L14 [V2-VàC] – Multiples, diviseurs, division euclidienne

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Multiples, diviseurs, division

euclidienne

14

Leçon

n°

Niveau Terminale S

Prérequis Notions d’arithmétique : théorème de Gauss, division, nombres entiers, construction de N et Z

Références [41], [42], [43]

14.1 _{Multiples et diviseurs dans Z}

14.1.1 Définition

Définition 14.1 Soient a et b deux entiers relatifs. a est un multiple de b, si et seulement si, il existe un entier relatif k tel que : a= kb.

On dit aussi que : — a est divisible par b ; — b est un diviseur de a ; — b divise a.

Exemples 14.2 1. 54 est un multiple de 3 car 54 = 18 × 3.

2. −5 divise 45 car 45 = (−9) × (−5).

14.1.2 Propriétés

Propriétés 14.3 1. 0 est un multiple de tout entier. 2. 1 divise tout entier.

3. Si a est un multiple de b et si a 6= 0 alors |a| ≥ |b|.

4. Si a divise b et si b divise a alors a= b ou a = −b avec a et b non nuls. 14.1.3 Règles de divisibilité

Toutes les règles de divisibilité peuvent être démontrées par la congruence.

Propriétés 14.4 1. Un entier est divisible par2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6, 8. 2. Un entier est divisible par5 s’il se termine par 0 ou 5.

3. Un entier est divisible par10 s’il se termine par 0.

4. Un entier est divisible par25 s’il se termine par 00, 25, 50, 75.

5. Un entier est divisible par4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.

Dv

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un B et a0tel que

N = 10B + a0

avec0 ≤ a0≤ 9. Or 10B est toujours multiple de 2 donc N est multiple de 2 si et seulement

si a0est multiple de2. •

Exemples 14.5 1. 1932 est divisible par 4 car 32 est divisible par 4.

2. Par contre,1714 n’est pas divisible par 4 car 14 n’est pas divisible par 4.

Propriétés 14.6 1. Un entier est divisible par3 si la somme des chiffres est divisible par 3. 2. Un entier est divisible par9 si la somme des chiffres est divisible par 9.

Dv

•Démonstration du critère de divisibilité par 3 —Soit N un entier naturel divisible par3. On a alors : 3 | N ⇔ N ≡ 0 (mod 3). On pose N = a0+ a1× 10 + a2× 102+ · · · + an× 10n. Or10 ≡ 1 (mod 3) donc N _{≡ 0 (mod 3) ⇔ a}0+ a1+ · · · + an= 0 (mod 3).

Ainsi, lorsqu’un nombre est divisible par3, la somme des chiffres de ce nombre est divisible

par3. •

Exemples 14.7 1. 8232 est divisible par 3 car 8 + 2 + 3 + 5 = 15 et 15 est divisible par 3.

2. 4365 est divisible par 9 car 4 + 3 + 6 + 5 = 18 et 18 est divisible par 9.

Propriété 14.8 Un entier de trois chiffres est divisible par11 si la sommes des chiffres extrêmes est égale à celui du milieu.

Exemple 14.9 451 est divisible par 11 car 4 + 1 = 5. On a alors 451 = 11 × 41.

Propriété 14.10 D’une façon générale un entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par11.

Exemples 14.11 1. 6457 est divisible par 11 car :

(7 + 4) − (5 + 6) = 11 − 11 = 0 et0 est divisible par 11.

2. 4939 est divisible par 11 car :

(9 + 9) − (3 + 4) = 18 − 7 = 11 et11 est divisible par 11.

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14.1 Multiples et diviseurs dans Z 11

Propriété 14.12 — Critère de divisibilité par 7. Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est multiple de 7.

La démonstration nécessite la connaissance du théorème de Gauss.

Dv

•Démonstration du critère de divisibilité par 7 —Soit N un nombre entier divisible par 7. On pose

N = a0+ a1× 10 + · · · + an× 10n. On a :

7 | 10(a1+ a2× 10 + · · · + an× 10n−1− 2a0). Or7 et 10 sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Gauss :

Exemple 14.13 252 est divisible par 7 car son nombre de dizaine est 25, son chiffre des unités est 2

et

25 − 2 × 2 = 25 − 4 = 21 (divisible par 7).

Exemple 14.14 Grâce aux règles de divisibilité, on montre facilement que :

1. Les diviseurs de20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20

2. Les diviseurs de36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

3. Les diviseurs de120 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

14.1.4 Un exercice d’application

Exercice 14.15 1. Déterminer tous les couples d’entiers naturels tels que :

x2_{− 2xy = 15.}

2. Déterminer tous les entiers relatifs n tels que(n − 3) divise n + 5.

(4)

Dv

•Solution —

1. On cherche à mettre le terme de droite en facteur de façon à faire apparaître des diviseurs de15. En factorisant, on trouve :

x(x − 2y) = 15.

Comme x et y sont des entiers naturels, on a la relation suivante : x ≥ x − 2y. De plus, les diviseurs de15 sont :

D15= {1, 3, 5, 15} .

