Exercices: Variables aléatoires discrètes

ECS1

Exercices: Variables aléatoires discrètes

Exercice 1. Soitc >0. SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN^∗ dont la loi est donnée par :∀n∈N^∗, P(X=n) = c

n!. 1. Calculerc.

2. CalculerE(X)etE(X(X−1)). En déduireV(X).

Exercice 2 (Loi géométrique). SoitX ,→ G(p), où p∈]0,1[et soitY =

X+ 1 2

. Montrer queY suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre.

Exercice 3 (Loi de Poisson). SoitX ,→ P(λ), oùλ >0. On poseY = (−1)^X. 1. DéterminerY(Ω)et montrer queE(Y) =e^−2λ.

2. En déduire la loi deY.

Exercice 4. Au Casino, un joueur joue à un jeu d'argent. S'il dépense n euros (qui sont donc perdus) pour jouer à une partie, il gagne2neuros avec probabilité ¹₂, et ne gagne rien sinon. Un joueur fortuné joue selon le protocole suivant :

il mise initialement 1 euro ;

s'il gagne, il arrête de jouer et empoche le double de sa mise.

s'il perd, il double sa mise et rejoue.

1. On suppose la fortune du joueur innie. Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement. Déterminer l'es- pérance de gain du joueur.

2. On suppose toujours la fortune du joueur innie. Que se passe-t-il si au lieu de doubler, il décide de tripler sa mise lorsqu'il rejoue ?

3. Le joueur n'est en fait pas si fortuné qu'il le prétend : il ne possède que2ⁿ−1 euros ce qui l'autorise à ne pouvoir jouer quenparties. Que devient son espérance de gain ?

Exercice 5 (Loi binomiale et loi de Poisson). On considère une pièce pipée, telle que la probabilité d'obtenir Pile à un lancer estp∈]0,1[.

1. Soitnun entier supérieur ou égal à 1. On jettenfois de suite la pièce, et on noteX la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus. Quelle est la loi deX? Déterminer son espérance et sa variance.

2. On suppose maintenant que le nombre de lancers eectués avec la pièce est une variable aléatoire N suivant la loi de Poisson de paramètreλ >0. Quelle est alors la loi deX? Déterminer son espérance et sa variance.

Exercice 6 (Loi de Pascal). On lance une innité de fois une pièce pipée, qui renvoie pile avec probabilité p∈]0,1[. SoitX la variable aléatoire qui vaut le temps d'attente dur-ème pile (r>2) s'il existe, et qui vaut0 sinon. On poseq= 1−p.

1. Montrer queX(Ω) ={0} ∪[[r,+∞[[.

2. Montrer que pour toutk∈[[r,+∞[[,P(X =k) = k−1

r−1

q^k−rp^r.

3. Dans le cas oùr= 2, montrer queX admet une espérance qui vautE(X) = r p.

Exercice 7 (Loi binomiale négative). SoitX la variable aléatoire qui compte le nombre d'échecs précédant le r-ème succès dans un processus de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[, et qui vaut0 s'il n'y a pas der-ième succès (r>2). On poseq= 1−p.

1. DéterminerX(Ω).

2. Montrer que pour toutk∈N,P(X =k) =

r+k−1 k

q^kp^r.

3. Dans le cas oùr= 2, montrer queX admet une espérance qui vautE(X) = rq p.

Exercice 8. SoitX une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ >0. On appelle fonction génératrice des moments deX l'application dénie pour toutt∈Rtel quee^tX admet une espérance par

M_X(t) =E(e^tX).

1. Déterminer l'ensemble de dénitionE deM_X, et calculer M_X(t)pour toutt∈E. 2. Montrer queM_X est dérivable en0 et qu'on aE(X) =M_X⁰ (0).

Exercice 9. Soituune suite à valeurs dans]0,1[. Pour toutn∈N^∗, on dit que le produit :

qn=

n

Y

k=1

(1−uk),

est convergent lorsque la suiteqconverge vers un réelL >0. 1. (a) Montrer que si le produitqconverge, alorslimuk= 0.

(b) En déduire que le produitqconverge si et seulement si la série de terme général u_k converge.

2. SoitX une variable aléatoire à valeurs dans N^∗ telle queP(X >n)>0 pour toutn∈N^∗. On appelle taux de panne associé la suite réelle dénie par :

∀n∈N, xn=P_[X>n](X =n).

(a) Montrer que pour toutn>1,P(X >n+ 1) = (1−xn)P(X >n). (b) En déduire l'expression depn=P(X >n)en fonction des xk.

(c) Déterminer les lois de variables à valeurs dansN^∗ ayant un taux de panne constant.

(d) Montrer qu'une suite réellexest un taux de panne si et seulement si06x_k<1pour tout k∈N^∗et la série de terme généralxk diverge.