Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes

Cours de É. Bouchet ECS1 25 mars 2021

Table des matières

1 Variables aléatoires discrètes 2

1.1 Dénition . . . 2

1.2 Loi d'une variable aléatoire réelle discrète . . . 2

1.3 Fonction de répartition . . . 3

1.4 Fonction d'une variable aléatoire . . . 3

2 Moments 4 2.1 Espérance . . . 4

2.2 Théorème de transfert . . . 5

2.3 Moments d'ordrer . . . 6

2.4 Variance . . . 6

2.5 Variables centrées réduites . . . 7

3 Lois discrètes usuelles 7 3.1 Rappels et compléments sur les lois nies . . . 7

3.2 Loi géométrique de paramètre p∈]0,1[ . . . 8

3.3 Loi de Poisson de paramètreλ∈R^∗₊ . . . 10

4 Tableau récapitulatif des lois usuelles 11

1 Variables aléatoires discrètes

1.1 Dénition

SoitXune variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé(Ω,A, P). AlorsX(Ω) ={X(ω)|ω∈Ω}

est l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire.

On dit que la variable aléatoireX est discrète lorsque X(Ω)est un ensemble dénombrable.

On dit que la variable aléatoireX est nie lorsqueX(Ω)est un ensemble ni.

Dénition (Variable aléatoire discrète, nie).

Soit X une variable aléatoire discrète, alors ([X=x])_x∈X(Ω) est un système complet d'événements. En particulier, X

x∈X(Ω)

P(X =x) = 1.

Proposition (Système complet d'événements lié à une variable aléatoire discrète).

Démonstration. X est une variable aléatoire donc ∀x ∈X(Ω),[X =x]∈ A. Si x et y sont deux éléments distincts deX(Ω), alors les événements [X =x]et [X =y] sont incompatibles. De plus,S

x∈X(Ω)[X =x] = [X ∈X(Ω)] = Ω.

Donc([X=x])_x∈X(Ω) est un système complet d'événements. La σ-additivité deP donne ensuite :

X

x∈X(Ω)

P(X =x) =P



 [

x∈X(Ω)

[X=x]



=P(Ω) = 1.

Soit X une variable aléatoire discrète. On appelle tribu associée à X la tribu engendrée par le système complet d'événements ([X=x])x∈X(Ω). On la note A_X.

Dénition (Tribu associée à une variable aléatoire discrète).

1.2 Loi d'une variable aléatoire réelle discrète

Soit X une variable aléatoire discrète, on appelle loi de X la donnée de X(Ω) et des valeurs P(X =x) pour tout x∈X(Ω).

Dénition (Loi d'une variable aléatoire réelle discrète).

Soit (p_k)k∈N une suite réelle. Sip_k est le terme général d'une série convergente à termes positifs vériant

+∞

X

k=0

p_k= 1, alors N et la suite(p_k)k∈N forment la loi d'une variable aléatoire discrète.

Proposition.

Démonstration. On pose Ω = N, A = P(Ω)et P la probabilité telle que ∀k ∈ N, P({k}) = p_k. Soit X la fonction identité, c'est une variable aléatoire réelle car ∀x ∈ R, [X 6 x] =

bxc

[

k=0

{k} ∈ A. C'est de plus une variable aléatoire discrète carX(Ω) =Nest dénombrable.

Exemple 1. SoitX(Ω) =N^∗ et pour tout i∈ N^∗, P(X=i) = 1

i(i+ 1). Justier queX est une variable aléatoire réelle discrète.

On utilise le résultat précédent, en posant pi = _i(i+1)¹ = ¹_i − _i+1¹ . Les pi sont positifs et sont le terme général d'une série téléscopique convergente (car lim

n→+∞

1

n = 0). Il ne reste plus qu'à calculer la somme de la série :

+∞

X

i=1

1 i(i+ 1) =

+∞

X

i=1

1 i − 1

i+ 1

= 1− lim

n→∞

1

n = 1−0 = 1.

D'où le résultat.

1.3 Fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire discrète,

∀x∈R, FX(x) =X

xk∈X(Ω),x_k6x

P(X =x_k),

et réciproquement, siX(Ω) ={x₁, . . . x_n. . .}où les x_i sont classés par ordre croissant, P(X=x₁) =F_X(x₁) et ∀k>2, P(X=x_k) =F_X(x_k)−F_X(xk−1). Proposition (La fonction de répartition caractérise la loi).

