Variables aléatoires discrètes et continues

(1)

Variables aléatoires discrètes et continues

Chapitre 2:

1 Pr. Mohamed El Merouani

Variable aléatoire

• On entend par variable aléatoire (v.a.) une grandeur qui à la suite d’une expérience aléatoire prend telle ou telle valeur.

• Suivant la notation ensembliste, une v.a. X est une fonction d’un événement élémentaire ω:

X=f (ω) où ωЄΩ. La valeur de cette fonction dépend de l’événement élémentaire ω apparu à la suite de l’expérience.

(2)

Définition d’une v.a.

• Soient (Ω,A) et (Ω’,A ’)deux espaces

probabilisables. L’application X:Ω—>Ω’ est dite variable aléatoire lorsque pour tout BЄA ’, on a: X^-1(B)={ωЄΩ/X(ω)ЄB} ЄA

• Si Ω’=IR, on prend pour A ’ la plus petite tribu contenant les intervalles de IR. A ’, est dans ce cas, dite tribu des boréliens de IR. On note A ’=B_IR. Dans ce cas X est variable aléatoire réelle notée v.a.r.

Variable aléatoire réelle

• Donc, une v.a.r Xest une application de

l’ensemble fondamental Ω dans l’ensemble IR des nombres réels

X:Ω—>IR qui vérifie I ЄB

IR, ona X^-1(I)={ωЄΩ/X(ω)Є I} ЄA

• Les valeurs de la variable X sont dites réalisations de X.

• L’ensemble de ces réalisations est noté X(Ω).

∀

(3)

Loi de probabilité d’une v.a.r.

• Soient (Ω,A,P) un espace probabilisé et X une v.a.r.

• L’application, notée P_X, définie par P_X: B

IR [0,1]

B P_X(B)=P(X^-1(B)) est une probabilité sur (IR, B

IR), et appelée loi de probabilité de X.

Démonstration:

• P_X(IR)=P(X^-1(IR))=P(Ω)=1

• Pour toute famille (B_i)_i≥1d’événements 2 à 2 incompatibles;

( ( ) )

∑ ( )

∑

≥

−

≥

−

≥

−

≥

=



 



= 















 



= 



 





1

1 1

1 1 1 1

) (

i

i i

i X

B P

B X

P

B X

P

B X

P B

P

U

(4)

Variable aléatoire discrète

• Une variable aléatoire Xest dite discrète si X(Ω) a un nombre fini (ou infini dénombrable) d’éléments.

• Soient x₁, x₂,…,x_nles réalisations de X. On note pour tout i=1,2,…,n X^-1({x_i})={ωЄΩ/X(ω)=x_i}=(X=x_i)

• Les événements (X=x_i) forment un système complet et

7

( ) ¹

1

=

∑

=

= n

i

xi

X P

Pr. Mohamed El Merouani

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète:

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X discrète est définie par la donnée de:

–x₁, x₂,…,x_nles réalisations de la v.a. X.

–p₁, p₂,…,p_nles probabilités des événements (X=x_i);

c’est-à-dire P(X=x_i)=p_i;pour i=1,2,…,n

(5)

Exemple:

Pour l’expérience du lancement d’un dé.

L’ensemble fondamental est Ω={1,2,3,4,5,6}

et soit

A={Ø; {1,4} ;{2,5}; {3,6}; {2,3,5,6} ;{1,3,4,6}; {1,2,4,5};Ω}.

Soit X l’application de Ω dans IRtelle que X(ω) soit le reste de ω modulo 3.

Exemple (suite)

On a: X(Ω)={0,1,2} et (X=0)=X^-1({0})={3,6}ЄA; (X=1)=X^-1({1})={1,4} ЄA;

(X=2)=X^-1({2})={2,5}ЄA; X est une v.a.r.

et P(X=0)=1/3; P(X=1)=1/3; P(X=2)=1/3.

On vérifie que:

en effet; P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)=1

( ⁼ )⁼¹

∑

i

xi

X P

(6)

Variable aléatoire continue

• Une variable aléatoire X est dite continue si X(Ω) est un ensemble infini non dénombrable.

• Une v.a.r. X est dite continue si X(Ω) est un intervalle ou une réunion d’intervalles de IR.

• Les valeurs que prend Xsont infinies non

dénombrables, alors la probabilité de ces valeurs est une fonction continue f, appelée fonction densité de probabilité.