Les décompositions possible sont donc : ( x= 15 x_{− 2y = 1} ou ( x= 5 x_{− 2y = 3} soit ₍ x= 15 y=15−1₂ = 7 ou ( x= 5 y=5−3₂ = 1 .

On obtient alors les couples solutions :(15, 7) et (5, 1). 2. Si(n − 3) divise (n + 5) alors il existe un entier k tel que :

n+ 5 = k(n − 3)

On cherche à factoriser par(n − 3) en faisant ressortir ce terme à gauche : (n − 3) + 8 = k(n − 3)

k(n − 3) − (n − 3) = 8

(n − 3)(k − 1) = 8

donc(n − 3) est un diviseur de 8. L’ensemble des diviseurs de 8 dans Z est :

D8= {−8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8} .

On a donc le tableau suivant correspond aux valeurs possibles de n :

n_{− 3 −8 −4 −2 −1 1 2 4} 8

n _{−5 −1} 1 2 4 5 7 11

• 14.1.5 Opérations sur les multiples

Théorème 14.16 Soit trois entiers relatifs a, b et c.

Si a divise b et c alors a divise a+ b, a − b ou toutes combinaison linéaire de b et de c.

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14.2 Division euclidienne 13 •Démonstration —On sait que a divise b et c, donc il existe deux entiers relatifs k et k0_tels

que :

b= ka et c = k0a.

On a alors :

b+ c = (k + k0)a, b − c = (k − k0)a et αb + βc = (αk + βk0)a.

Donc a divise b+ c, b − c et αb + βc. •

Exemple 14.17 Soit k un entier naturel, on pose a= 9k +2 et b = 12k +1. On cherche les diviseurs

positifs communs à a et b.

Soit d un diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, il divise c= 4a − 3b, soit : c= 4(9k + 2) − 3(12k + 1) = 36k + 8 − 36k − 3 = 5

donc d divise5. Comme 5 n’a que 2 diviseurs positifs, 1 et 5, on a alors d = 1 et d = 5.

Les diviseurs positifs possibles communs à a et b sont1 et 5.

14.2 Division euclidienne

Définition 14.18 Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.

On appelle division euclidienne de a par b, l’opération qui au couple(a, b) associe le couple (q, r) tels que :

a= bq + r avec 0 ≤ r < b. as’appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Exemples 14.19 1. La division euclidienne de114 par 8 : 114 = 8 × 14 + 2

2. La division de −17 par 3 : 17 = 3 × (−6) + 1.

Exercice 14.20 1. Trouver tous les entiers qui divisés par5 donne un quotient égal à 3 fois le

reste.

2. Lorsqu’on divise a par b, le reste est8 et lorsqu’on divise 2a par b, le reste est 5. Déterminer le diviseur b.

Dv

•Démonstration —

1. Soit a l’entier cherché. On divise a par5, on a alors :

a= 5q + r avec 0 ≤ r < 5

Comme q= 3r, on a :

a= 15r + r = 16r avec 0 ≤ r < 5

On trouve toutes les valeurs de a en faisant varier r de0 à 4 compris, on a alors l’ensemble solution suivant :

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2. Écrivons les deux divisions, en notant q et q0_{les restes respectifs :}

2bq + 16 = bq0_{+ 5 avec b > 8} b(2q − q0) = −11

b(q0− 2q) = 11

On en déduit que p est un multiple positif non nul de11, supérieur à 8, donc : b = 11. •

Algorithme. On propose un algorithme sur Xcas qui effectue une division euclidienne par sous-traction successives : diveucl(a,b) fonction local r,q; si b < 0 alors b := -b; a := -a; fsi q := 0; r := a; si a >= 0 alors tantque r>=b faire r := r-b; q := q+1; ftantque sinon tantque r<0 faire r := r+b; q := q-1; ftantque fsi afficher(q); afficher(r); ffonction:;

14.3 Vers les congruences

14.3.1 Entiers congrus modulo n

Définition 14.21 _{Soit n un entier naturel (n ≥ 2), a et b deux entiers relatifs. On dit que deux entiers}

aet b sont congrus modulo n si, et seulement si, a et b ont même reste par la division euclidienne par n. On note alors :

a_{≡ b (mod n).}

Exemples 14.22 1. 57 ≡ 15 (mod 7) car 57 = 7 × 8 + 1 et 15 = 7 × 2 + 1.

2. Un nombre est congru à son reste modulo n par la division euclidienne par n : 2000 ≡ 8 (mod 10), 17 ≡ 1 (mod 4), 75 ≡ 3 (mod 9).

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14.3 Vers les congruences 15

Propriétés 14.23 Comme la congruence est une relation d’équivalence, elle est : 1. réflexive : a ≡ a (mod n) ;

2. symétrique : si a ≡ b (mod n) alors b ≡ a (mod n) ;

3. transitive : si a ≡ b (mod n) et b ≡ c (mod n) alors a ≡ c (mod n). R 14.24 Lorsqu’on s’intéresse au jour de la semaine d’une date donnée, on travaillera modulo7.

