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Variable aléatoire 1. Notion de variable aléatoire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Variable aléatoire 1. Notion de variable aléatoire

Définitions : Soit 𝛺 l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire sur 𝛺 est une fonction 𝑋 définie sur 𝛺 à valeurs dans ℝ. L’ensemble de ces réels est noté 𝑋(Ω). Une variable aléatoire est discrète si elle ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs : 𝑋 ∈ {𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; … ; 𝑥𝑛 }

Autrement dit, on définit une variable aléatoire sur 𝛺 quand on associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

Définition : Soit a ∈ ℝ. On note :

•{X=k} l'événement "la variable aléatoire X prend la valeur k".

•{ X ≥ k } l'événement "la variable aléatoire X prend une valeur supérieure ou égale à k".

•De la même manière, on définit les événements suivants : { X > k } ,{ X < k } , et { X ≤ k } .

Exemple : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.

𝑋(Ω)= {0; 1; 2; 3}.

2. Loi de probabilité d’une VA

Définition : Lorsqu’à chaque valeur 𝑥𝑖 , avec 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, prise par une variable aléatoire 𝑋, on associe la probabilité de l’événement {𝑋 = 𝑥𝑖}, on dit que l’on définit la loi de probabilité de 𝑋.

Exemple : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.

3. Espérance

Définition : Soit une variable aléatoire 𝑋 qui prend les valeurs 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛. L’espérance de 𝑿 est le nombre noté 𝑬(𝑿) défini par :

𝐸(𝑋) = 𝑥1× 𝑃(𝑋 = 𝑥1) + 𝑥2× 𝑃(𝑋 = 𝑥2) + ⋯ + 𝑥𝑛× 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑛).

Remarque1 : On peut simplifier cette formule en utilisant la notation « sigma » qui signifie somme : 𝐸(𝑋) = ∑𝑛 𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑖=1 avec 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑝𝑖

signifie « somme pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 ».

𝑃 𝑃

𝐹

𝑃 𝑃

𝐹

𝐹 𝑃 𝑃

𝐹 𝐹

𝑃 𝐹

𝐹

Loi de probabilité de X :

Valeurs 𝑥𝑖 0 1 2 3

Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

1 8

3 8

3 8

1 8

Exercices : n° 20, 16 et 17 page 321 + n° 33 page 322 + n° 53 page 325.

(2)

Propriété : 𝑉(𝑋) =∑𝑖=1𝑝𝑖𝑥𝑖²−𝐸(𝑋)²

Définition : On appelle écart-type de 𝑿 le nombre 𝜎(𝑋) défini par 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋).

Remarque 2 : L’espérance mathématique n’est rien d’autre que la moyenne.

Ex : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.

Valeurs 𝑥𝑖 0 1 2 3

Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

1 8

3 8

3 8

1 8

4. Variance et écart-type

Définition : Soit une variable aléatoire 𝑋 qui prend les valeurs 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 avec les probabilités 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛. La variance de 𝑿est le nombre noté 𝑽(𝑿) défini par :

𝑉(𝑋) = (𝑥1− 𝐸(𝑋))2× 𝑝1+ (𝑥2− 𝐸(𝑋))2× 𝑝2+ ⋯ + (𝑥𝑛− 𝐸(𝑋))2× 𝑝𝑛

Remarque 1 : en écriture simplifiée : 𝑉(𝑋)=∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖−𝐸(𝑋))²×𝑝𝑖

Remarque 2 : La variance est toujours un nombre positif, carrés et probabilités étant des nombres positifs.

𝑛

La variance permet surtout de calculer l’écart-type. L’écart-type est un indice de dispersion autour de la moyenne. En effet, considérons deux cas simples :

cas 1 : on a trois notes : 9 − 10 − 11 cas 2 : on a trois notes : 0 − 10 − 20

Dans les deux cas, la moyenne est de 10, mais cela ne décrit pas entièrement la situation.

Dans le cas 1, les notes sont très rapprochées de la moyenne ; l’écart-type sera très petit.

Dans le cas 2, les notes sont très éloignées de la moyenne ; l’écart-type sera très grand.

Ex : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.

Valeurs 𝑥𝑖 0 1 2 3

Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

1 8

3 8

3 8

1 8 𝐸(𝑋) = 1,5

𝑉(𝑋) = (0 − 1,5)2×1

8+ (1 − 1,5)2×3

8+ (2 − 1,5)2×3

8+ (3 − 1,5)2×1

8= 0,46875 𝜎(𝑋) = √0,4675 ≈ 0,68

Propriétés : Soient 𝑎 et 𝑏 des réels, alors : 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 et 𝑉(𝑎𝑋) = 𝑎²𝑉(𝑋) 𝐸(𝑋) = 0 ×1

8+ 1 ×3

8+ 2 ×3

8+ 3 ×1 8 𝐸(𝑋) = 1,5

En moyenne, on obtient 1,5 piles.

Exercices : n° 37 page 322 + n° 64 et 74 pages 326 et 327.

PROBABILITES ET JEU D'ARGENT : voir fichier Exercices espérance de gain - corrigés en vidéo Remarque : par extension on parle souvent d'espérance de gain pour les jeux d'argent. U n jeu sera équitable si l'espérance du gain est nulle. Si elle est positive, le jeu sera favorable au joueur, sinon le jeu sera défavorable au joueur.

Exemple : On décide de doubler les gains et d'imposer une mise de 5 euros. On a donc E(2X-5)= -1 .

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