espérance et une variance et les déterminer.
3. Déterminer, pour tout réelx, l’expression deF(x)en fonction dexetθ.
4. a. Montrer que l’équationF(x) = 1
2 possède une seule solution, notéeMe, que l’on déterminera.
b. Montrer que :∀x∈
0,1 2
,2x(1−x)61.
c. ComparerE(X)etMe.
5. Soitaun réel supérieur ou égal à1etbun réel strictement positif.
a. Montrer queP(X>a)(X > a+b) = a
a+b 1/θ
.
b. Déterminer la limite de cette quantité lorsqueatend vers +∞. Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variableXreprésente la durée de vie d’un certain appareil.
Partie 2 : simulation deX
6. On poseY = ln(X)et on admet queY est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X. On noteGsa fonction de répartition.
a. Pour tout réelx, exprimerG(x)à l’aide de la fonctionF.
b. En déduire queY suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
7. On rappelle qu’en Scilab, la commande grand(1,1,’exp’,1/lambda) simule une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètreλ. Écrire des commandesScilabutilisantgrandet permettant de simulerX.
Partie 3 : simulation deX
On suppose dans la suite que le paramètreθest inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.
On considère pour celanvariables aléatoiresY1, . . . , Yntoutes définies sur le même espace probabilisé, mutuelle-ment indépendantes, et suivant toutes la même loi queY.
8. On poseTn= 1 n
n
X
k=1
Yk.
a. Justifier queTnest un estimateur deθ.
b. Tnest-il un estimateur sans biais deθ?
c. Calculer le risque quadratique deTnen tant qu’estimateur deθ.Tnest-il un estimateur convergent deθ? 9. a. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variableTn.
b. Établir l’inégalité :
∀ε >0, P
θ∈[Tn−ε, Tn+ε]
>1− θ2 nε2 c. En utilisant le fait queθ6 1
2, déterminer un intervalle de confiance pourθau niveau de confiance90%
lorsqu’on choisitn= 1000.
Exercice XXVI. (EDHEC 2017)
Soit V une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1, dont la fonction de répartition est la fonctionFV définie par :FV(x) =
0 six≤0
1−e−x six >0
On poseW =−ln(V)et on admet queW est aussi une variable aléatoire dont le fonction de répartition est notée FW. On dit queW suit une loi de Grumbel.
1. a. Montrer que : ∀x∈R, FW(x) =e−e−x. b. En déduire queW est une variable à densité.
On désigne parnun entier naturel non nul et parX1, . . . , Xndes variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et suivant la même loi queV, c’est à dire la loiE(1).
On considère la variable aléatoireYndéfinie parYn= max(X1, X2, . . . , Xn), c’est à dire que pour toutωdeΩ, on a : Yn(ω) = max(X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω)). On admet queYnest une variable aléatoire à densité.
1. a. Montrer que la fonction de répartitionFYndeYnest définie par :
FYn(x)
0 six <0 (1−e−x)n six≥0 b. En déduire une densitéfYn deYn.
2. a. Donner un équivalent de 1 −FYn(t) lorsque t est au voisinage de +∞, puis montrer que l’intégrale Z +∞
0
(1−FYn(t)) dtest convergente.
b. Établir l’égalité suivante :
∀x∈R+ Z x
0
(1−FYn(t))dt=x(1−FYn(x)) + Z x
0
tfYn(t)dt
c. Montrer que lim
x→+∞x(1−FYn(x)) = 0.
d. En déduire queYnpossède une espérance et prouver l’égalité : E(Yn) =
Z +∞
0
(1−FYn) dt
3. a. Montrer, grâce au changement de variableu= 1−e−t, que l’on a :
∀x∈R+ Z x
0
(1−FYn(t)) dt=
Z 1−e−x 0
1−un 1−u du
b. En déduire que Z x
0
(1−FYn(t)) dt=
n
X
k=1
(1−e−x)k
k puis donnerE(Yn)sous forme de somme.
4. On poseZn=Yn−ln(n).
a. On rappelle que grand(1,n,’exp’,1) simulenvariables aléatoires indépendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre1.
Compléter la déclaration de fonctionScilab suivante afin qu’elle simule la variable aléatoireZn. function Z=f(n)
x=grand(1,n,’exp’,1) Z=...
endfunction b. Voici deux scripts :
•script (1)
V=grand(1,10000,’exp’,1) W=-log(V)
s=linspace(0,10,11) histplot(s,W)
•script (2)
n=input(’entrez la valeur de n : ’) Z=[] // la matrice-ligne Z est vide for k=1:10000
Z=[Z,f(n)]
end
s=linspace(0,10,11) histplot(s,Z)
Chacun des scripts simule 10000 variables indépendantes, regroupe les valeurs renvoyées en 10 classes qui sont les intervalles[0,1],]1,2],]2,3], . . .,]9,10]et trace l’histogramme correspondant (la largeur de chaque rectangle est égale à1et leur hauteur est proportionnelle à l’effectif de chaque classe).
