Les variables aléatoires discrètes Exercices solutionnés

Les variables aléatoires discrètes Exercices solutionnés

Geneviève Gauthier

dernière mise à jour : 16 octobre 2000

Exercice. Pour chacune des fonctions de masse suivantes, déterminez le support de la variable aléatoire possédant cette distribution, calculez son espérance et sa variance et donnez la fonction de répartition correspondante.

a) f (x) = 8 >

> >

<

> >

> :

1

2 si x = 2

1

3 si x = ¹ ₂

1

6 si x = 10 0 sinon

b) f (x) =

( ₁

2

si x 2 f 1; 2; 3; ::: g

0 sinon

Réponse.

a) S _X = 2; ¹ ₂ ; 10 . = ⁵ ₆ , ² = 18; 056

F (x) = 8 >

> >

<

> >

> :

0 si x < 2

1

2 si 2 x < ¹ ₂

5

6 si ¹ ₂ x < 10 1 si x 10 b) S _X = f 1; 2; 3; ::: g : = 2, ² = 2

F (x) =

( 0 si x < 1

1 2 ⁿ si n x < n + 1, n 2 f 1; 2; 3; ::: g

Exemple de calcul. a) Soit X, une variable aléatoire de fonction de masse

f .

E [X] = 2 1 2 + 1

2 1

3 + 10 1 6 = 5

6 E X ² = ( 2) ² 1

2 + 1 2

2 1

3 + 10 ² 1 6 = 75

4 V ar [X] = E X ² (E [X]) ² = 75

4

5 6

2

= 325

18 = 18; 056 b) Soit X, une variable aléatoire de fonction de masse f .

E [X] =

X 1

x=1

x 1 2 ^x = 2 E X ² =

X 1

x=1

x ² 1 2 ^x = 6

V ar [X] = E X ² (E [X]) ² = 6 (2) ² = 2

Pour tout nombre réel x < 1, F (x) = 0 tandis que pour tout nombre réel

x 1

P [X x] = X

n 2f 1;2;3;::: g n x

1

2 ⁿ = 1 2 ^m où m est le plus grand entier inférieur ou égal à x:

Exercice. Pour chacune des fonctions de répartition suivantes, déter- minez le support de la variable aléatoire possédant cette distribution et donnez la fonction de masse correspondante.

8 > 0 si x < ¹ 8

Exemple de calcul. b) pour n 2 f 1; 2; 3; ::: g ; f (n) = F (n) lim

x " n F (x) (hauteur du saut)

= 1 1

n + 1 1 1

(n 1) + 1

= 1 n

1

n + 1 = 1

n (n 1) :

Exercice. Deux dés sont lancés. Soit

X ₁ = nombre de points sur le premier dé et X ₂ = nombre de points sur le deuxième dé.

Nous dé…nissons deux nouvelles variables aléatoires : Y ₁ = le plus petit des deux pointages

= min [X ₁ ; X ₂ ] et

Y ₂ = le plus grand des deux pointages

= max [X ₁ ; X ₂ ] .

(Y ₁ ; Y ₂ ) 1 2 3 4 5 6

1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (1; 2) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (1; 3) (2; 3) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (1; 5) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (5; 6) 6 (1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

a) Quelles sont les fonctions de masse (ou fonctions de masse marginales)

de Y ₁ et Y ₂ ?

Solution a)

f _Y

(y) = 8 >

> >

> >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

> >

> >

:

11

36 si y = 1;

9

36 si y = 2;

7

36 si y = 3;

5

36 si y = 4;

3

36 si y = 5;

1

36 si y = 6;

0 sinon.

et f _Y

(y) = 8 >

> >

> >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

> >

> >

:

1

36 si y = 1;

3

36 si y = 2;

5

36 si y = 3;

7

36 si y = 4;

9

36 si y = 5;

11

36 si y = 6;

0 sinon.

b)

f _Y

_;Y

(y ₁ ; y ₂ ) = 8 >

<

> :

1

36 si y ₁ = y ₂ ; y ₁ 2 f 1; 2; 3; 4; 5; 6 g ;

2

36 si y ₁ < y ₂ ; y ₁ 2 f 1; 2; 3; 4; 5 g et y ₂ 2 f 2; 3; 4; 5; 6 g ;

0 sinon.

c)

f Y ₁ 2 f 3; 4 gg = 8 >

> >

<

> >

> :

3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 ; 5 ; 3 ; 6 ; 4 ; 3 ; 5 ; 3 ; 6 ; 3 ;

4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 4 ; 6 ; 5 ; 4 ; 6 ; 4 9 >

> >

=

> >

> ; P [Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = 12

36 = 1

3

f X ₁ = 1 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg = ;

) P [X ₁ = 1 j Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = P [X 1 = 1 et Y 1 2 f 3; 4 g ]

P [Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = 0 3 = 0;

f X ₁ = 2 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg = ;

) P [X ₁ = 2 j Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = P [X ₁ = 2 et Y ₁ 2 f 3; 4 g ]

P [Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = 0 3 = 0;

f X ₁ = 3 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg = n

3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 ; 5 ; 3 ; 6 o ) P [ f X ₁ = 3 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg ] = 4

36 = 1 9

) P [X ₁ = 3 j Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = P [X ₁ = 3 et Y ₁ 2 f 3; 4 g ] P [Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = 1

9 3 = 1 3 ; f X ₁ = 4 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg = n

4 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 4 ; 6 o ) P [ f X ₁ = 4 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg ] = 4

36 = 1 9

) P [X ₁ = 4 j Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = P [X ₁ = 3 et Y ₁ 2 f 3; 4 g ] P [Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = 1

9 3 = 1 3 ; f X ₁ = 5 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg = n

5 ; 3 ; 5 ; 4 o ) P [ f X ₁ = 5 et Y ₁ 2 f 3; 4 gg ] = 2

36 = 1 18

) P [X ₁ = 5 j Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = P [X ₁ = 3 et Y ₁ 2 f 3; 4 g ] P [Y ₁ 2 f 3; 4 g ] = 1

18 3 = 1 6 ;

n o

d) Non, elles ne le sont pas, car il existe au moins deux nombres réels x et y tels que

f _X;Y (x; y) 6 = f _X (x) f _Y (y) :

En e¤et, ce dernier énoncé est équivalent à l’existence de deux nombres réels x 2 R et y 2 S ^Y tels que

f _{X j Y} (x; y) 6 = f _X (x) puisque

f _{X j Y} (x; y ) = f _X;Y (x; y)

f _Y (y) 6 = f _X (x) f _Y (y)

f _Y (y) = f _X (x) : Or

P [X ₁ = 1 j Y ₁ = 6 ] = 0 6 = 1

6 = P [X ₁ = 1]

c’est-à-dire que le fait de savoir que le pointage minimum est 6 nous informe

que le pointage du premier dé ne peut pas être 1. C’est pourquoi ces variables

aléatoires ne sont pas indépendantes.