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L59 [V2-VàC] – Séries numériques

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9

Séries numériques

59

Leçon n° Niveau BTS

Prérequis suites, suites géométriques Références [155], [156]

59.1

Généralités

Définition 59.1 — Séries numériques. On appelle série de terme général un, la suite (Sn)n∈N des sommes partielles définies par Sn= u0+ · · · + un. On la notePun.

R 59.2

1. Les premiers termes de la série sont alors : S0= u0, S1= u0+ u1, S2= u0+ u1+ u2. . .

2. La série peut être définie sur N ou à partir d’un rang n0.

Exemple 59.3 La série de terme général n1 est la suite(Sn) des sommes

Sn= u1+ · · · + un= 1 +12 + · · · + 1

n.

Cette série est définie à partir du rang1, elle est définie sur N∗. 

Définition 59.4 — Séries convergentes. On dit que la série de terme général unest convergente si la suite(Sn)n≥n0 est convergente. Dans ce cas S=P+∞k=n0ukest appelée somme de la série. Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.

Propriété 59.5 Pour qu’une série converge, il faut au moins que son terme général tende vers0.

Dv

•Démonstration —SiPunconverge vers S alors(Sn) converge vers S et (Sn−1) aussi. La

différence Sn− Sn−1est égale à unet tend vers0. • R 59.6 Lorsque le terme général ne tend pas vers0, on dit que la série diverge grossièrement.

Exemple 59.7 La sériePcosn1 diverge car :

lim n→+∞cos 1 n = 1 6= 0. 

59.2

Séries géométriques

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10 Leçon n°59 • Séries numériques

Définition 59.8 — Séries géométriques. On appelle séries géométriques les séries de terme général

un= qn. Le terme q se nomme la raison de la série.

Exemple 59.9 La série de terme général un= 21n est une série géométrique.  Propriété 59.10 Une série géométrique de raison q ne converge que si |q| < 1, sa somme est dans ce

cas :

S= 1

1 − q.

Dv

•Démonstration —

— Lorsque q= 1 alors Sn= (n + 1) donc la suite (Sn) diverge.

— Lorsque q= −1 alors Snprend alternativement les valeurs1 et 0 donc (Sn) diverge. — Lorsque |q| > 1 alors (qn) diverge donc (S

n) diverge. En effet : Sn= 1 − q

n+1 1 − q d’après le cours sur les suites géométriques. — Lorsque |q| < 1 alors qntend vers0 donc S

ntend vers S= 1−q1 .

Exemple 59.11 La série de terme général un = 21n converge car q = 12 vérifie |q| < 1. Sa somme

est :

S= 1

1 −1 2 = 2. Ce qui signifie que :

1 +12+212 +213 + · · · = 2.



59.3

Séries de Riemann

Définition 59.12 — Séries de Riemann. On appelle séries de Riemann les séries de terme général n1α

où α ∈ R.

Exemples 59.13 1. Pn12 est une série de Riemann avec α= 2.

2. P√1

n est une série de Riemann avec α= 1/2.



Propriété 59.14 La série de terme général n1α converge lorsque α >1, diverge lorsque α ≤ 1.

Exemples 59.15 1. La série de RiemannPn12 avec α= 2 converge.

2. Par contre, la série de RiemannP√1

navec α= 1/2 diverge. 3. La série de RiemannP1ndiverge.

(3)

59.3 Séries de Riemann 11

Dv

• Démonstration —On encadre l’aire sur la courbe de la fonction x 7→ x1α où α est un

nombre positif. Dans le cas contraire, la série diverge grossièrement car son terme général ne tend pas vers zéro.

Encadrons l’aire sous la courbe représentant f(x) = 1

par deux rectangles.

1 (k+1)α 1 k k+ 1 1 2α × 1 ≤ Z 2 1 dx ≤ 1 1α × 1 1 3α × 1 ≤ Z 2 1 dx ≤ 1 2α × 1 1 4α × 1 ≤ Z 2 1 dx ≤ 1 3α × 1 ... ... 1 × 1 ≤ Z n n−1 dx xn ≤ 1 (n − 1)α× 1 En effectuant la somme, on obtient :

Sn= 1 + n X k=2 uk ≤ 1 + Z n 1 dx xα. — Pour α >1, on a : Sn≤ 1 +  −1 (α − 1)xα−1 n 1 donc Sn 1 (α − 1)  1 − nα1−1  ≤ 1 +(α − 1)1 donc(Sn) est majorée or elle est croissante donc elle converge.

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12 Leçon n°59 • Séries numériques

— pour α= 1, on a de la même façon : Z n+1

1

dx x ≤ Sn

doncln(n + 1) ≤ Snet ainsilimn→+∞Sn= +∞, la suite (Sn) diverge. — enfin pour α <1, on a :

Z n+1

1

dx ≤ Sn

donc (α−1)1 (n + 1 − 1) ≤ Sndonclimn→+∞Sn= +∞ la suite (Sn) diverge.

59.4

Séries alternées

Définition 59.16 On appelle séries alternées les séries pouvant s’écrire sous la forme ±P(−1)na n où angarde un signe constant positif.

Exemple 59.17 La sérieP(−1)

n

n est une série alternée. 