Le script (1) dans lequel les variables aléatoires suivent la loi de Grumbel (loi suivie par W), renvoie l’histogramme (1) ci-dessous, alors que le script (2) dans lequel les variables aléatoires suivent la même loi queZn, renvoie l’histogramme (2) ci-dessous, pour lequel on a choisin= 1000.
Histogramme (1) Histogramme(2) pourn= 1000
Quelle conjecture peut-on émettre quant au comportement de la suite des variables aléatoires(Zn)? 5. On noteFZn la fonction de répartition deZn.
a. Justifier que, pour tout réelx, on a : FZn(x) =FYn(x+ ln(n)).
b. Déterminer explicitementFZn(x).
c. Montrer que, pour tout réelx, on a : lim
n→+∞nln
1−e−x n
=−e−x. d. Démontrer le résultat conjecturé à la question 5)b.
Exercice XXVII. (EDHEC 2012)
On désigne parλ, un réel strictement positif et on considère la fonctionf , définie sur R, par∀x ∈ R,f(x) = λ|x|e−λx2.
1. a. Montrer quef est paire.
b. Établir que l’intégrale
+∞
Z
0
f(x)dxconverge et donner sa valeur.
c. Montrer que la fonctionf peut être considérée comme densité d’une variable aléatoireXque l’on sup-pose, dans la suite, définie sur un certain espace probabilisé(Ω;A;P).
2. a. Justifier la convergence de l’intégrale
+∞
Z
0
xf(x)dx.
b. En déduire que la variable aléatoireXpossède une espérance, notéeE(X), et donner sa valeur.
3. a. Montrer, grâce à une intégration par parties, que l’intégrale
+∞
Z
0
x2f(x)dxconverge et donner sa valeur.
b. En déduire que la variable aléatoireXpossède une variance, notéeV(X), et donner sa valeur.
4. On poseY =X2et on admet queY est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace proba-bilisé(Ω;A;P).
a. Donner l’expression de la fonction de répartitionFY de la variable aléatoireY à l’aide de la fonction de répartitionFX de la variable aléatoireX.
b. Déterminer une densitéfY deY , puis vérifier queY suit la loi exponentielle de paramètreλ. c. Retrouver alors sans calcul la valeur deV(X).
5. SoitU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[0; 1[. a. On poseW =−1
λln(1−U)et on admet queWest une variable aléatoire.
Déterminer la fonction de répartition deW et en déduire la loi suivie par la variable aléatoireW. b. En déduire une fonction Scilab qui simule la loi de|X|.
Vérifier que la probabilité queXprenne des valeurs positives est égale à la probabilité queXprenne des valeurs négatives.
En déduire une fonction Scilab qui simule la loi deX.
On suppose, dans la suite, que le paramètreλest inconnu et on souhaite l’estimer en utilisant la loi deY. On désigne parnun entier naturel supérieur ou égal à2et on considère un échantillon(Y1;. . .;Yn)de la loi deY.
Les variablesY1;. . .;Ynsont supposées définies sur(Ω;A;P)et on rappelle qu’elles sont indépendantes et de même loi queY.
6. On considère des réelsx1;. . .;xnstrictement positifs, ainsi que la fonction L, à valeurs dansR, définie sur ]0; +∞[par∀λ∈]0; +∞[,L(λ) =
n
Y
k=1
fY (xk).
a. ExprimerL(λ), puisln (L(λ))en fonction deλ,x1;. . .;xn.
b. On considère la fonctionϕ, définie pour tout réelλde]0; +∞[parϕ(λ) =nln (λ)−λ
n
X
=1
xk.
Montrer que la fonction ϕ admet un maximum, atteint en un seul réel que l’on notera z et que l’on exprimera en fonction dex1;. . .;xn.
Que peut-on dire dezpour la fonctionL?
7. On pose dorénavant, toujours avecnsupérieur ou égal à 2 ,Zn= n
n
X
k=1
Yk .
On admet queZnest une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l’espace probabilisé(Ω;A;P).
La suite(Zn)n>2 est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pourλ.
On admet que la variable aléatoire
n
X
k=1
Ykadmet pour densité la fonctionfndéfinie par
∀t∈R,fn(t) =
0 si t <0 λn
(n−1)!tn−1e−λt si t>0 . a. En remarquant que
+∞
Z
0
fn−1(t)dt= 1, montrer queZnpossède une espérance et queE(Zn) = n n−1λ. b. Déterminer un estimateurZn0 , fonction simple deZnqui soit un estimateur sans biais deλ.
Exercice XXVIII. (EML 2015)
Dans tout l’exercice, (Ω,A, P) désigne un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires considérées seront supposées définies sur cet espace.