L66 [V2-VàC] – Exemples d’utilisation d’un tableur

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Exemples d’utilisation d’un tableur

66

Leçon

n°

Niveau Tous niveaux

Prérequis utilisation du tableur, statistiques, étude d’une fonction, suites, pgcd, arithmétique Références [174], [175], [176]

66.1

Le tableur pour les collégiens

66.1.1 Une enquête auprès des 5e

Un professeur de mathématiques fait une enquête dans son collège qui comporte 520 élèves. Il interroge les cinquièmes qui sont en nombre de 180.

1. Quel est la population étudiée ? La population est les élèves de 5e_.

2. Quel est l’effectif total ? L’effectif total est de 180. Voici maintenant les résultats de l’enquête :

Matières Effectif Français 4 Histoire-Géo 12 Anglais 3 Mathématiques 25 Sciences Phy 25 SVT 11 Arts Plastiques 20 Musique 30 Sports 50 Total 180

1. Regrouper les données sur un tableur. Pour répondre à cette question, il faut se servir du tableur. On met dans une colonne les matières et dans une autre les sous-effectifs.

A1 : Matieres B1 : Effectif A2 : Francais B2 : 4 A3 : Histoire Geo B3 : 12 A4 : Anglais B4 : 3 A5 : Mathematiques B5 : 25 A6 : Sciences Phy B6 : 25 A7 : SVT B7 : 11 A8 : Arts Plastiques

B8 : 20 A9 : Musique B9 : 30 A10 : Sports B10 : 50 A11 : Total B11 : SOMME(B2:B10)

FIGURE66.1 – Tableau des résultats sur OpenOffice.org Calc 2. Combien d’élèves aiment le français ? 4.

3. Quelle est la matière préférée des cinquièmes ? Les Sports.

4. Combien d’élèves aiment les matières scientifiques (Mathématiques, Sciences Physiques, SVT) ? 25 + 25 + 11 = 61.

5. Faire un histogramme des données. Pour cela, il faut sélectionner le tableau avec les effec-tifs mais sans le total. Ensuite, on va dans les menus Insertion > Diagramme et on sélectionne Colonne. Normalement, le logiciel nous livre l’histogramme.

66.1 Le tableur pour les collégiens 11

66.1.2 Algorithme d’Euclide

L’algorithme d’Euclide permet de calculer lePGCD de deux nombres.

Théorème 66.1 — Théorème d’Euclide. Soient a et b deux entiers naturels non nuls. La suite des divisions euclidiennes : — de a par b : a= bq0+ r0, — de b par r0(si r0 6= 0) : b = r0q1+ r1 — de r0par r1 (si r1 6= 0) : r0 = r1q2+ r2 — · · · — de rn−1par rn(si rn6= 0) : rn−1 = rnqn+1+ rn+1.

Fini par s’arrêter, un des restes ri étant nul. Le dernier reste non nul est alors le PGCD(a, b) (si

r₀ = 0 alors PGCD(a, b) = b).

On peut calculer lePGCD de deux nombres grâce à un tableur. Par exemple, on veut calculer le PGCD de 250 et 110. Pour cela, on suit les instructions suivantes :

A1 : 250 B1 : 110

C1 : MOD(250;110) A2 : =B1

B2 : =C1

On fait glisser (déplacer le petit carré en bas à droite de la cellule) la case C1 sur les cases C2—C5, puis on fait glisser la case A2 sur les cases A3—A5 et la case B2 sur les cases B3—B5. On supprime les cases marquées #VALEUR ! en C5 et les cases B5 et A5.

FIGURE66.3 – Algorithme d’Euclide sur OpenOffice.org Calc

Ainsi, on obtient quePGCD(250, 110) = 10 (lire la dernière case non nulle de la colonne C).

66.1.3 Les lapins de Fibonacci

On considère, quand t= 0, un couple A de jeunes lapins. Le mois suivant (t = 1), les deux lapins sont adultes, le couple est appelé B. A t = 2, deux jeunes lapins naissent et on a deux couples B et

A. Pour chaque mois suivant, chaque couple A devient B et chaque B devient BA. Les couples sont,

successivement, A, B, BA, BAB, BABBA, BABBABAB etc. Les nombres de couples de lapins sont

1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . .

Définition 66.2 — Nombres de Fibonacci. Ces nombres sont appelés les nombres de Fibonacci On construit ainsi la suite F telle que F0 = 0 et F1 = 1 et pour tout entier naturel n, Fn+2 =

Définition 66.3 — Suite de Fibonacci. La suite(Fn) définie par :        F₀ = 0 F1 = 1 Fn+2 = Fn+1+ Fn

est appelé suite de Fibonacci. Les termes de la suite sont les nombres de Fibonacci. On peut représenter ce problème sur un tableur.

