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L63 [V2-VàC] – Exemples d’études de courbes

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(1)

9

Exemples d’études de courbes

63

Leçon

Niveau Terminale S et BTS

Prérequis Étude d’une fonction, dérivées, limites, courbes paramétrées, courbe de Bézier Références [155], [159]

63.1

Etude d’une fonction

Exemple 63.1 La partie I est l’étude d’une fonction auxiliaire g nécessaire à l’étude de la fonction

f définie sur]0 , +∞[ par :

f(x) = x

2 +1 + ln xx .

L’étude de la fonction f fait l’objet de la partie II. La partie III est l’étude de deux suites numériques associées.

Partie I On considère la fonction numérique g définie sur ]0 , +∞[ par : g(x) = x2− 2 ln x.

1. Etudier le sens de variation de g.

2. En déduire le signe de g(x) sur ]0 , +∞[.

Partie II On considère la fonction numérique f définie sur ]0 , +∞[ par : f(x) = x

2 +1 + ln xx .

On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, #»ı, #») (unité graphique 2 cm)

1. Déterminer la limite f en0. Interpréter graphiquement le résultat. 2. (a) Déterminer la limite f en+∞.

(b) Montrer que la droite(∆) d’équation y = x

2 est asymptote à la courbe(C).

(c) Déterminer la position de (C) par rapport à (∆) sur ]0 , +∞[. Montrer en particulier que(∆) coupe (C) en un point A que l’on déterminera.

3. Etudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f.

4. Montrer qu’il existe un point B, et un seul, de la courbe(C) où la tangente (T) à (C) est parallèle à(∆). Préciser les coordonnées de B.

5. Montrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. Justifier l’encadrement : 0,34 < α < 0,35.

6. Tracer la courbe(C) et les droites (∆) et (T).

Partie III On considère la suite numérique (xn) définie par xn = e(n−2)/2 pour tout nombre

(2)

1. (a) Montrer que(xn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la

raison.

(b) Montrer que(xn) est une suite croissante.

2. Pour tout entier naturel n, on pose : an= 4 Z xn+1 xn  f(x) − x 2  dx. (a) Donner une interprétation géométrique de an.

(b) Montrer que an = 2n+12 pour tout nombre entier naturel n. En déduire que (an) est

une suite arithmétique.



Dv

•Solution —

Partie I g est la fonction numérique définie sur ]0 , +∞[ par :

g(x) = x2− 2 ln x.

1. g est dérivable sur]0 , +∞[ et on a :

g0(x) = 2x − 2 ×1 x= 2  x−1x  = 2(x2− 1) x = 2(x − 1)(x + 1) x .

Comme x ∈ ]0 , +∞[, on a x > 0 et x + 1 > 0 donc g0(x) est du signe de (x − 1).

On en déduit que g0(x) < 0 pour x ∈ ]0 , 1[ et g0(x) > 0 pour x]1 , +∞[. Donc : g

est décroissante sur]0 , 1[ et croissante sur ]1 , +∞[ ;

2. On a g(1) = 12− 2 ln 1 = 1. D’après le sens de variation de g, on a alors g(x) ≥ 1

pour tout x >0. Donc g(x) > 0 pour tout x ∈ ]0 , +∞[. Partie II f est la fonction numérique définie sur ]0 , +∞[ par :

f(x) = x2 +1 + ln x x .

(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, #»ı, #») (unité gra-phique 2 cm). 1. On peut écrire f(x) = x 2 + 1 + ln x x = x 2 + 1 x(1 + ln x). On sait que lim x→0+ln x = −∞ donc limx→0+1 + ln x = −∞, d’autre part lim x→0+ 1 x = +∞ donc limx→0+ 1 x(1 + ln x) = −∞.

De pluslimx→0+x2 = 0 et par conséquent : lim x→+∞f(x) = limx→0+ x 2 + 1 x(1 + ln x) = −∞.

(3)

63.1 Etude d’une fonction 11 On peut en déduire que la courbe(C) a pour asymptote verticale la droite d’équation

x= 0 (Axe Oy).

2. (a) On peut écrire :

f(x) = x 2 +1x+ ln x x . On sait que : lim x→+∞ ln x x = 0 ; limx→+∞ 1 x = 0 et x→+∞lim x 2 = +∞. Donc lim x→+∞f(x) = limx→+∞ x 2 +1x+ ln x x = +∞. (b) On a lim x→+∞f(x) − x 2 = limx→+∞ 1 x+ ln x x = 0.

Donc : la droite(D) d’équation y = x

2 est asymptote à la courbe(C).

