Lois de probabilité à densité
1. Variable aléatoire à densité
Définition. On dit qu’une variable aléatoire est une variable aléatoire à densité s’il existe une fonction à valeurs positives telle que pour tous réels et avec ,
Cette fonction est appelé densité de .
Il résulte de la définition que est positive et que l’aire sous sa courbe est . Une telle fonction est appelée densité.
La probabilité correspond à l’aire sous la courbe entre les abscisses et .
Exemple A
Soit la fonction définie sur par
.
La courbe de est constituée de deux segments et
deux demi-droites. La fonction est visiblement continue et positive et l’aire sous la courbe est égale à .
Par exemple , comme on peut le voir par le calcul suivant : . Calculons . Par la relation de Chasles,
Chacune de ces intégrales se calcule facilement, on arrive à
Remarque. Pour tout réel et toute variable aléatoire de densité , on a . En effet . Ainsi pour tous réels et
et aussi .
Attention, ces égalités sont fausses pour les lois qui ne sont pas à densité, notamment pour la loi binomiale.
Exemple
La fonction définie sur par
est une densité. En effet l’aire sur est nulle et , donc
.
Espérance
Définition. Soit une variable aléatoire de densité sur (c’est-à-dire si ).
Si est de la forme , on appelle espérance de le réel
Si est de la forme , on appelle espérance de le réel
défini par
. Exemple A
La variable aléatoire est à valeur dans . Ainsi
La première intégrale de la somme vaut et la seconde , donc . Le résultat était prévisible car la densité est une fonction paire.
2. Loi uniforme
Définition. Soit et deux réels tels que . Dire qu’une variable aléatoire suit la loi uniforme sur signifie que sa densité est définie par
. Si , on a
. Théorème. L’espérance d’une telle variable aléatoire est
.
Démonstration. Par définition
.
Or une primitive de est donc
Exemple
Suite à un problème sur son ordinateur, Jean décide d’appeler le service après-vente du fabricant. Le temps d’attente , exprimé en minutes, avant d’être en communication avec un technicien suit la loi uniforme sur .
La densité de est définie par
si et par sinon.
La probabilité que Jean attende entre 4 et 9 minutes est
La probabilité que Jean attende moins de minutes est
La probabilité que Jean attende au moins minutes est
Le temps moyen d’attente est
minutes.
Densité d’une variable aléatoire d’une loi exponentielle avec .
3. Loi exponentielle
Définition. Soit un réel strictement positif. Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre si sa densité est la fonction définie sur par
.
Une primitive de étant
, on a pour tous réels et tels que ,
;
;
.
La fonction est clairement positive. Son aire sous la courbe est 1 puisque
Définition. Soit la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d'un individu ou d'un objet. On dit que suit la loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l'individu (ou l'objet) soit vivant (ou fonctionne) à l'instant sachant qu'il est vivant (ou qu'il fonctionne) à l'instant (avec ) ne dépend pas de son âge :
Théorème. Une variable aléatoire suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si elle suit une loi exponentielle.
Démonstration. Si suit une loi exponentielle, on a
. On admet la réciproque.
Théorème. L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre est .
Démonstration (exigible). Soit la fonction définie sur par
. Cette fonction est dérivable et
On en déduit
, d’où
Comme
et
, il vient par composition
. On a également
. Finalement
4. Loi normale centrée réduite
Définition. On dit qu’une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite, notée , lorsque sa densité est donnée par la fonction définie sur par
.
Le fait que la fonction soit continue est positive est clair. En revanche il n’est pas possible de démontrer au lycée que l’aire sous la courbe est égale à , nous l’admettrons. La fonction
n’admet pas de primitives s’exprimant à l’aide de fonctions usuelles.
Théorème. Soit une variable aléatoire suivant la loi normale Alors l’espérance de est et l’écart-type de est .
Étude de la fonction
La densité est dérivable sur de dérivée
,
donc est du signe de – . Il en résulte que est croissante sur et décroissante sur .
De plus pour tout , on a , donc la courbe de est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Cette courbe s’appelle courbe de Gauss.
Usage de la calculatrice
Soit une variable aléatoire suivant une loi .
Puisque la densité de la loi normale tend très rapidement vers , on a
et
.
Le menu Distrib, obtenue en faisant 2nde var, permet d’accéder à la commande normalFRép.
Syntaxe TI Calcul de normalFrép(a,b)
Calcul de normalFrép(b,10^99)
Calcul de normalFrép(-10^99,a)
En Casio, la commande est normCD(a,b) qui s’obtient par « OPTN », « STAT », puis
« DIST ».
Exemple
Soit une variable aléatoire suivante une loi . On a
car est une variable aléatoire à densité.
se calcule par NormalFRép(-1,3).
se calcule par NormalFRép(-10^99,-0.3).
se calcule par NormalFRép(-1,10^99).
Il peut être utile de savoir que les probabilités du type ou peuvent se ramener à des calculs du type grâce aux propriétés du tableau ci-dessous.
Probabilité où où où où
Graphique
Calcul
On peut déterminer le réel tel que où est un réel donné (compris entre et évidemment !). Il faut pour cela utiliser la fonction FracNormale dont la syntaxe est FracNormale(c).
Exemple
Soit une variable aléatoire suivant la loi . Déterminer à
les réels suivants : a. Le réel tel que
b. Le réel tel que Réponse.
a. Le réel s’obtient par FracNormale(0.53), donc
b. On a , donc se calcule par FracNormale(0.7), d’où .