Théorème 14.25 _{Soit n un entier naturel (n ≥ 2), a et b deux entiers relatifs.}

a_{≡ b (mod n) ⇔ a − b ≡ 0 (mod n).} Dv

⇒ On sait donc que a ≡ b (mod n). Il existe donc q, q0_{et r tels que :} a= nq + r et b = nq0+ r avec 0 ≤ r < n.

On en tire :

a− b = n(q − q0).

Donc a−b est un multiple de n, donc son reste par la division par n est nul, donc a−b ≡ 0 (mod n).

⇐ On sait donc que a − b ≡ 0 (mod n). Il existe k tel que :

a_{− b = kn} (14.1)

Si l’on effectue la division de a par n, on a :

a= nq + r (14.2)

De (14.1) et (14.2), on obtient :

nq+ r − b = kn

−b = kn − nq − r

b= (q − k)n + r

On en déduit donc : a ≡ b (mod n).

• 14.3.2 Compatibilité avec la congruence

Théorème 14.26 _{Soit n un entier naturel (n ≥ 2), a, b, c, d des entiers relatifs vérifiant :}

a_{≡ b (mod n)} et c_{≡ d (mod n).} La congruence est compatible :

1. avec l’addition :

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2. avec la multiplication :

ac_{≡ bd (mod n);} 3. avec les puissances :

∀k ∈ N, ak≡ bk (mod n).

Dv

Compatibilité avec l’addition : On sait que a ≡ b (mod n) et c ≡ b (mod n), donc (a−b) t(c − d) sont des multiples de n. Il existe donc deux entiers relatifs k et k0_{tels que :}

a_{− b = kn} et c_{− d = k}0n.

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

a− b + c − d = kn + k0_n

(a + c) − (b + d) = (k + k0_)n

Donc(a − c) − (b − d) est un multiple de n, donc d’après le théorème14.25, on obtient :

a+ c ≡ b + d (mod n).

Compatibilité avec la multiplication : On sait que a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n), donc il existe deux entiers relatifs k et k0_{tels que :}

a= b + kn et c = d + k0n.

En multipliant ces deux égalités, on obtient :

ac= (b + kn)(d + k0n) ac= bd + k0bn+ kdn + kk0n2 ac= bd + (k0b+ kd + kk0n)n ac_{− bd = (k}0b+ kd + kk0n)n

Donc(ac − bd) est un multiple de n, donc d’après le théorème14.25, on a :

ac_{≡ bd (mod n).}

Compatibilité avec les puissances : On prouve cette compatibilité par récurrence sur k, à l’aide de la compatibilité avec la multiplication.

•

14.3.3 Applications de la congruence (en lien avec le thème de la leçon) Reste

On souhaite déterminer les restes successifs dans la division par7 des nombres suivants : 50100_, _{100, 100}3_, ₅₀100_{+ 100}100_.

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14.3 Vers les congruences 17

1. On détermine le reste de50100_{par la division par}_{7. On a 50 ≡ 1 (mod 7) car 50 = 7×7+1.}

D’après la compatibilité avec les puissances, on a :

50100 _{≡ 1}100_{≡ 1 (mod 7).}

Le reste est1.

2. On détermine le reste de100 par la division par 7. 100 = 50 × 2, comme 50 ≡ 1 (mod 7), d’après la compatibilité avec la multiplication, on a :

100 ≡ 2 (mod 7). Le reste est2.

3. Pour déterminer le reste de1003 _{par la division par}_{7, on utilise la question précédente et la}

compatibilité avec les puissances. On a :

1003 _{≡ 2}3 _{≡ 8 ≡ 1 (mod 7).}

Le reste est1.

4. On détermine le reste de50100_{+ 100}100_{par la division par}_{7. On a : 100}100 _{= 100}3×33+1 ₌

(1003₎33_{× 100, donc d’après la compatibilité avec les puissances et la multiplication, on a :}

100100_{≡ 1}3_{× 2 ≡ 2 (mod 7).}

Par compatibilité avec l’addition, on a alors :

50100_{+ 100}100 _{≡ 1 + 2 ≡ 3 (mod 7).}

Divisibilité

On va montrer que, pour tout n ∈ N, 3n+3_{− 4}4n+2_{est divisible par}_11.

On a :3n+3 _{= 3}n_{× 3}3 _{= 27 × 3}n_{, or}_{27 ≡ 5 (mod 11), donc d’après la compatibilité avec la}

multiplication, on a :

3n+3 _{≡ 5 × 3}n _{(mod 11).}

On a :44n+2_{= (4}4₎n_{× 4}2_{, or}₄2 _{≡ 5 (mod 11) donc 4}4 _{≡ 5}2 _{≡ 3 (mod 11), donc :}

44n+2 _{≡ 3}n_{× 5 (mod 11).}

On en déduit donc :

3n+3_{− 4}4n+2_{≡ 0 (mod 11).}

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