Démonstration. La preuve est similaire à celle faite dans le cas des variables aléatoires nies.

1.4 Fonction d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire discrète et g une fonction réelle telle que X(Ω) ⊂ D_g. Alors la fonction Y =g(X) est également une variable aléatoire discrète (ou nie).

Proposition (Fonction d'une variable aléatoire).

Démonstration. La fonction Y =g◦X est dénie surΩ(car X(Ω)⊂Dg) à valeurs réelles. De plus, ∀x∈R, [Y 6x] = [g◦X6x] = [

y∈Y(Ω),y6x

[g◦X=y] = [

y∈Y(Ω),y6x

[

z∈X(Ω),g(z)=y

[X=z].

OrX est une variable aléatoire, donc [X =z]∈ A. Comme X(Ω)est dénombrable, la stabilité des tribus par union dénombrable donne [Y 6 x] ∈ A. Donc Y est bien une variable aléatoire. De plus, comme X(Ω) est dénombrable, Y(Ω) =g(X(Ω))est dénombrable ou ni. D'où le résultat.

Exemple 2. Soit un réelC. On pose, pour toutn∈Z\ {0,1},un= C

n(n−1). Montrer qu'il existe une unique valeur deC telle que la suiteu soit la loi d'une variable aléatoire réelle discrèteX. Déterminer la loi deY =|X|.

uest à termes positifs si et seulement siC>0. Par ailleurs, _n(n−1)^C ∼ _n^C₂ >0, donc la série est convergente surN^∗ par critère de comparaison avec une série de Riemann convergente. De même, l'opposé de la série est convergent sur les entiers négatifs. Donc la série de terme généralu_n converge sur Z\ {0,1}, et on a :

X

n∈Z\{0,1}

C n(n−1) =

+∞

X

n=2

C n(n−1)+

+∞

X

n=1

C

−n(−n−1)

=

+∞

X

n=2

C n(n−1)+

+∞

X

n=1

C n(n+ 1)

=C

+∞

X

n=2

1 n−1− 1

n

+C

+∞

X

n=1

1 n − 1

n+ 1

=C(1−0) +C(1−0)

= 2C.

Doncu est la loi d'une variable aléatoire réelle discrèteX si et seulement siC= 1

2. Pour cette valeur,Y(Ω) =N^∗ et :

∀n>2, [Y =n] = [X=n]∪[X=−n], et[Y = 1] = [X=−1], où les événements des unions sont incompatibles. Donc par passage aux probabilités,

∀n>2, P(Y =n) = C

n(n−1)+ C

−n(−n−1) = 1

n²−1, etP(Y = 1) = C

(−1)(−2) = 1 4.

2 Moments

2.1 Espérance

Soit X une variable aléatoire discrète. On dit que X admet une espérance lorsque la série de terme généralxP(X=x) est absolument convergente, et on a alors :

E(X) = X

x∈X(Ω)

xP(X =x).

Dénition (Espérance d'une variable aléatoire discrète).

Remarque. L'espérance d'une variable aléatoire discrète peut donc ne pas exister, contrairement au cas des variables nies.

Exemple 3. SoitX la variable aléatoire de l'exemple 1, qui vérie X(Ω) =N^∗ et ∀i∈N^∗,P(X =i) = 1

i(i+ 1). La variable aléatoireX admet-elle une espérance ?

P|iP(X=i)|=P _i

i(i+1) =P ₁

i+1. On reconnaît la série harmonique (à un décalage d'indice près), qui diverge. Donc X n'admet pas d'espérance.

2.2 Théorème de transfert

Soit X une variable aléatoire discrète et g une fonction réelle telle que X(Ω)⊂ D_g, on pose Y =g(X). La variable aléatoire Y admet une espérance si et seulement si la série de terme général g(x)P(X = x) converge absolument, et on a alors :

E(Y) =E(g(X)) = X

x∈X(Ω)

g(x)P(X=x).

Théorème (Théorème de transfert, cas discret).

Démonstration. On remarque que Y(Ω) =g(X(Ω)). Soity∈Y(Ω), on poseG_y ={x∈X(Ω)|g(x) =y}. On a alors :

∀y∈Y(Ω), P(Y =y) = X

x∈Gy

P(X=x) donc yP(Y =y) = X

x∈Gy

g(x)P(X =x), où les sommes sont dénombrables et convergent par propriétés des probabilités. De plus,S

y∈Y(Ω)G_y =X(Ω)(union dénombrable), et lesGy sont disjoints deux à deux, on obtient donc parσ-additivité des probabilités queP

|yP(Y =y)|

converge si et seulement siP

|g(x)P(X =x)|converge, et que sous réserve de convergence,

E(Y) = X

y∈Y(Ω)

yP(Y =y) = X

y∈Y(Ω)



 X

x∈Gy

g(x)P(X=x)



= X

x∈X(Ω)

g(x)P(X=x).