Propriétés de la densité de probabilité:

∫

_IR ^f ⁽^x⁾^dx ⁼

∫

₋^+∞_∞ ^f ⁽^x⁾^dx ⁼¹

1. La fonction fest à valeurs positives sur IR:

f (x)≥0, xЄIR.

2. La fonction fest continue sauf peut être en un nombre fini (dénombrable) de points de IR.

3. L’intégrale de fsur IRconverge et est égale à 1.

∀

(7)

Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue:

• On rappelle que la loi d’une v.a.r. X sur un espace probabilisé (Ω,A,P) est une probabilité sur (IR, B_IR) définie par B_IR

P_X(B)=P(X^-1(B)).

• Si Xest une v.a. continue de fonction de

densité f alors sa loi de probabilité est donnée par B

IR on a:

13

∈

∀B

∈

∀B

( ) ⁼ ∫

_B

X

B f x dx

P ( )

• La probabilité de tout intervalle ]a,b[ est égale à ^P

(

^a^< ^X ^<^b

)

⁼

∫

_a^b ^f ⁽^x⁾^dx

a b x

f (x)

C_f P(a<X<b)

(8)

• Intuitivement, on peut écrire f (x)dx=P(x<X<x+dx)

où dx est considéré comme « infiniment petit ».

15

dx x

f (x) C_f

x

Fonction de répartition d’une v.a.r.:

• Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et Xune v.a.r.. On appelle fonction de répartition de la v.a.r. X, l’application F: IR—>[0,1] définie par:

pour toutxЄIR: F(x)=P(X≤x)

=P_X(]-∞,x])

=P(X^-1]-∞,x]).

• Si X est discrète:

• Si X est continue de fonction de densitéf:

( )

∑

≤

=

x x

i x

x

i

i i

p x

X P x

F( )

∫

= ^x

(9)

Proposition:

La fonction de répartition Fd’une v.a.r. X satisfait les propriétés suivantes:

1) 0≤F(x)≤1;

2) Fest une fonction croissante,

3) Fest continue à droite en tout point xde IR.

4) et .

17

0 ) (

lim =

−∞

→ F x

x lim ( )=1

+∞

→ F x

x

Démonstration:

1) Cette propriété est évidente.

2) Prenons deux nombres réels xet x’ tels que x≤x’. Alors ]-∞,x]C ]-∞,x’].

D’où P_X(]-∞,x]) ≤ P_X(]-∞,x’]) et par conséquent F(x) ≤ F(x’).

(10)

Démonstration (suite):

3) Soit (x_n)_n une suite décroissante de nombres réels telle que

avec mais

car la suite (x_n)_nest décroissante.

Donc (A_n)_n décroissante et D’où

19

lim x_n x0

n =

+∞

→

( ) ( )

∞

∞ →

→

∞

→ = ≤ =

n n n n

n F(xn) limP X x limP A

lim

(

n

)

n

X x

A = ≤ (

X ≤ x_n

) (

⊃ X ≤ x_n+1

)

( ) ( 0)

1 1

x X x

X A

n n

n

n = ≤ = ≤

∞

=

∞

=

I I

( ) ( )

⁽ ⁾

lim P X x_n P X x₀ F x₀

n ≤ = ≤ =

+∞

→

Démonstration (suite):

4) La suite des événements (X≤-n); n=1,2,3,… est décroissante et

Donc D’où

( ≤− )=∅

∞

=

I

1 n

n X

( ) ( )

⁰

lim )

(

lim − = ≤− = ∅ =

∞

→

∞

→ F n P X n P

n n

0 ) (

lim =

−∞

→ F x

x

(11)

Démonstration (suite):

La seconde relation s’obtient en considérant la suite croissante (X≤n), n=1,2,3,… et . Donc

D’où

21

U^∞

=

1 n

n IR

A

( ) ( )

¹

lim )

(

lim = ≤ = =

+∞

→ +∞

→ F n P X n P IR

n n

1 ) (

lim =

+∞

→ F x

x

Remarques:

1. La fonction de répartition permet de calculer les probabilités concernant les intervalles.

On a: P(a<X≤b)=F(b)-F(a) En effet:

(

^a ^X ^b

) (

^P^a ^X ^et ^X ^b

) (

^P⁽^a ^X⁾ ⁽^X ^b⁾

)

P < ≤ = < ≤ = < I ≤

(

^a ^X

) (

^P ^X ^b

) (

^P⁽^a ^X⁾ ⁽^X ^b⁾

)

P < + ≤ − < ≤

= U

(

^X ^a

) (

^P ^X ^b

) ( )

^P^IR

P ≤ + ≤ −

−

=1

(

^X ^b

) (

^P ^X ^a

) ( ) ( )

^F ^b ^F ^a

P ≤ − ≤ = −

=

(12)

Remarques:

2. On peut démontrer que toute fonction F(x) vérifiant les propriétés précédentes

représente la fonction de répartition d’une certaine v.a.

