Variable aléatoire 1. Notion de variable aléatoire
Définitions : Soit 𝛺 l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire sur 𝛺 est une fonction 𝑋 définie sur 𝛺 à valeurs dans ℝ. L’ensemble de ces réels est noté 𝑋(Ω). Une variable aléatoire est discrète si elle ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs : 𝑋 ∈ {𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; … ; 𝑥𝑛 }
Autrement dit, on définit une variable aléatoire sur 𝛺 quand on associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.
Définition : Soit a ∈ ℝ. On note :
•{X=k} l'événement "la variable aléatoire X prend la valeur k".
•{ X ≥ k } l'événement "la variable aléatoire X prend une valeur supérieure ou égale à k".
•De la même manière, on définit les événements suivants : { X > k } ,{ X < k } , et { X ≤ k } .
Exemple : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.
𝑋(Ω)= {0; 1; 2; 3}.
2. Loi de probabilité d’une VA
Définition : Lorsqu’à chaque valeur 𝑥𝑖 , avec 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, prise par une variable aléatoire 𝑋, on associe la probabilité de l’événement {𝑋 = 𝑥𝑖}, on dit que l’on définit la loi de probabilité de 𝑋.
Exemple : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.
3. Espérance
Définition : Soit une variable aléatoire 𝑋 qui prend les valeurs 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛. L’espérance de 𝑿 est le nombre noté 𝑬(𝑿) défini par :
𝐸(𝑋) = 𝑥1× 𝑃(𝑋 = 𝑥1) + 𝑥2× 𝑃(𝑋 = 𝑥2) + ⋯ + 𝑥𝑛× 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑛).
Remarque1 : On peut simplifier cette formule en utilisant la notation « sigma » qui signifie somme : 𝐸(𝑋) = ∑𝑛 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑖=1 avec 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑝𝑖
signifie « somme pour 𝑖 allant de 1 à 𝑛 ».
𝑃 𝑃
𝐹
𝑃 𝑃
𝐹
𝐹 𝑃 𝑃
𝐹 𝐹
𝑃 𝐹
𝐹
Loi de probabilité de X :
Valeurs 𝑥𝑖 0 1 2 3
Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
1 8
3 8
3 8
1 8
Exercices : n° 20, 16 et 17 page 321 + n° 33 page 322 + n° 53 page 325.
Propriété : 𝑉(𝑋) =∑𝑖=1𝑝𝑖𝑥𝑖²−𝐸(𝑋)²
Définition : On appelle écart-type de 𝑿 le nombre 𝜎(𝑋) défini par 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋).
Remarque 2 : L’espérance mathématique n’est rien d’autre que la moyenne.
Ex : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.
Valeurs 𝑥𝑖 0 1 2 3
Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
1 8
3 8
3 8
1 8
4. Variance et écart-type
Définition : Soit une variable aléatoire 𝑋 qui prend les valeurs 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 avec les probabilités 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛. La variance de 𝑿est le nombre noté 𝑽(𝑿) défini par :
𝑉(𝑋) = (𝑥1− 𝐸(𝑋))2× 𝑝1+ (𝑥2− 𝐸(𝑋))2× 𝑝2+ ⋯ + (𝑥𝑛− 𝐸(𝑋))2× 𝑝𝑛
Remarque 1 : en écriture simplifiée : 𝑉(𝑋)=∑𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖−𝐸(𝑋))²×𝑝𝑖
Remarque 2 : La variance est toujours un nombre positif, carrés et probabilités étant des nombres positifs.
𝑛
La variance permet surtout de calculer l’écart-type. L’écart-type est un indice de dispersion autour de la moyenne. En effet, considérons deux cas simples :
cas 1 : on a trois notes : 9 − 10 − 11 cas 2 : on a trois notes : 0 − 10 − 20
Dans les deux cas, la moyenne est de 10, mais cela ne décrit pas entièrement la situation.
Dans le cas 1, les notes sont très rapprochées de la moyenne ; l’écart-type sera très petit.
Dans le cas 2, les notes sont très éloignées de la moyenne ; l’écart-type sera très grand.
Ex : On lance une pièce de monnaie trois fois de suite et on compte le nombre de « piles » obtenus.
Valeurs 𝑥𝑖 0 1 2 3
Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
1 8
3 8
3 8
1 8 𝐸(𝑋) = 1,5
𝑉(𝑋) = (0 − 1,5)2×1
8+ (1 − 1,5)2×3
8+ (2 − 1,5)2×3
8+ (3 − 1,5)2×1
8= 0,46875 𝜎(𝑋) = √0,4675 ≈ 0,68
Propriétés : Soient 𝑎 et 𝑏 des réels, alors : 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 et 𝑉(𝑎𝑋) = 𝑎²𝑉(𝑋) 𝐸(𝑋) = 0 ×1
8+ 1 ×3
8+ 2 ×3
8+ 3 ×1 8 𝐸(𝑋) = 1,5
En moyenne, on obtient 1,5 piles.