Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle

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Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle

Soit(Ω, 𝒜, ℙ)un espace probabilisé, où𝒜est une tribu surΩetℙune probabilité sur(Ω, 𝒜).

Toutes les variables aléatoires sont discrètes, à valeurs réelles ou complexes, définies sur(Ω, 𝒜).

Si la variable aléatoire𝑋 : Ω → ℝest d’espérance finie, on note𝔼(𝑋)son espérance.

Pour tout nombre complexe𝑧, on noteRe(𝑧)sa partie réelle,Im(𝑧)sa partie imaginaire et𝑧¯son conjugué.

On appellesinus cardinalla fonction définie, pour tout réel𝑥, parsinc(𝑥) =

⎧{

⎨{

⎩ sin 𝑥

𝑥 si𝑥 ≠ 0, 1 si𝑥 = 0.

On admet que cette fonction est continue et que pour tout réel𝑥,|sinc(𝑥)| ⩽ 1.

On étend aux variables aléatoires discrètes à valeurs complexes la notion d’espérance définie pour les variables aléatoires discrètes réelles. Ainsi, on dit qu’une variable aléatoire discrète à valeurs complexes 𝑍 : Ω → ℂ est d’espérance finiesi les variables aléatoires réellesRe(𝑍) et Im(𝑍)sont d’espérance finie et on définit alors l’espérance de𝑍par

𝔼(𝑍) = 𝔼(Re(𝑍)) + i 𝔼(Im(𝑍)).

On admettra les résultats suivants qui étendent aux variables aléatoires complexes les résultats analogues sur les variables aléatoires réelles.

— Toute variable aléatoire 𝑍complexe finie est d’espérance finie. Si 𝑍(Ω) = {𝑧₁, …, 𝑧_𝑟}, où les𝑧_𝑖 sont deux à deux distincts, alors

𝔼(𝑍) =

𝑟

∑

𝑘=1

𝑧_𝑘ℙ(𝑍 = 𝑧_𝑘).

— Théorème du transfert(cas𝑋(Ω)fini). Soit𝑋une variable aléatoire réelle d’image finie𝑋(Ω) = {𝑥₁, …, 𝑥_𝑟} où les 𝑥_𝑖 sont deux à deux distincts et soit 𝑓une application à valeurs complexes définie sur𝑋(Ω).

Alors𝑓(𝑋) est d’espérance finie et

𝔼(𝑓(𝑋)) =

𝑟

∑

𝑘=1

ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑘)𝑓(𝑥_𝑘).

— Soit 𝑍 une variable aléatoire complexe telle que 𝑍(Ω) soit dénombrable égal à {𝑧_𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} où les 𝑧_𝑛 sont deux à deux distincts. Alors 𝑍 est d’espérance finie si, et seulement si, la série ∑

𝑛⩾0

𝑧_𝑛ℙ(𝑍 = 𝑧_𝑛) converge absolument. Dans ce cas,

𝔼(𝑍) =

+∞

∑

𝑛=0

𝑧_𝑛ℙ(𝑍 = 𝑧_𝑛).

— Théorème du transfert (cas𝑋(Ω) dénombrable). Soit𝑋 une variable aléatoire réelle d’image dénombrable 𝑋(Ω) = {𝑥_𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} où les 𝑥_𝑛 sont deux à deux distincts et soit 𝑓 une application à valeurs complexes définie sur 𝑋(Ω).

Alors𝑓(𝑋)est d’espérance finie si, et seulement si, la série∑

𝑛⩾0

ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑛)𝑓(𝑥_𝑛)converge absolument. Dans ce cas,

𝔼(𝑓(𝑋)) =

+∞

∑

𝑛=0

ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑛)𝑓(𝑥_𝑛).

— Soit𝑍une variable aléatoire complexe et 𝑍 : 𝜔 ∈ Ω ↦ 𝑍(𝜔)¯ sa variable aléatoire conjuguée.

Si 𝑍est d’espérance finie, alors𝑍¯est d’espérance finie et𝔼( ¯𝑍) = 𝔼(𝑍).

— Soit𝑍₁ et 𝑍₂deux variables aléatoires complexes d’espérance finie et soit𝜆 ∈ ℂ.

Alors𝑍₁+ 𝑍₂ et𝜆𝑍₁ sont d’espérance finie et𝔼(𝑍₁+ 𝑍₂) = 𝔼(𝑍₁) + 𝔼(𝑍₂)et 𝔼(𝜆𝑍₁) = 𝜆𝔼(𝑍₁).