Exemple précédent:

L’expérience « lancement d’un dé »

On a Xla v.a. définie sur (Ω,A,P) par X(ω) reste de ω modulo 3, . On a trouvé:

donc

Ω

∈

∀ ω







≥

<

≤

<

≤

<

= 2 3 1 2

1 0

3 1

0 0

)

( si x

x si

x si x

F

xi 0 1 2

pi 1/3 1/3 1/3

(13)

Remarque:

• Si Xprend une suite (finie ou infinie) de

valeurs x₁<x₂<x₃<…, la fonction de répartition Fde Xest une fonction en escalier croissante, discontinue en x₁,x₂,x₃,…, . Le saut en x_i vaut P(X=x_i).

• La fonction Fest continue en tout point xtel que x ЄX(Ω).

• Fest constante sur tout intervalle [x_k,x_k+1[;

k=1,2,3…; x_kЄ X(Ω).

Exemple:

• Pour l’expérience de lancement d’une pièce de monnaie, on a la loi de probabilité de X est résumée par le tableau suivant:

• Sa fonction de répartition sera:

x_i 0 1 Σp_i

p_i 1/2 1/2 1







≥

<

≤

<

=

1 si 1

1 0

si 2 1

0 si 0

x x /

x F(x)

(14)

Représentation graphique de F(x):

0 1

1

1/

2 F(x)

x

Exemple 3:

Soit Ω={(i,j)/ i,j Є {1,2,3,4,5,6}} et soit A =P (Ω).

On définit la v.a. X(i, j) = i+j ; 1 ≤ i,j ≤ 6 La loi de probabilité de X est donnée par:

( )

⁼ ^, ^∀⁽ ^, ⁾^∈^Ω

36 ) 1

,

(i j i j

Soit P

x_k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p_k

36 1

36 2

36 3

36 4

36 5

36 6

36 5

36 4

36 3

36 2

36 1

(15)

29

 



 





≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

12 1

12 11

36 35

5 4

36 6

4 3

36 3

3 2

36 1

2 0

) (

x si

x F

M

Donc, sa fonction de répartition est:

Remarques (Fonction de répartition d’une v.a. continue):

• On définit la fonction de répartitionFd’une v. a.

continueXde la même manière que pour une v.a.

discrète, c’est-à-direF(x)=P(X≤x).

• La fonction continue est

croissante de 0 à 1 lorsquexvarie de -∞ à +∞.

• Par conséquent, une v.a. continue est une v.a. dont la fonction de répartition est continue.

• Si la fonction de densité fd’une v.a. continueXest continue au pointxalorsfest la dérivée de da fonction de répartitionF, c’est-à-direF’(x)=f(x).

=∫−∞

x f(t)dt

) x ( F

(16)

Représentation graphique de F(x) continue:

0 1 F(x)

x

Conséquences:

PourX v.a. continue on a:

• P(X=c)=0aveccune constante réelle.

• P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b)= F(b)-F(a)

• P(X≤a)=P(X<a)

• P(X≥b)=P(X>b)

∫

₋_∞

= ^a f(t)dt

∫

^+∞

= b f )(t dt

∫

= ^b

a f(t)dt

(17)

Exemple:

Soit f la fonction de densité, d’une v.a.

continue X, définie par:

1. Trouver F(x).

2. Calculer P(0,3<X≤1,5)

33

 

 



≤

<

−

≤

<

=

ailleurs x si

x

x si

x x

f

0 2 1

2 1 0

) (

Exemple (suite):

1.Si x ≤ 0; F(x)=0 Si 0 < x≤ 1;

Si 1 <x≤ 2;

Si x≥2; F(x)=1

2.P(0,3<X≤1,5)=F(1,5)-F(0,3)=0,83

∫

⁼

= ^x x

dt t f x

F 0

2

) 2 ( )

(

( )

¹

2 2 2

) (

2 1

1

0 + − = − −

=

∫

^t^dt

∫

^t ^dt ^x ^x

x

F ^x

(18)

Loi d’une fonction d’une v.a. discrète:

Soit une v.a. discrète X telle que

X(Ω)={x₁,x₂,…} et g une fonction de X(Ω) dans un ensemble E={y₁,y₂,…}.