Propriété 59.18 Pour qu’une série alternéeP(−1)na

nconverge, il suffit que le terme antend vers0 en décroissant

Dv

•Démonstration (admis en BTS) —Pour prouver le critère, on note(Un) la suite partielle d’ordre n de la série. Les hypothèses faites sur les termes généraux donnent successivement

0 ≤ U0, 0 ≤ U1≤ U0, 0 ≤ U1≤ U2≤ U0

et, plus généralement,

0 ≤ U1≤ U3≤ · · · ≤ U2n+1≤ U2n+3 ≤ · · · ≤ U2n+2 ≤ U2n≤ · · · ≤ U2≤ U0.

Ainsi les suites(U2n)n∈Net(U2n+1)n∈Nsont l’une décroissante, l’autre décroissante. Leur

différence tend, par hypothèse, vers0. Le théorème des suites adjacentes s’applique et montre que ces deux suites convergent vers une limite commune U. Mais alors la suite (Un)n∈N

admet elle-même pour limite U.

Ensuite, l’inégalité concernant le reste se lit directement dans les inégalités précédentes, en soustrayant Unà Un+1et à U. La remarque sur le signe du reste en découle.

 Exemple 59.19 P(−1)nn est convergente car dans ce cas, an = n1 donc limn→+∞an = 0 en

décroissant. 

Définition 59.20 — Séries absolument convergentes. On dit qu’une série alternéePun est absolu-ment convergente lorsqueP|un| converge.

Exemple 59.21 P(−1)

n

n2 est absolument convergente car

P 1

n2 est une série de Riemann absolument

convergente. 

R 59.22 Lorsqu’une série est convergente mais non absolument convergente, on dit qu’elle est semi-convergente.

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59.5 Critères pour les séries à termes positifs 13

59.5

Critères pour les séries à termes positifs

59.5.1 Généralités

Définition 59.23 On parle de série à termes positifs lorsque pour tout n ∈ N, on a un≥ 0.

R 59.24 La définition reste valable sur un≥ 0 à partir d’un certain rang n0.

Dans ce cas, la suite des sommes partielles (Sn) est croissante. En effet, pour tout n ∈ N, on a : Sn+1− Sn= un+1≥ 0. Donc il suffit de montrer que (Sn) est majorée pour que (Sn) converge.

Propriété 59.25 Soient(un) et (vn) deux suites à termes positifs. 1. Si un≤ vn, et siPvnconverge alorsPunconverge aussi. 2. Si un≤ vnet siPundiverge alorsPvndiverge aussi.

Dv

•Démonstration —SoitPvnune série convergente à termes positifs alors(Tn) définie par Tn = v0+ · · · + vnconverge donc(Tn) est majorée. Il existe M tel que pour tout n ∈ N, Tn ≤ M. Or un ≤ vndonc Sn ≤ Tn≤ M. Finalement (Sn) est croissante et majorée donc elle converge.

SoitPunune série divergente à termes positifs alors(Sn) définie par Sn = u0+ · · · + vn diverge or(Sn) n’est pas majorée. De plus un ≤ vn donc Sn ≤ Tn donc(Tn) n’est pas

majorée, elle diverge. •

Exemple 59.26 La série de terme général 3n1+nconverge car :

1 3n+ n ≤

1 3n

et 31n est le terme général d’une série géométrique convergente. 

Exemple 59.27 La série de terme général :

un=

n+ 1 n2− n

est divergente car unnn2 donc :

un≥ 1

n

orP1nest une série de Riemann divergente. 

59.5.2 Régle de D’Alembert

Propriété 59.28 1. Silimn→+∞ un+1

un

= L < 1 alors la sériePunconverge. 2. Silimn→+∞ un+1 un

= L > 1 alors la sériePundiverge.

Dv

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14 Leçon n°59 • Séries numériques

telle quelimn→+∞uun+1n = L ≥ 0.

— Si L < 1, il existe k tel que L < k < 1 et N entier naturel tel que pour n > N : an< kan−1 < kn−NaN, donc la sériePan+Nconverge, d’où le résultat pourPan.

— Si L > 1, il existe k tel que 1 < k < L et N entier naturel tel que pour n > N : an> kan−1 > kn−NaN, donc la suite ne tend pas vers0.

• Exemple 59.29 SoitPn1!, on a : un+1 un = n! (n + 1)! = 1 n+ 1 donc lim n→+∞ uun+1n = 0 < 1.

Cette série converge. 

R 59.30

1. Cette règle permet de prévoir la convergence mais ne donne pas la somme. 2. Cette règle ne permet pas de conclure lorsque :

lim n→+∞ unun+1 = 1 Exemple 59.31 La série de terme général un= n1! converge car :

un+1 un = 1 n+ 1 donc lim n→+∞ un+1 un = 0 < 1.  59.5.3 Règle du nα

Propriété 59.32 1. S’il existe α >1 tel que limn→+∞nαun= L ∈ R alorsPunconverge. 2. S’il existe α ≤ 1 tel que limn→+∞nαun>0 alorsPundiverge.

Exemples 59.33 1. La série de terme général n21+1 converge car :

lim n→+∞n

2u

n= 1 ∈ R et ici α= 2 > 1.

2. La série de terme général 5n+√n1 diverge car : lim

n→+∞nun= 15 > 0 et ici α= 1

2.

3. La série de terme général un= n+2

4n3−2n+1 converge car : lim n→+∞ 1 n2un= 1 4 ∈ R

orPn12 est une série de Riemann convergente donc la sériePunconverge.

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