L51 [V2-VàC] – Croissance comparée des fonctions réelles

9

Croissance comparée des fonctions

réelles x 7→ e

x

, x 7→ x

n

et x 7→ ln x

51

Leçon

n°

Niveau Terminale S

Prérequis fonctions exponentielles et logarithmes, théorème des gendarmes.

Références [149], [150]

51.1

Introduction

51.1.1 Rappel sur les formes indéterminées

Propriété 51.1 Les formes indéterminées sont de quatre types : 1. du type ∞ − ∞

2. du type0 × ∞ 3. du type ∞

∞

4. du type 0₀

51.1.2 Croissance comparée, à quoi ça sert ?

Les croissances comparées permettent de lever ce genre d’indétermination. Elles interviennent quand on calcule une limite :

— d’un rapport ou un produit d’une fonction puissance et un logarithme ; — d’un rapport ou un produit d’une fonction puissance et une exponentielle.

On établit donc un « rapport de force » entre ces classes de fonctions. On va dire qu’une classe de fonction tend plus au moins rapidement vers l’infini qu’une autre classe de fonction. Du plus fort au plus faible, on a :

— exponentielles ; — puissances ; — logarithmes.

Cela se voit encore mieux sur un graphique (voir la figure51.1).

51.2

Croissance comparée des fonctions puissances et logarithmes

Théorème 51.2 1. lim x→+∞ ln x x = 0. 2. lim x→+∞ ln x xn = 0, (pour tout n ∈ N∗). 3. lim x→0+xln x = 0

O

FIGURE51.1 – Croissances comparées

4.

lim

x→0+x

n_{ln x = 0, (pour tout n ∈ N∗).}

Dv

•Démonstration du théorème51.2—On peut écrire, pour tout x >0 : ln √x < √x : 1

2ln x < √x et pour x >1, on a :

0 < ln x < 2√x ⇔ 0 < ln x_x <√2_x.

Commelimx→+∞√2x = 0, on a, d’après le théorème des gendarmes :

lim

x→+∞ ln x

x = 0.

On en déduit, comme simple conséquence que pour n ≥ 2 : lim x→+∞ ln x xn = lim_x→+∞ 1 xn−1 ln x x = 0

car limx→+∞xn1−1 = 0 et limx→+∞ ln xx = 0. On établit maintenant la limite suivante à

l’aide du changement de variable du type X = 1

x: lim x→0+xln x = limX→+∞ 1 X ln  1 X  = lim X→+∞  −ln X_X  = 0

51.2 Croissance comparée des fonctions puissances et logarithmes 11 d’après ce qui précède. On en déduit, comme simple conséquence que pour n ≥ 2 :

lim

x→0+x

n_{ln x = lim} x→0+x

n−1_{xln x = 0}

carlimx→0+xn−1 = 0 et limx→0+xln x = 0. Enfin, pour la dernière limite, on reconnaît l’accroissement moyen de la fonctionln en x0= 1 La limite est donc égale au nombre dérivé de la fonctionln en x0soit x01 : lim x→1 ln x x− 1 = limx→1 ln x − ln 1 x− 1 = ln 0_{(1) =}1 1 = 1. •

Corollaire 51.3 Pour toute fonction polynôme P de degré supérieur ou égal à1, on a : lim

x→+∞

ln x

P(x) = 0.

Dv

•Démonstration du corollaire51.3—Soit n ∈ N∗_{le degré de P . Notons P}(x) = Pn p=0apxp

(avec an 6= 0). Comme la limite en +∞ d’une fonction polynôme P est égale à la limite de

son terme de plus haut degré, nous avons lim x→+∞ ln x P(x) = limx→+∞ ln x anxn = 0 puisquelimx→+∞ln xxn = 0. •

Exemples 51.4 1. On veut étudier la limite suivante :

lim x→+∞ ln(x + 1) x . On a : ln(x + 1) x = ln(x + 1) x+ 1 × x+ 1 x . Or,limx→+∞ x+1x = 1 et lim x→+∞ ln(x + 1) x+ 1 = limX→+∞ ln X X = 0

D’où par produit,

lim

x→+∞

ln(x + 1)

x = 0.

2. On veut étudier la limite suivante :

lim

x→+∞

ln x √

x.

En remarquant que x= (√x)2_{, nous avons :}

ln x √

x =

2 ln √x

En posant X = √x (X → +∞), nous obtenons : lim x→+∞ ln x √ x = limx→+∞ 2 ln √x √ x = limX→+∞2 ln X X = 0.

Par un raisonnement analogue, on peut montrer que : lim

x→0+

√

xln x = 0.



51.3

Croissance comparée des fonctions puissances et exponentielles

Propriété 51.5— Limites fondamentales. 1. limx→+∞ e

x

x = +∞,

2. limx→−∞xex = 0. Dv

•Démonstration de la propriété51.5—On a vu que, pour tout x,ex_{≥ x. Donc, pour tout}

x,ex/2_≥x

2 et, pour tout x ≥ 0,

(ex/2₎2 ≥ x₂2, soitex ≥ x2 4. Or,limx→+∞x 2

4 = +∞. D’après un des « théorèmes des gendarmes », on obtient lim x→+∞ ex x = +∞. On a xex₌ x e−x. En posant X= −x, on a xex= −_eXX. Or lim X→+∞ eX X = +∞ donc lim X→+∞ X eX = 0

et, par suite,limx→−∞xex= 0. •

Conséquence 51.6 Pour tout nombre entier n strictement positif : 1. limx→+∞ e x xn = +∞. 2. limx→−∞xnex= 0. Dv •Démonstration de la conséquence51.6— 1. Commeex_{>0 :} ex xn =  ex/n x n

51.4 D’autres exemples 13 soit ex xn =  ex/n nx n n . Orlimx→+∞e X X = +∞ donc lim x→+∞ ex/n x/n = +∞.

En composant avec la fonction puissance, on obtient : lim x→+∞  ex/n nx_n n = +∞ d’où lim x→+∞ ex xn = +∞. 2. On pose x= −X, xnex= (−X)ne−X_{, soit x}nex= (−1)n Xn ex. Donc : lim x→−∞x n_ex_{= lim} X→+∞(−1) nXn eX.