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I Fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle

À toute variable aléatoire réelle discrète𝑋 : Ω → ℝ, on associe une fonction𝜙_𝑋, appeléefonction caractéristique de𝑋et définie par

∀𝑡 ∈ ℝ, 𝜙_𝑋(𝑡) = 𝔼 (e^{i 𝑡𝑋}) . I.A – Premières propriétés

Dans cette sous-partie,𝑋 est une variable aléatoire réelle discrète.

Q 1. On suppose, dans cette question, que𝑋(Ω)est un ensemble fini de cardinal 𝑟 ∈ ℕ^∗.

On note𝑋(Ω) = {𝑥₁, …, 𝑥_𝑟}où les𝑥_𝑖sont deux à deux distincts, et, pour tout entier𝑘 ∈ ⟦1, 𝑟⟧,𝑎_𝑘= ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑘).

Montrer que, pour tout réel𝑡, 𝜙_𝑋(𝑡) =

𝑟

∑

𝑘=1

𝑎_𝑘e^{i 𝑡𝑥𝑘}.

Q 2. On suppose dans cette question que𝑋(Ω)est un ensemble dénombrable. On note𝑋(Ω) = {𝑥_𝑛, 𝑛 ∈ ℕ}

où les𝑥_𝑛 sont deux à deux distincts. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on pose𝑎_𝑛= ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑛).

Montrer que𝜙_𝑋 est définie surℝet que, pour tout réel𝑡,𝜙_𝑋(𝑡) =

+∞

∑

𝑛=0

𝑎_𝑛e^{i 𝑡𝑥𝑛}. Q 3. Montrer que𝜙_𝑋est continue surℝ.

Q 4. Soit𝑎et 𝑏deux réels et𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏. Pour tout réel𝑡, exprimer𝜙_𝑌(𝑡)en fonction de𝜙_𝑋, 𝑡,𝑎et𝑏. Q 5. Soit𝑡 ∈ ℝ. Donner une expression de𝜙_𝑋(−𝑡)en fonction de𝜙_𝑋(𝑡). En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur l’image𝜙_𝑋(ℝ)pour que la fonction𝜙_𝑋 soit paire.

I.B – Trois exemples

Q 6. Soit𝑛 ∈ ℕ^∗et𝑝 ∈ ]0, 1[. On suppose que𝑋 : Ω → ℝsuit une loi binomialeℬ(𝑛, 𝑝)et on note𝑞 = 1 − 𝑝. Montrer que, pour tout𝑡 ∈ ℝ,𝜙_𝑋(𝑡) = (𝑞 + 𝑝e^{i 𝑡})^𝑛.

Q 7. Soit𝑝 ∈ ]0, 1[. Quelle est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre𝑝?

Q 8. Soit𝜆 > 0. Quelle est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre𝜆?

I.C – Image de 𝜙_𝑋

On se donne ici une variable aléatoire réelle discrète𝑋 : Ω → ℝ, dont on note𝜙_𝑋la fonction caractéristique.

Pour tout(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ²,𝑎 + 𝑏ℤdésigne l’ensemble{𝑎 + 𝑏𝑘, 𝑘 ∈ ℤ}.

Q 9. Montrer que pour tout𝑡 ∈ ℝ,|𝜙_𝑋(𝑡)| ⩽ 1.

Q 10. Montrer que, s’il existe𝑎 ∈ ℝet𝑡₀∈ ℝ^∗ tels que 𝑋(Ω) ⊂ 𝑎 +2𝜋

𝑡₀ℤ, alors|𝜙_𝑋(𝑡₀)| = 1. On suppose réciproquement qu’il existe𝑡₀∈ ℝ^∗ tel que|𝜙_𝑋(𝑡₀)| = 1.

Dans la suite de cette sous-partie I.C, on suppose de plus que𝑋(Ω)est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.

Q 11. Montrer qu’il existe𝑎 ∈ ℝtel que

+∞

∑

𝑛=0

𝑎_𝑛exp(i(𝑡₀𝑥_𝑛− 𝑡₀𝑎)) = 1.

Q 12. En déduire que

+∞

∑

𝑛=0

𝑎_𝑛(1 − cos(𝑡₀𝑥_𝑛− 𝑡₀𝑎)) = 0.

Q 13. Montrer que pour tout𝑛 ∈ ℕ, si 𝑎_𝑛≠ 0, alors𝑥_𝑛∈ 𝑎 +2𝜋 𝑡₀ℤ.

Q 14. En déduire queℙ (𝑋 ∈ 𝑎 + 2𝜋

𝑡₀ℤ) = 1.

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II Fonction caractéristique et loi d’une variable aléatoire

L’objectif de cette partie est de montrer que la fonction caractéristique d’une variable aléatoire détermine sa loi.