(c) On a f(x) −x 2 = 1 + ln xx . Donc : f(x) = x 2 ⇔1 + ln x = 0 ⇔ ln x = −1 ⇔ x = e−1. Donc :(D) coupe (C) au point A d’abscisses e−1et d’ordonnéee−1

2 . x ∈ ]0 , +∞[

donc f(x) −x

2est du signe1 + ln x. La fonction ln étant strictement croissante,

on a alors :

1 + ln x > 0 ⇔ ln x > −1 ⇔ x > e−1

et

1 + ln x < 0 ⇔ ln x < −1 ⇔ x < e−1.

On en déduit que f(x) > x

2 pour x > e−1 et f(x) < x2 pour x < e−1. Sur

]0 , e−1[, (C) est au-dessous de (D) et sur ]e−1,+∞[, (C) est au-dessus de (D).

3. Pour tout x ∈ ]0 , +∞[, on a

f(x) = x

2 +

1 + ln x

x .

f est donc la somme et le quotient de fonctions dérivables sur]0 , +∞[ donc f est

dérivable sur]0 , +∞[ et on a : f0(x) =12 + 1 xx− (1 + ln x) × 1 x2 = 1 2+1 − 1 − ln xx2 = 1 2 −ln xx2 = x2− 2 ln x 2x2 . Donc f0(x) = g(x)

2x2. D’après la partie I, on sait que g(x) > 0 pour tout x ∈ ]0 , +∞[ donc f0(x) > 0 pour tout x ∈ ]0 , +∞[. On en déduit que f est strictement croissante

sur]0 , +∞[. On peut donner le tableau de variations de f :

x 0 +∞

f0(x) || +

|| +∞

f || %

(4)

4. La tangente(T ) à la courbe (C) au point d’abscisses b a pour coefficient directeur

f0(b). Cette tangente est parallèle à (D) si et seulement si elle a le même coefficient

que(D). f(b) = 1 2 ⇔ b2− 2 ln b 2b2 = 1 2 ⇔b2− 2 ln b = b2⇔ ln b = 0 ⇔ b = 1. Il existe donc un point B et un seul où la tangente(T ) à la courbe C est parallèle à (D). B a pour abscisse 1 et pour ordonnée f(1) = 1

2+ 1 = 32.

5. f est une fonction continue et strictement croissante sur]0 , +∞[. Donc pour tout réel

kdans l’intervalle]β , γ[ où

β= lim

x→0+f(x) et γ = limx→+∞f(x),

l’équation f(x) = k a une solution unique. Comme 0 ∈ ]β , γ[ = R, on en déduit que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. La calculatrice donne f(0, 34) ≈ −0, 06 donc f(0, 34) < 0 et f(0, 35) ≈ 0, 03 donc f(0, 35) > 0. On en déduit que

f(0, 34) < f(α) < f(0, 35) et comme f est strictement croissante : 0, 34 < α <

0, 35. 6. −1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 x O (C) (∆) (T ) e−1 e−1/2 3/2

Partie III La suite numérique (xn) est définie par xn = e(n−2)/2pour tout nombre entier

naturel n.

1. (a) On peut écrire pour tout n ∈ N :

xn+1= exp (n + 1 − 2)/2 = e(n−2)/2+1/2 = e(n−2)/2× e1/2= xn× e1/2.

On en déduit que(xn) est une suite géométrique de raison e1/2. Son premier

terme est x0= e(0−2)/2donc x0= e−1.

(b) (xn) est une suite géométrique de premier terme positif et de raison positive, donc

(xn) est une suite à termes positifs. On a e1/2 ≥ 1 donc xn× e1/2 ≥ xn,

c’est-à-dire xn+1≥ xnpour tout n ∈ N. Donc la suite (xn) est une suite croissante.

2. Pour tout entier naturel n, on a :

an= 4 Z xn+1 xn  f(x) −x 2  dx. (a) D’après la partie II, on sait que f(x) − x

2 ≥ 0 pour x ≥ e−1. Comme la suite

(xn) est croissante, on a :

e−1≤ x

(5)

63.1 Etude d’une fonction 13 DoncRxn+1

xn f(x) − x

2 dx est l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée

par la courbe(C), la droite (∆) et les droites d’équations x = xn et x= xn+1.

L’unité du repère étant 2 cm, l’unité d’aire est 4 cm2.

an= 4 Z xn+1 xn  f(x) −x 2  dx

est l’aire, en cm2, de la partie du plan limitée par la courbe(C), la droite (∆) et

les droites d’équation x= xnet x= xn+1.