Alors Y=g(X) est une v.a. discrète telle que:

35

( ) U ( )

I i

i

j X x

y Y j

∈

=

∀ , ^I ⁼

{

ⁱ^/^g⁽^xⁱ⁾⁼ ^y^j

}

( ) ∑ ( )

∈

=

I i

i

j P X x

y Y P

où D’où

Exemple:

Soit la v.a. discrète X de loi de probabilité:

On cherche la loi de la v.a.:

a) Y= X ²+ 1 b) Z=|X|

x_i -2 -1 0 1 2

p_i 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3

(19)

Exemple (suite):

a) Yprend les valeurs 1,2,5 avec les probabilités:

P(Y=1)=P(X=0)=0,3

P(Y=2)=P(X=-1)+P(X=1)=0,1+0,2=0,3 P(Y=5)=P(X=-2)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4 D’où

37

y_j 1 2 5

P(Y=y_j) 0,3 0,3 0,4

Exemple (suite):

b) De la même façon on trouve:

z_j 0 1 2

P(Z=z_j) 0,3 0,3 0,4

(20)

Loi d’une fonction d’une v.a.

continue:

Soit une v.a. continue X de densité de probabilité f et soit Y=g(X) dérivable pour tout x et telle que

g’(x)>0, x ou g’(x)<0, x.

Alors Y=g(X) est une v.a. continue dont la densité de probabilité est donnée par:

h(y)=f [g^-1(y)]|(g^-1(y))’|

39

∀ ∀

Loi d’une fonction d’une v.a.

continue:

• Si g’(x)>0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g^-1(Y) et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤g^-1(y))

d’où H(y)=F(g^-1(y)) (ou Hest la fonction de répartition de Y). En dérivant, on obtient:

h(y)=f (g^-1(y))(g^-1(y))’

• Si g’(x)<0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g^-1(Y) et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≥g^-1(y))=1- P(X<g^-1(y)) d’où H(y)=1-F(g^-1(y))

En dérivant, on obtient: h(y)=−f (g^-1(y))(g^-1(y))’

(car g’<0)

(21)

Exemple:

Soit Xv.a. de densité de probabilité:

Cherchons les densités de:

a) Y=e^X b) Z=-2LogX

41



 < <

= autrement x x si

f 0

1 0

) 1 (

Exemple (suite):

a) Y=e^X X=LogY avec y>0 pour tout x et nous avons

C’est-à-dire que

1 0

, 1 1. )

( = < Log y <

y y h

 

 < <

= autrement e y y y

h 0 ,

1 , ) 1

(

(22)

Exemple (suite):

b)

43





 < < ∞

=

<

−

=

−

autrement y e

e e

y h

y

y y

, 0

0 2 ,

1

1 0

, 1 2 .

) 1 (

2

2 2

Remarque:

La formule précédente est valable sous la

condition que «la fonction gest dérivable etg’(x) garde un signe constant pour tout x».

Soit Y=X². On a H(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)=

En dérivant, on obtient:

Contre-exemple

(

^y ^X ^y

) ( ) ( )

^F ^y ^F ^y

P − ≤ ≤ = − −

=

( )

⁼ ¹

( )

⁺ ¹

( )

⁻

(23)

Couple de variables aléatoires

Définition:

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.

• Une application (X,Y) de Ω dans IR², qui à tout ω de Ω fait correspondre un couple (X(ω),Y(ω)) de IR², s’appelle couple de variables aléatoires (où Xet Y sont deux variables aléatoires).

• (X,Y) s’appelle aussi variable aléatoire à deux dimensions.