On vient de montrer quelimx→+∞ e

x xn = +∞, donc lim X→+∞(−1) nXn eX = 0. D’où :limx→−∞xnex= 0. • Exemples 51.7 1. Soit f : x 7→ _xe10x , lim x→+∞f(x) = +∞. 2. Soit g: x 7→ x1000_ex_, lim x→−∞g(x) = 0. 

R 51.8 Pour les limites en+∞ et et en −∞, on retiendra que « exp l’emporte sur x ».

51.4

D’autres exemples

Exemples 51.9 1. Soit à calculer

lim

x→+∞e

x_{+ x}2_{+ 1.}

Ici, nous n’avons pas besoin des croissances comparées pour déterminer la limite car : lim x→+∞e x_{= +∞ et lim} x→+∞x 2_{= +∞} et donc lim x→+∞e x_{+ x}2_{+ 1 = +∞.}

2. Soit à calculer

lim

x→+∞e

x_{− x}2_.

Ici, on tombe sur une forme indéterminée du type ∞ − ∞. On remarque alors que : ex_{− x}2 _{= e}x _{1 −}x2

ex

!

Or, par croissances comparées,limx→+∞ x

2 ex = 0, ainsi lim x→+∞e x_{− x}2_{= +∞.} 3. Soit à calculer lim x→+∞ln(x) − x 2_{+ 2x + 1.}

Ici, on tombe sur une forme indéterminée du type ∞ − ∞. On remarque alors que : ln(x) − x2_{+ 2x + 1 = x}2ln(x) x2 − 1 + 2 x + 1 x2  .

Or, par croissances comparées,limx→+∞ ln(x)x2 = 0 donc

lim x→+∞ln(x) − x 2_{+ 2x + 1 = −∞.} 4. Soit à calculer lim x→0− 1 x2e 1/x_.

On rencontre donc une forme indéterminée du type+∞ × 0. On pose u = 1

x, on a donc 1 x2e 1/x _{= u}2_eu_. On a lim x→0− 1 x = −∞

et, par croissances comparées,limu→−∞u2eu = 0. Donc, par composition :

lim x→0− 1 x2e 1/x _{= 0.} 

51.5

Applications

51.5.1 Branches infinies des courbes des fonctionsln et exp

Propriété 51.10 Dans le plan muni d’un repère(O, #»ı, #»), les courbes représentatives des fonctions ln et exp admettent des branches paraboliques de directions respectives (O, #»ı) et (O, #»).

51.5 Applications 15

Dv

•Démonstration de la propriété51.10—En effet, lim x→+∞ ln x x = 0 et x→+∞lim ex x = +∞. • 51.5.2 Détermination de limites

Exemples 51.11 1. Soit à calculer

lim

x→0+x

x_.

Comme x >0, on peut écrire :

xx = exln x

Or, par croissances comparées :

lim

x→0+xln x = 0.

Donc, par composition

lim x→0+x x_{= 1.} 2. Soit à calculer lim x→+∞(ln x) (ln x)−α , avec α >0. On a tout d’abord : ln(x)−α_{= e}−α ln(ln(x)) et ainsi : (ln(x))(ln x)−α = ee−α ln(ln(x))_ln(ln(x)) Or, pour α >0, lim x→+∞−α ln ln(x) = −∞ et x→+∞lim ln(ln(x)) = +∞

mais par croissances comparées, « l’exponentielle l’emporte sur le logarithme » donc : lim x→+∞e −α ln(ln(x))_{ln(ln(x)) = 0} et par composition lim x→+∞(ln(x)) (ln(x))−α = 1. 3. On considère la fonction définie sur[0 , 1] par :

f(x) =        exp 1 ln(x)  si0 < x < 1 1 si x= 0 0 si x= 1

On veut étudier la dérivabilité de f en0 et 1. On a : lim x→0+ 1 ln(x) = 0, d’où lim x→+∞exp  ₁ ln x  = 1 et lim x→1− 1 ln x = −∞, d’où lim x→1−exp  ₁ ln x  = 0.

Donc f est continue sur[0 , 1], de plus elle est dérivable sur ]0 , 1[ avec :

f0(x) = −1 x(ln x)2 exp  ₁ ln x  . Ainsi, lim x→0+f 0_{(x) = −∞,}

donc f est non dérivable en0. Puisque limx→1− _{ln x}1 = −∞ alors,

lim x→1− −1 (ln x)2 exp  ₁ ln x  = 0 d’oùlimx→1−f0(x) = 0, elle est donc dérivable à gauche en 1.



51.5.3 Une intégrale convergente

On considère l’intégrale (dépendant de x) :

ϕ(h) := Z h

1 t

x−1_e−t_dt.

On montre que ϕ admet une limite finie en+∞. Pour tout réel x fixé, t 7→ tx−1_e−t_{est équivalent en}

+∞ à t 7→ 1

t2. On en déduit qu’il existe un réel A >1 tel que pour tout h > A on ait

0 ≤ ϕ(h) ≤Z h A tx−1e−tdt ≤ Z h A 1 t2 dt = − 1 h + 1 A ≤ 1 A.

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