A1 : 0 B1 : 1 C1 : =A1+B1 A2 : =B1 B2 : =C1

On fait ensuite glisser la cellule C1 sur la cellule C2 puis on fait glisser les cellules A2-B2-C2 (en-semble !) jusqu’aux cellules AX-BX-CX où X est un nombre entier que l’on veut. La colonne C nous donne les premiers nombres de Fibonacci.

FIGURE66.4 – Nombres de Fibonacci dans un tableur OpenOffice.org Calc

66.2

Le tableur pour les lycéens

66.2.1 Suite de Syracuse

Soit a un nombre entier. La suite de Syracuse associée à l’entier a est définie par :

u₀ = a,

(

un+1= u₂n

un+1= 3un+ 1

, _{∀n ≥ 0.}

La conjecture de Syracuse (qui n’a pas encore été démontré à ce jour) prévoit que, quelle que soit la valeur de a, la suite soit périodique de période3 (qu’on appelle séquence 4, 2, 1) à partir d’un certain rang.

Grâce à un tableur, on peut donner les premiers termes de la suite de Syracuse associée à a= 250. A1 : 250

66.2 Le tableur pour les lycéens 13

Puis on fait glisser la cellule A2 vers la cellule AX où X est un nombre entier que l’on veut (voir la figure66.5).

FIGURE66.5 – Les premiers termes de la suite de Syracuse associée à a= 250 calculés par le tableur OpenOffice.org Calc

On veut maintenant la courbe représentative de la suite, c’est-à-dire en abscisse, le numéro du terme et en ordonnées, la valeur du terme. On utilise toujours le tableur. On fait glisser la colonne des termes de la suite jusqu’à ce qu’on obtienne1. On sélectionne ensuite la colonne entière des termes et on clique sur Insertion > Diagramme. On construit un diagramme Ligne. Le logiciel propose un graphique avec ou sans relier les points. On choisit le graphique où on a relié les points (voir la figure66.6).

FIGURE66.6 – Courbe représentative de la suite de Syracuse associée à a= 250

Ce n’est pas terminé ! On nous demande maintenant quel est le maximum de la suite de Syracuse associée à a= 250 et de le placer dans la cellule D2 (voir la figure66.7).

C2 : Maximum : D2 : =MAX(A1:A110)

FIGURE66.7 – Maximum de la suite de Syracuse associée à a= 250 calculée par le tableur OpenOf-fice.org Calc

66.2.2 Tableau de valeurs et courbe de fonction

On veut donner le tableau de valeurs de la fonction f : x 7→ x2_{. On va, pour cela, utiliser un}

tableur. Sur la première ligne, on met les valeurs de 0.5 à 0.5 en partant de -5 à 5. A1 : -5 B1 : -4,5 ... T1 : 4,5 U1 : 5 A2 : A1^2

puis on fait glisser la cellule A2 jusqu’à la cellule U2 et on obtient le tableau de valeurs de f.

FIGURE66.8 – Tableau de valeurs de la fonction f : x 7→ x2

Ensuite, on veut tracer la courbe représentative de la fonction f : x 7→ x2_{sur l’intervalle[−5 , 5].}

On utilise le tableau de valeurs qu’on a construit précédemment. On sélectionne le tableau entier puis on va construire un graphique (Insertion > Diagramme). On sélectionne le graphique Ligne et l’option « Lignes lisses ». Dans l’onglet « Plage de données », il faut sélectionner l’option « Séries en données en lignes » et « Première ligne comme étiquette ».

66.3 Le tableur pour les techniciens supérieurs 15

66.3

Le tableur pour les techniciens supérieurs

66.3.1 Régression linéaire

Sur un tableur, on donne la masse d’un objet en fonction du temps : Temps (s) Masse (g) 0 0 5 22 10 53 15 88 20 125 25 163 30 202 35 245 40 296 45 352 50 412

On construit le graphique sans relier les points : — On sélectionne les deux colonnes du tableau. — Insertion > Diagramme

— On sélectionne le diagramme Ligne sans relier les points.

— Dans l’onglet « Plage de données », on coche l’option « Séries de données en colonnes », « Première ligne comme étiquette » et « Première colonne comme étiquette ».

On veut ensuite l’ajustement linéaire des données statistiques (c’est-à-dire la droite qui minimise le carré des distances des points). Pour cela, on clique droit sur les points et on sélectionne « Insérer une courbe de tendance ». La courbe doit être « Linéaire » et on peut afficher l’équation de la droite.

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