Loi de probabilités conjointes de deux v. a. discrètes:

• Un couple de v. a. (X, Y)peut prendre les valeurs successives suivantes:

(x₁,y₁) ; (x₁,y₂) ; …; (x_i,y_j) ; …; (x_n,y_m)

A chaque couple(x_i,y_j)correspond une probabilitép_ij d’observer simultanément la valeurx_ipour Xet la valeury_jpour Y:

p_ij=P(X=x_iet Y=y_j)=P(X=x_i, Y=y_j)

• On a

1

1 1

=

∑ ∑

= = n

i m

j

p

ij

1 0 ≤ p

_ij

≤

^et

m j

n

i = 1,2,K, ; ∀ =1,2,K,

∀

(24)

Fonction de répartition d’un couple de v.a. discrètes:

• On appelle fonction de répartition d’une v.a. à deux dimensions (X,Y) la fonction définie par:

47

( ) ( ) ∑∑ ( )

≤ ≤

=

≤

=

x

x y y

j i

i j

y Y x X P y

Y x X P y x

F , , ,

Lois de probabilités marginales:

• La probabilité P(X=x_i)=p_i.est appelée loi marginale de X. On a:

• La probabilité P(Y=y_j)=p_.j est appelée loi marginale de Y. On a:

(

⁼

)

⁼ ⋅ ⁼

∑

j ij i

i p p

x X

P

(

⁼

)

⁼ ⋅ ⁼

^∑

i

ij j

j p p

y Y

P

m j =1,2,K,

n i = 1,2,K,

(25)

Y y

₁

…. y

_j

… y

_m

Total

X

x₁ p₁₁ … p_1j … p_1m p_1.

x_i p_i1 … p_ij … p_im p_i.

x_n p_n1 … p_nj … p_nm p_n.

Total p_.1 p_.j p_.m 1

49

Lois de probabilités conditionnelles:

• La loi conditionnelle de Xsi Y=y_j est définie par:

• De même, la loi conditionnelle de Ysi X=x_i est définie par:

( ) ( )

(

j

)

j i

j P Y y

y Y x X y P

Y X

P =

=

= =

= ,

/

( ) ( )

(

i

)

j i

i P X x

y Y x X x P

X Y

P =

=

= =

= ,

/

(26)

Indépendance de deux variables aléatoires discrètes :

• Deux v. a. discrètesXet Ysont dites indépendantes si

P(X=x_i, Y=y_j)=P(X=x_i).P(Y=y_j) pour toutx_iet y_j.

• Dans ce cas:P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour toutxet y

ou F(x,y)=F_X(x).F_Y(y)

• Aussi:

51

(

X Y yj

)

P

(

X xi

)

P / = = =

(

^Y ^X ^xⁱ

)

^P

(

^Y ^y^j

)

P / = = =

et

Loi de probabilités conjointes de deux v.

a. continues:

Une v.a. à deux dimensionsZ=(X,Y) est dite continue s’il existe une applicationf(x,y) appelée densité de probabilité conjointe du couple de v.a.(X,Y), vérifiant:

( ) ^,

²

; 0

) f(x,y) x y IR

a ≥ ∀ ∈

∫ ∫

_-^+∞_∞ _-^+∞_∞

^f(x,y)dxdy ⁼

b ) 1

(27)

Fonction de répartition d’un couple de v.a. continues:

• La fonction de répartition du couple (X,Y) est définie par:

53

( ) ( ) ∫ ∫ ( )

∞

− −∞

=

≤

= P X x Y y ^{x y} f u v dudv y

x

F , , ,

( ) ( )

y x

y x y F

x

f ∂ ∂

= ∂ , ,

2

et l’on a

Lois marginales (Fonctions de répartitions marginales):

• Les fonctions:

fonctions de répartition marginales des v.a. X et Y respectivement.

( ) ∫ ∫

∞

−

∞ +

∞

= −

≤

= ^x

X x P X x f u v dvdu

F ( ) ( , )

( ) ∫ ∫

∞

−

∞ +

∞

= −

≤

=

y

Y y PY y f u v dudv

F ( ) ( , )

et sont dites

(28)

Lois marginales (Fonctions de densités marginales):

• Les fonctions:

sont les densités de probabilités marginales de Xet Y respectivement.

55

∫ ( )

+∞

∞

−

= f x v dv x

f_X( ) ,

∫ ( )

+∞

∞

−

= f u y du y

f_Y( ) , et

Lois conditionnelles:

• La densité conditionnelle de Xsi Y=y est définie par:

• La densité conditionnelle de Y si X=x est définie par:

(

^x ^Y ⁼ ^y

) ( )

⁼ ^f^f ^x

( )

^,^y^y ^, ^si ^f ⁽^y⁾ ^≠ ⁰

f _Y

Y X

(

^y ^X ⁼ ^x

) ( )

⁼ ^f^f ^x

( )