Exemple 4. SoitX une variable aléatoire discrète sur N, et un réel λ >0. On suppose que pour toutn∈N,

P(X =n) = λⁿ

n!exp (−λ).

Montrer que _X+1¹ admet une espérance et la calculer.

X

1

1 +nP(X =n)

=X 1

1 +n λⁿ

n! exp (−λ) = exp (−λ)X λⁿ

(n+ 1)! = exp (−λ) λ

X λⁿ⁺¹ (n+ 1)!.

On reconnaît une série exponentielle convergente, donc par théorème de transfert, _1+X¹ admet une espérance qui vaut :

E 1

X+ 1

= exp (−λ) λ

+∞

X

n=0

λⁿ⁺¹

(n+ 1)! = exp (−λ) λ

+∞

X

n=1

λⁿ

n! = exp (−λ)

λ (exp(λ)−1) = 1−exp(−λ)

λ .

Soienta etbdeux réels etX une variable aléatoire discrète admettant une espérance. Alors : SiX(Ω)⊂[a, b]alorsE(X)∈[a, b].

E(aX +b) existe et vautaE(X) +b. Proposition (Propriétés de l'espérance).

Démonstration. (démonstration à connaître) On note (x_i)i∈N^∗ les éléments deX(Ω).

Supposons X(Ω)⊂[a, b]. Alors pour toutn>1, a

n

X

k=1

P(X=x_k)6

n

X

k=1

x_kP(X =x_k)6b

n

X

k=1

P(X =x_k).

Ces trois sommes admettent une limite nie pour n→ +∞, car on a supposé que E(X) existe et que X est une variable aléatoire discrète. Comme P+∞

k=1P(X =x_k) = 1, le passage à la limite donne a6E(X)6b. Les sériesP

x_kP(X=x_k) etP

P(X=x_k) convergent absolument, donc par inégalité triangulaire et linéarité des séries convergentes P

(ax_k+b)P(X = x_k) converge absolument. On en déduit par théorème de transfert que aX+b admet une espérance, et

E(aX+b) =

+∞

X

k=1

(ax_k+b)P(X=x_k) =a

+∞

X

k=1

x_kP(X =x_k) +b

+∞

X

k=1

P(X =x_k) =aE(X) +b.

2.3 Moments d'ordre r

Soit X une variable aléatoire discrète telle queX^r admet une espérance. On appelle moment d'ordre r de la variable aléatoire X le réel :

E(X^r) = X

x∈X(Ω)

x^rP(X =x).

Dénition (Moment d'ordrer).

Soit X une variable aléatoire discrète telle que(X−E(X))^r admet une espérance. On appelle moment centré d'ordre r de la variable aléatoire X le réel :

E((X−E(X))^r) = X

x∈X(Ω)

(x−E(X))^rP(X=x).

Dénition (Moment centré d'ordrer).

Remarque. SiX admet un moment d'ordrer, alors X admet un moment d'ordrep pour tout p∈[[1, r]]. 2.4 Variance

Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre 2. On appelle variance de X le moment centré d'ordre2 de X, notéV(X). On appelle écart-type deX la valeurσ(X) =p

V(X). Dénition (Variance, écart-type).

Soientaetbdeux réels etX une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre2. AlorsaX+b admet un moment d'ordre2, et

V(aX+b) =a²V(X).

Proposition.

Démonstration. X admet un moment d'ordre 2, donc en particulier une espérance.E(aX+b)existe donc et on a par linéarité de l'espérance :

(aX+b−E(aX+b))² = (aX+b−aE(X)−b)²=a²(X−E(X))².

CommeXadmet un moment d'ordre2, cette variable aléatoire admet une espérance. DoncV(aX+b)existe et on a : V(aX+b) =E (aX+b−E(aX+b))²

=a²E((X−E(X))²) =a²V(X).

Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre2. Alors : V(X) =E(X²)−E(X)².

Proposition (Formule de Huygens).

Démonstration. L'existence de tous les termes est garantie par l'existence d'un moment d'ordre 2. Le calcul se fait ensuite exactement comme dans le cas des variables aléatoires nies.