Deux méthodes de démonstration sont proposées.

II.A – Première méthode

Soit𝑋une variable aléatoire réelle et discrète et𝑚 ∈ ℝ.

Pour𝑇 ∈ ℝ^∗₊, on pose𝑉_𝑚(𝑇 ) = 1 2𝑇

𝑇

∫

−𝑇

𝜙_𝑋(𝑡) e^−i𝑚𝑡d𝑡.

II.A.1) On suppose que𝑋(Ω)est fini et on reprend les notations de la question 1.

Q 15. Montrer que, pour tout𝑇 ∈ ℝ^∗₊, on a 𝑉_𝑚(𝑇 ) =

𝑟

∑

𝑛=1

sinc(𝑇 (𝑥_𝑛− 𝑚))ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑛).

Q 16. En déduire que𝑉_𝑚(𝑇 ) →→→→→→→→→→→→

𝑇 → +∞ ℙ(𝑋 = 𝑚).

II.A.2) On suppose que𝑋(Ω)est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.

Pour𝑛 ∈ ℕet ℎ ∈ ℝ^∗₊, on pose𝑔_𝑛(ℎ) = sinc (𝑥_𝑛− 𝑚

ℎ ) ℙ(𝑋 = 𝑥_𝑛). Q 17. Montrer que pour tout𝑇 ∈ ℝ^∗₊, on a 𝑉_𝑚(𝑇 ) =

+∞

∑

𝑛=0

𝑔_𝑛(1 𝑇).

Q 18. Montrer que la fonction𝑔_𝑛 se prolonge en une fonction𝑔_𝑛̃ définie et continue surℝ⁺. Q 19. Montrer que la fonction𝐺 =

+∞

∑

𝑛=0

̃

𝑔_𝑛 est définie et continue surℝ⁺. Q 20. Établir que𝑉_𝑚(𝑇 ) →→→→→→→→→→→→

𝑇 → +∞ ℙ(𝑋 = 𝑚).

II.A.3) Application

Q 21. Soient𝑋 : Ω → ℝet 𝑌 : Ω → ℝ deux variables aléatoires discrètes telles que𝜙_𝑋 = 𝜙_𝑌. Montrer que, pour tout𝑚 ∈ ℝ,ℙ(𝑋 = 𝑚) = ℙ(𝑌 = 𝑚), autrement dit que𝑋et 𝑌ont la même loi.

II.B – Deuxième méthode

Si𝑎et𝑏sont deux réels, on note𝐾_𝑎,𝑏la fonction définie pour tout réel𝑡par𝐾_𝑎,𝑏(𝑡) =

⎧{

⎨{

⎩

e^{i 𝑡𝑏}− e^{i 𝑡𝑎}

2 i 𝑡 si𝑡 ≠ 0, 𝑏 − 𝑎

2 si𝑡 = 0.

Q 22. À l’aide de séries entières, montrer que𝐾_𝑎,𝑏 est de classe𝐶^∞ surℝ. Soit𝑁un entier naturel et soit𝐹_𝑁 la fonction définie, pour tout réel𝑥, par𝐹_𝑁(𝑥) =

𝑁

∫

−𝑁

𝐾_𝑎,𝑥(𝑡) d𝑡.

Q 23. Montrer que𝐹_𝑁 est de classe𝐶¹ surℝet que, pour tout réel𝑥, 𝐹 ′_𝑁(𝑥) = 𝑁 sinc(𝑁 𝑥).

Q 24. Montrer que

𝑁

∫

−𝑁

𝐾_𝑎,𝑏(𝑡) d𝑡 =

𝑁𝑏

∫

𝑁𝑎

sinc(𝑠) d𝑠.

Q 25. Montrer que l’intégrale

+∞

∫

0

sinc(𝑠) d𝑠est convergente.

On admettra dans la suite que

+∞

∫

0

sinc(𝑠) d𝑠 = 𝜋 2. Q 26. En déduire l’existence et la valeur de lim

𝑁→+∞

𝑁

∫

−𝑁

𝐾_𝑎,𝑏(𝑡) d𝑡dans le cas où𝑎 < 𝑏.

Q 27. Soit 𝑋 : Ω → ℝ une variable aléatoire telle que 𝑋(Ω) est fini. On suppose que les réels 𝑎 et 𝑏 n’appartiennent pas à𝑋(Ω). Montrer que

1 𝜋

𝑁

∫

−𝑁

𝜙_𝑋(−𝑡)𝐾_𝑎,𝑏(𝑡) d𝑡 →→→→→→→→→→→→

𝑁 → +∞ ℙ(𝑎 < 𝑋 < 𝑏).