^,^x^y ^, ^si ^f ⁽^x⁾ ^≠⁰

f _X

X Y

(29)

Indépendance de deux variables aléatoires continues :

Deux v. a. continuesXet Ysont dites indépendantes si: P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour toutxet y ou F(x,y)=F_X(x).F_Y(y)

ou encore, en dérivant 2 fois par rapport à xet à y:

f (x,y)=f_X(x).f_Y(y) Dans ce cas

et

57

(

^x ^Y ^y

)

^f ^(x⁾

f_X = = _X

(

^y ^X ^x

)

^f ^{( y}⁾

f_Y = = _Y

Exemple:

Un couple de variables aléatoires continues Z=(X,Y) de densité de probabilité conjointe:

1. Trouver le coefficient k.

2. Trouver les lois marginales de Xet Y.

3. Calculer les densités conditionnelles de X sachant Y=yet de Ysachant X=x.

( ) ⁽ ⁾





 > >

= ⁻ ⁺

autrement 0

0 et 0 , si

2

2 x y

y kxye x f

y x

(30)

Corrigés:

1. La fonction f (x,y) est une densité de probabilité si f (x,y)≥0 et . D’une part k≥0 et

d’autre part . On a donc et par suite k=4.

59

+∞

∫ ∫

∞

− +∞

∞

−

=1 )

,

(x y dxdy f

∫ ∫

+∞+∞ − − =

0 0

2 1

2e dxdy

xye

k ^x ^y

∫ ∫

+∞ +∞

−

− =

0 0 4

2

2 k

dy ye dx xe

k ^x ^y

2. Les densités marginales sont: f_X(x)=0 si x≤0 et si x>0.

On a donc

De même on trouve

( ² ²) ₂ ² 4

) , ( )

(

0

x y

x

X x f x y dy xye dy xe

f ⁻

+∞

∞

−

+∞ − + =

=

∫ ∫







<

= ⁻ >

0 si

0

0 si

) 2 (

2

x x x xe

f

x X







<

= ⁻ >

0 si

0

0 si

) 2 (

2

y y y ye

f

y Y

(31)

3. La densité conditionnelle de Xsachant Y=y est:

La densité conditionnelle de Y sachant X=x est:

On remarque que les deux v.a. X et Y sont indépendants puisque et

. On a, aussi

61

( ) ( )







≤

= >

=

= ⁻

0 0

0 2

) (

, ²

x si

x si xe

y f

y x y f

Y x f

x

Y X

( ) ( )







≤

= >

=

= ⁻

0 0

0 2

) (

, ²

y si

y si ye

x f

y x x f

X y f

y

X Y

(

^x ^Y ^y

)

^f ^(x⁾

f_X = = _X

(

^y ^X ^x

)

^f ^{( y}⁾

f_Y = = _Y

( ) ^x ^, ^y ^f ⁽ ^x ⁾ ^f ⁽ ^y ⁾

f =

_X

⋅

_Y

Espérance mathématique:

v.a. discrète:

• L’espérance mathématique d’une v. a. discrète X, notée E(X) est:

v.a. continue:

• L’espérance mathématique d’une v. a. continue X, de fonction de densité fest donnée par:

i i

i

iP X x x p

x X

E⁽ ⁾⁼

∑

⁽ ⁼ ⁾⁼

∑

∫

₋^+∞_∞

= x f x dx X

E( ) ( )

(32)

Remarque:

Dans le cas discret:

Lorsque X(Ω) est fini, est finie.

Si X(Ω) est infini, on a la somme d’une série qui peut ne pas exister.

Dans le cas continue:

L’intégrale peut être divergente.

Dans ces cas l’espérance mathématique n’existe pas.

63

i i

i p

∑

x

∫

₋^+∞_∞^x ^f ⁽^x⁾^dx

Exemple 1:

• Soit une v.a. X de loi donnée par:

• Alors

• Donc, l’espérance mathématique n’existe pas.

...

3 , 2 , 1 3 ;

2 3 = =







 =

= i

X i P

p _i

i i

∞

→

=

⋅

=

∑ ∑

∑

^∞

=

∞

=

=1 1 1

2 3

i i i

i i

i

i p i i

x

(33)

Exemple 2:

Soit une v.a. X continue de densité de probabilité:

Posons t=1+x², on obtient

Donc est divergente.