Intervalle centré en de probabilité donnée
Théorème. Soit suivant la loi . Pour tout réel on a les relations suivantes 1. ;
2. .
Démonstration.
1. Cela résulte de la symétrie de la courbe de par rapport à l’axe des ordonnées.
2. Comme , on a,
.
Théorème. Si est une variable aléatoire suivant la loi normale , alors pour tout réel , il existe un unique réel strictement positif tel que .
Démonstration (exigible). Posons
, fonction qui représente l’aire hachurée ci-contre. Elle est dérivable sur et sa dérivée est . Comme pour tout réel , il en résulte que est
strictement croissante sur . On a de plus et
.
On sait que , donc l’équation
du théorème s’écrit . Puisque , on
en déduit . Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction continue et strictement croissante sur montre alors qu’il existe un unique réel tel que .
En pratique se calcule en faisant FracNormale(1-α/2).
Théorème. On a notamment
et
.
FracNormale(0.975) donne la valeur de
et FracNormale(0.995) celle de
.
5. Loi Normale
Définition. Soit un réel et un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire suit la loi normale si et seulement si la variable aléatoire
suit une loi normale centrée réduite. On parle de la loi normale d’espérance et d’écart-type (voir théorème ci- dessous).
Soit la densité de la loi La courbe représentative de est une courbe en cloche, ayant la droite d’équation comme axe de symétrie et d’autant plus « resserrée » autour de cet axe de symétrie que est petit.
et et
Théorème. Soit une variable aléatoire suivant la loi normale Alors l’espérance de est et l’écart-type de est .
Usage de calculatrice
Les commandes à utiliser sont les mêmes que pour la loi en rajoutant et dans les arguments. Si désigne une variable aléatoire suivant une loi :
NormalFRép(a,b,μ,σ) permet de calculer ;
FracNormale(c,μ,σ) permet de déterminer tel que . Comme pour la loi normale centrée réduite, on utilisera les approximations
et
.
En Casio, la commande est normCD(a,b,σ,μ).
Exemple
La distance parcourue par jour ouvré par un technicien en kilomètres suit la loi normale d’espérance et d’écart-type autrement dit cette distance suit la loi . On choisir un jour ouvré au hasard. On note :
l’événement « le technicien parcourt entre 80 et 110 km » ;
l’événement « le technicien parcourt plus de 80 km » ;
l’événement « le technicien parcourt moins de 90 km ».
Calculer , , et .
Réponse. Soit la variable aléatoire qui à un jour associe le nombre de kilomètres parcourus. On a :
;
;
;
.
Propriété de symétrie
Théorème. Soit une variable aléatoire suivant une loi . Alors pour tout réel on a
Cette propriété provient de la symétrie de la courbe de la densité de par rapport à la droite d’équation .
Démonstration. Posons
. On peut écrire
Mais suit la loi et on sait que pour une telle loi, on a pour tout réel . On en déduit donc
En revenant à , il vient
Intervalles à connaître
Théorème. Soit une variable aléatoire suivant une loi .
Démonstration. En posant
on peut écrire
. Comme la variable aléatoire suit une loi ,
Le raisonnement est le même pour et .
Exemple
Soit une variable aléatoire suivant la loi . Déterminons de telle sorte que . On a
Comme
suit la loi , on a donc
, d’où
.
6. Théorème de Moivre-Laplace
Théorème. Soit . On suppose que pour tout entier , la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètre et .
Soit la variable aléatoire définie par
et soit une variable aléatoire suivant la loi .
Pour tous réels et avec , on a
. On peut également écrire
.
On dit que « converge en loi » vers . Autrement dit, la loi binomiale est « très proche » de la loi normale de même espérance et de même variance, . L’idée est donc que si et , alors on a, si est grand,
En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par celle de la loi normale dès que , et .
En fait pour que l’approximation soit la meilleure possible, on procède à la « correction de continuité », car on remplace une loi discrète par une loi continue. Ainsi on écrira
La raison se comprend aisément sur le schéma ci-dessous puisque les deux zones hachurées ont des aires presque égales.
Exemple
On lance 40 fois un dé cubique équilibré et on note la variable aléatoire qui indique le nombre d’apparition d’une face paire. suit la loi binomiale de paramètres et . Comme et , les conditions d’approximation de la loi binomiale par la loi normale sont satisfaites.
On a et , donc suit approximativement la loi normale .
. Soit une variable aléatoire suivant une loi
normale . On a
La commande normalFRép(17.5,25.5,20, 10) renvoie alors environ , à comparer à la valeur exacte qui
Exemple
Une école d’ingénieurs organise un QCM de 100 questions pour son examen. Pour chaque question il y a trois réponses possibles dont une et une seule est exacte.
On aimerait trouver un entier tel que si un candidat a au moins réponses justes, il y a moins de 5 % de chances que toutes les réponses soient dues au hasard.
Soit la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes par un candidat répondant à toutes les questions au hasard. Il s’agit de trouver un entier tel que
ou .
suit la loi binomiale de paramètre et . Les conditions d’approximation par la loi normale sont vérifiées ; on a
et
. Soit une variable suivant la loi
. On peut écrire
ou encore si l’on désigne par une variable aléatoire suivant la loi ,
Comme , on doit avoir