SiXest une variable aléatoire discrète de variance nulle, alors il existe un réelapour lequelP(X=a) = 1, et on dit queX est une variable quasi-certaine.

Théorème (Variable aléatoire de variance nulle).

Démonstration. La preuve est calquée sur celle du cas ni, il sut de remplacer la somme nie par la somme d'une série convergente (la convergence étant assurée par l'existence de la variance).

2.5 Variables centrées réduites

Soit X une variable aléatoire discrète admettant une variance non nulle. On appelle variable aléatoire centrée réduite associée àX la variable notéeX^∗ dénie par :

X^∗ = X−E(X) pV(X) . Dénition (Variable aléatoire centrée réduite).

3 Lois discrètes usuelles

3.1 Rappels et compléments sur les lois nies

Les lois certaine, de Bernoulli, binomiale et uniforme peuvent toujours être dénies comme au premier semestre. On a notamment :

Soit Ωun univers, etA une tribu deΩ. Soit E un élément de A. La variable aléatoireX qui vérie X(ω) = 1 si ω∈E

X(ω) = 0 si ω /∈E est appelée la variable indicatrice de l'événement E. On la note1E.

Dénition (Variable indicatrice d'un événement, généralisation).

3.2 Loi géométrique de paramètre p∈]0,1[

Une variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[ lorsque X(Ω) = N^∗ et pour tout n∈N^∗,

P(X=n) = (1−p)ⁿ⁻¹p.

On note alorsX ,→ G(p). Dénition (Loi géométrique).

Remarque. La notationq= 1−pest souvent utilisée, et on a alors : P(X=n) =qⁿ⁻¹p

Démonstration. Il faut montrer que ces propriétés permettent bien de dénir une loi de variable aléatoire. Il est immédiat que ∀n ∈ N^∗, (1−p)ⁿ⁻¹p > 0. Par ailleurs, P

(1−p)ⁿ⁻¹p = _1−p^p P

(1−p)ⁿ est une série géométrique convergente, puisque|1−p|<1, donc la série converge, et sa somme vaut :

+∞

X

n=1

(1−p)ⁿ⁻¹p= p 1−p

1−p

1−(1−p) = 1.

D'où le résultat.

Remarque. Modélisation : la loi géométrique correspond à la loi du temps d'attente du premier succès d'une succession de tirages de Bernoulli indépendants et de même paramètrep.

Soit i ∈ N^∗, on pose Si l'événement la i-ème expérience est un succès et on note X le rang du premier succès.

Alors, pour toutk∈N^∗, l'indépendance des expériences donne :

P(X =k) =P (

k−1

\

i=1

Si)∩Sk

!

=

k−1

Y

i=1

P(Si)

!

P(Sk) = (1−p)^k−1p.

DoncX ,→ G(p).

Exemple 5. On tire une suite innie de pile ou face avec une pièce équilibrée, et on noteX le numéro du premier pile.X correspond au rang du premier succès ( tirer un pile ) dans une succession d'expériences indépendantes, ou chaque expérience a une probabilité de succès de ¹₂. DoncX ,→ G ¹₂

.

SoitX une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. On poseq= 1−p. Alors pour tout n∈N^∗,

P(X 6n) = 1−qⁿ etP(X > n) =qⁿ. Proposition (Fonction de répartition de la loi géométrique).

Démonstration. On obtient par calcul direct : ∀n∈N^∗,

P(X 6n) =

n

X

k=1

P(X =k) =

n

X

k=1

(1−p)^k−1p ^i=k−1= p

n−1

X

i=0

(1−p)ⁱ=p1−qⁿ

1−q = 1−qⁿ. On en déduit ensuite directementP(X > n) = 1−P(X 6n) =qⁿ.

Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[. Alors X admet une espérance, et

E(X) = 1 p. Proposition (Espérance de la loi géométrique).

Démonstration. La série P

|nP(X=n)| = P

n(1−p)ⁿ⁻¹p = pP

n(1−p)ⁿ⁻¹ est une série géométrique dérivée convergente (car|1−p|<1), donc l'espérance existe et vaut :

E(X) =

+∞

X

k=1

k(1−p)^k−1p=p

+∞

X

k=1

k(1−p)^k−1=p 1

(1−(1−p))² = 1 p.

SoitX une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. On poseq= 1−p. Alors X admet une variance, et

V(X) = q p². Proposition (Variance de la loi géométrique).