D’où E(X) n’existe pas

65

( ^x ) ^x ^IR

x

f ∈

= + ,

1 ) 1

(

₂

π

(

^x ^x

)

^dx

∫

₋⁺_∞^∞

_π

₁₊ ²

[ ]

^→^∞

= + =

∞ ∞

∞

∫

₀ ₁ ^x_x²^dx ¹₂ ₁ ^dt_t ¹₂ ^Log^t ¹

Propriétés de l’espérance:

Soient Xet Ydeux v. a., et αet βdeux réels quelconques, alors:

) ( ) ( ) (

)

4° E X +Y =E X +E Y

α α

=

°) ( ) 1 E

α

α = +

+

°) ( ) ( )

2 E X E X

) ( )

( )

3° E αX =αE X

( )

⁾ ⁰

( )

6° E X −E X =

) ( ) ( ) (

)

5° E X −Y = E X −E Y

(34)

Démonstration:

La moyenne d’une constante est elle-même!

E(α)=α.P(X=α)=α.1=α Cas discret:

Cas continu:

67

? ) ( )

1° E

α

=

α

? )

( ) (

)

2° E X +α = E X +α

(

⁺

)

⁼

∑ (

⁺

) (

^⋅ ⁼

)

i

i P X x

x X

E α α

(

⁺

)

⁼

∑

^⋅

(

⁼

)

⁺

∑ (

⁼

)

i

i i

i

i P X x P X x

x X

E α α

(

X +α

) ( )

=E X +α E

(^X +α)=

∫

₋^+∞_∞(^x+α)^f ^x ^dx=

∫

₋^+∞_∞^xf ^x ^dx+α

∫

₋^+∞_∞ ^f ^x ^dx=^E( )^X +α

E ( ) ( ) ( )

Démonstration:

Cas discret:

Cas continu:

? ) ( )

( )

3° E αX =αE X

( )

⁼

∑ (

⁼

)

⁼

∑ (

⁼

)

⁼

( )

i

i i

i

iP X x x P X x E X

x X

E α α α α

( )

^X ⁼

∫

₋^+∞_∞ ^xf ^x ^dx ⁼

∫

₋^+∞_∞^xf ^x ^dx ⁼ ^E

( )

^X

E α α ⁽ ⁾ α ⁽ ⁾ α

(35)

Démonstration:

69

? ) ( ) ( ) (

)

4° E X +Y =E X +E Y Cas discret:

(

⁺

)

⁼

∑∑ (

⁺

) (

⁼ ⁼

)

i j

j i

j

i y P X x Y y

x Y

X

E ,

( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )

^



 



 = =

+











 = =

= +

j i

j

i j

j i

i PX x Y y y PX x Y y

x Y

X

E , ,

( ) ⁽

ⁱ

⁾

j

i Y y P X x

x X

P = = = =

∑

^,

( ) (

^j

)

i

j

i Y y PY y

x X

P = = = =

∑

^,

Mais, et

( ) ( ⁽ ⁾ ( ) )

^



 



 = =

=

∑

=

U

^I

j

j i

j

i Y y P X x Y y

x X

P ,

( ) ( )























 =

=

= ^I

U

j

i Y y

x X P

( )

[ ⁼ ^Ω ]

= I

x

i

X P

( X x

i

)

P =

=

(36)

Démonstration:

• On obtient, donc,

71

(

⁺

)

⁼

∑ (

⁼

)

⁺

∑ (

⁼

)

j

j j

i

iP X x y PY y

x Y

X E

( ) ( )

^X ^E ^Y

E +

=

Démonstration:

Cas continu:

? ) ( ) ( ) (

)

4° E X +Y =E X +E Y

(

^X ^Y

) (

^x ^y

)

^f ^x ^y ^dxdy

(

^x ^y

)

^f ^x ^y ^dy ^dx

E

∫ ∫

^+∞

∫ ∫

∞

− +∞

∞

− +∞

∞

−

∞ +

∞

− 



 



 +

= +

=

+ ( , ) ( , )

dx dy y x yf dy

y x f

∫ ∫

x

∫

+∞

∞

− +∞

∞

−

+∞

∞

−



 



 +

= ( , ) ( , )

∫ ∫ ∫

+∞

∞

−

+∞

∞

− +∞

∞

−



 

 + 

= xf_X(x)dx y f(x,y)dx dy

( )

^X ^yf ^y ^dy ^E

( ) ( )

^X ^E ^Y

E + _Y = +

= ^+∞

∫

⁽ ⁾

Variables aléatoires discrètes et continues