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III Régularité de 𝜙_𝑋

On fixe dans cette partie une variable aléatoire réelle𝑋 : Ω → ℝ, dont l’image𝑋(Ω)est un ensemble dénombrable et on reprend les notations de la question 2.

On cherche à établir des liens entre des propriétés de la loi de𝑋 et la régularité de𝜙_𝑋.

Pour tout𝑘 ∈ ℕ^∗, on dit que𝑋admet un moment d’ordre 𝑘si la variable aléatoire 𝑋^𝑘 est d’espérance finie.

III.A –

Soit𝑘 ∈ ℕ^∗. On suppose dans cette sous-partie III.A que𝑋 admet un moment d’ordre𝑘.

Q 28. Soit𝑗un entier tel que1 ⩽ 𝑗 ⩽ 𝑘. Montrer que pour tout réel𝑥,|𝑥|^𝑗⩽ 1 + |𝑥|^𝑘 et en déduire que 𝑋 admet un moment d’ordre𝑗.

Q 29. En déduire que𝜙_𝑋 est de classe𝐶^𝑘 surℝet donner une expression de la dérivée𝑘−ième de𝜙_𝑋. Q 30. En déduire une expression de𝔼(𝑋^𝑘)en fonction de𝜙^(𝑘)_𝑋(0).

III.B –

On suppose dans cette sous-partie III.B que𝜙_𝑋est de classe𝐶² surℝ.

Q 31. On note𝑓 la fonction qui à tout réel ℎ > 0associe𝑓(ℎ) = 2𝜙_𝑋(0) − 𝜙_𝑋(2ℎ) − 𝜙_𝑋(−2ℎ)

4ℎ² . Quelle est

la limite de𝑓en0?

Q 32. Montrer que pour toutℎ ∈ ℝ^∗,𝑓(ℎ) =

+∞

∑

𝑛=0

𝑎_𝑛sin²(ℎ𝑥_𝑛) ℎ² . Q 33. En déduire que𝑋 admet un moment d’ordre2.

III.C –

On fixe dans cette sous-partie III.C un entier naturel𝑘 ∈ ℕet on suppose à la fois que𝜙_𝑋 est de classe𝐶^2𝑘+2 surℝet que𝑋admet un moment d’ordre 2𝑘. On note𝛼 = 𝔼(𝑋^2𝑘).

Q 34. Que peut-on dire de𝑋 si𝛼est nul ?

On suppose dorénavant que le réel𝛼est strictement positif.

Q 35. Soit𝑌 : Ω → ℝune variable aléatoire vérifiant 𝑌 (Ω) = 𝑋(Ω)et, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, ℙ(𝑌 = 𝑥_𝑛) =𝑎_𝑛𝑥^2𝑘_𝑛

𝛼 . Montrer que𝜙_𝑌 est de classe𝐶² surℝ.

Q 36. En déduire que𝑋 admet un moment d’ordre2𝑘 + 2.

Q 37. Soit𝑘 ∈ ℕ^∗. Déduire des questions précédentes que si𝜙_𝑋 est de classe𝐶^2𝑘 surℝ, alors 𝑋admet un moment d’ordre2𝑘.

IV Développement en série entière de 𝜙_𝑋

Soit𝑋 : Ω → ℝune variable aléatoire réelle.

IV.A –

On suppose que𝑋(Ω)est fini et on reprend les notations de la question 1.

Q 38. Montrer que𝜙_𝑋est développable en série entière surℝet, pour tout réel𝑡, 𝜙_𝑋(𝑡) =

+∞

∑

𝑛=0

(i 𝑡)^𝑛 𝑛! 𝔼(𝑋^𝑛). IV.B –

On suppose que𝑋(Ω)est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.

On suppose également que, pour tout entier𝑛 ∈ ℕ,𝑋admet un moment d’ordre𝑛et qu’il existe un réel𝑅 > 0 tel que

𝔼(|𝑋|^𝑛) = 𝑂 (𝑛^𝑛

𝑅^𝑛) quand 𝑛 → +∞.

Q 39. Montrer que pour tout𝑛 ∈ ℕet tout𝑦 ∈ ℝ,∣e^i𝑦−

𝑛

∑

𝑘=0

(i𝑦)^𝑘

𝑘! ∣ ⩽ |𝑦|^𝑛+1 (𝑛 + 1)!. Q 40. En déduire que pour tout réel𝑡 ∈ [−𝑅

e,𝑅 e], 𝜙_𝑋(𝑡) =

+∞

∑

𝑘=0

(i𝑡)^𝑘

𝑘! 𝔼(𝑋^𝑘).

• • •FIN • • •