Démonstration. (démonstration à connaître) La série : X

n²P(X =n) =X

n²(1−p)ⁿ⁻¹p=p(1−p)X

n(n−1)(1−p)ⁿ⁻²+pX

n(1−p)ⁿ⁻¹

est une somme de séries géométriques dérivées convergentes (car |1−p|<1), donc X admet un moment d'ordre 2. En suivant cette décomposition, on trouve :

E(X²) =

+∞

X

k=1

k²(1−p)^k−1p=p(1−p)

+∞

X

k=1

k(k−1)(1−p)^k−2+p

+∞

X

k=1

k(1−p)^k−1

=p(1−p) 2

(1−(1−p))³ +E(X)

= 2−2p p² + 1

p

= 2−p p² . La formule de Huygens donne alorsV(X) = 2−p

p² − 1 p² = q

p².

3.3 Loi de Poisson de paramètre λ∈R^∗₊

Une variable aléatoireXsuit la loi de Poisson de paramètreλ∈R^∗₊ lorsqueX(Ω) =Net pour toutn∈N,

P(X =n) = λⁿ n!e^−λ. On note alorsX ,→ P(λ).

Dénition (Loi de Poisson).

Démonstration. Il faut montrer que ces propriétés permettent bien de dénir une loi de variable aléatoire. Il est immédiat que ∀n∈ N, ^λ_n!ⁿe^−λ >0. Par ailleurs, P_λⁿ

n!e^−λ = e^−λP_λⁿ

n! est une série exponentielle convergente, et sa somme vaut :

+∞

X

n=0

λⁿ

n!e^−λ=e^−λ

+∞

X

n=0

λⁿ

n! =e^−λe^λ = 1.

D'où le résultat.

Remarque. La loi de Poisson est généralement utilisée pour modéliser le nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps xé, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'événement précédent.

SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ∈R^∗₊. AlorsXadmet une espérance, et :

E(X) =λ.

Proposition (Espérance de la loi de Poisson).

Démonstration. La série P

|nP(X=n)|=P

n^λ_n!ⁿe^−λ =λe^−λP _λⁿ⁻¹

(n−1)! est une série exponentielle convergente. L'es- pérance existe donc, et vaut :

E(X) =

+∞

X

k=0

kλ^k

k!e^−λ = 0 +λe^−λ

+∞

X

k=1

λ^k−1 (k−1)!

i=k−1

= λe^−λ

+∞

X

i=0

λⁱ

i! =λe^−λe^λ=λ.

SoitXune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ∈R^∗₊. AlorsXadmet une variance, et :

V(X) =λ.

Proposition (Variance de la loi de Poisson).

Démonstration. (démonstration à connaître) On commence par étudier la convergence de P

n²P(X=n) : Xn²λⁿ

n!e^−λ =λe^−λX

n λⁿ⁻¹

(n−1)! =λe^−λX

(n−1) λⁿ⁻¹

(n−1)!+λe^−λX λⁿ⁻¹

(n−1)! =λ²e^−λX λⁿ⁻²

(n−2)!+λe^−λX λⁿ⁻¹ (n−1)!.

La série exponentielle étant convergente,X admet un moment d'ordre2, et :

E(X²) =

+∞

X

k=0

k²λ^k

k!e^−λ =λ²e^−λ

+∞

X

k=2

λ^k−2

(k−2)!+λe^−λ

+∞

X

k=1

λ^k−1 (k−1)!

i=k−2

= λ²e^−λ

+∞

X

i=0

λⁱ

i! +E(X) =λ²+λ.

La formule de Huygens donne alorsV(X) =λ²+λ−λ² =λ.

4 Tableau récapitulatif des lois usuelles

X X(Ω) P(X=k) E(X) V(X)

Certaine {a} 1 ou 0 a 0

Uniforme :X ,→ U([[1, n]]) [[1, n]] 1 n

n+ 1 2

n²−1 12 Uniforme :X ,→ U([[a, b]]) [[a, b]] 1

b−a+ 1

a+b 2

(b−a+ 1)²−1 12

Bernoulli :X ,→ B(p) {0,1} p ou 1−p p p(1−p)

Binomiale : X ,→ B(n, p) [[0, n]]

n k

p^k(1−p)^n−k np np(1−p)

Géométrique :X ,→ G(p) N^∗ (1−p)^k−1p 1 p

1−p p²

Poisson : X ,→ P(λ) N λ^k

k!e^−λ λ λ