(b) an= 4 Z xn+1 xn  f(x) −x2dx = 4Z xn+1 xn  1 + lnx x  dx = 4Z xn+1 xn  1 x+ 1 xln x  dx

x7→ 1xa pour primitive x 7→ ln x. D’autre part,x1× ln x est de la forme u0(x) ×

u(x) donc1xln x a pour primitive 12u(x)2= 12(ln x)2. On a donc :

an=4lnx + 2(lnx)2 xn+1 xn = 4 ln xn+1+ 2(ln xn+1) 2− 4 ln x n− 2(ln xn)2. Donc : an= 4 ln e(n−1)/2+ 2  ln e(n−1)/22− 4 ln e(n−2)/2− 2ln e(n−2)/22 = 4 ×n− 12 + 2n− 1 2 2 − 4 ×n− 22 −2  n− 2 2 2 = 2n − 2 +n2− 2n + 12 − 2n + 4 − n 2− 4n + 4 2 = 2 +n2− 2n + 1 − n2+ 4n − 4 2 = 2 +2n − 32 = 4 + 2n − 32 donc an = 2n+12 pour tout n ∈ N. On en déduit que an = n + 12, pour tout

n∈ N. Donc

an+1= n + 1 + 12 = n +12 + 1 = an+ 1, pour tout n ∈ N.

On en déduit que(an) est une suite arithmétique de raison 1.

Exemple 63.2 Une entreprise fabrique et vend un liquide L. Une étude a permis de modéliser le coût

moyen de production par :

f(x) = 0,5x +8

x, où x >0.

Le coût moyen f(x) est exprimé en milliers d’euros et la quantité produite x en hectolitres. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan (unité 1 cm).

1. Etude de la fonction coût moyen

(a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle]0 , +∞[. (b) Déterminer les limites en f en0 et en +∞.

(6)

(d) Montrer que la droite D d’équation y = 0,5x est asymptote à la courbe C. Etudier la position relative de C par rapport à D.

(e) Construire C ainsi que D.

2. Seuils de rentabilité pour l’entreprise

L’entreprise ne peut être bénéficiaire que si le prix de vente de l’hectolitre est supérieur au coût moyen de fabrication. Le prix de vente de l’hectolitre p(x) est fonction de la quantité x vendue :

p(x) =

(

−0,8x + 10 si x ∈ ]0 , 10[ 2 si x ∈ [10 , +∞] où p(x) est exprimé en milliers d’euros et x en hectolitres.

(a) On note P la représentation graphique de la fonction p. Tracer P dans le repère précédent. La fonction p est-elle une fonction continue ? (Justifier à partir du graphique).

(b) Déterminer graphiquement l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l’entreprise soit bénéficiaire.

(c) Confirmer le résultat précédent par le calcul (on pourra se ramener à une inéquation du second degré).



Dv

•Solution —

1. Etude de la fonction coût moyen

(a) La fonction f est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur]0 , +∞[. On sait que

f(x) = 0, 5x + 8xdonc : f0(x) = 0, 5 − 8 x2 = 0, 5x2− 8 x2 = 0, 5(x2− 16) x2 = 0, 5(x − 4)(x + 4) x2

x2>0 pour tout réel x dans ]0 , +∞[, le signe de f0(x) est donc le signe du trinôme

0, 5(x − 4)(x + 4). On a donc f0(x) < 0 pour tout x ∈ ]0 , 4[ et f0(x) > 0 pour tout x∈ ]4 , +∞[. Donc : f est strictement décroissante sur ]0 , 4[ et strictement croissante

sur]4 , +∞[.

(b) limx→00, 5x = 0 et limx→0+8x = +∞ donc :

lim

x→0+f(x) = limx→0+0, 5x +

8

x = +∞.

De pluslimx→+∞0, 5x = +∞ et limx→+∞8x= 0 donc

lim x→+∞f(x) = limx→+∞0, 5x + 8 x = +∞. (c) On a f(4) = 0, 5 × 4 +8 4 = 2 + 2 = 4.

(7)

63.1 Etude d’une fonction 15 On peut donner le tableau de variations de f :

x 0 4 1 f0(x) || − 0 + 0 || +∞ +∞ f(x) || & % || 4 (d) On a lim x→+∞f(x) − 0, 5x = limx→+∞ 8 x= 0.

Donc : la droite D d’équation y = 0, 5x est asymptote à la courbe C quand x tend vers +∞. Pour tout réel x dans ]0 , +∞[, on a x > 0 donc 8

x >0 donc f(x) − 0, 5x > 0

donc f(x) > 0, 5x. On en déduit que la courbe C se trouve au-dessus de la droite D. (e) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x O (C) D P

2. Seuils de rentabilité pour l’entreprise

(a) P étant la représentation graphique de la fonction ρ, elle est constituée par

— le segment de droite d’équation y= −0, 8x + 10 pour x ∈ ]0 , 10[ (on peut tracer ce segment en utilisant les points A(0, 10) et B(10, 2).

— la demi-droite d’équation y= 2 pour x ∈ [10 , +∞[.

La représentation graphique de ρ peut être tracée d’un seul trait (sans lever le crayon de la feuille), on en déduit que la fonction ρ est une fonction continue.

(b) L’entreprise est bénéficiaire lorsque le prix est supérieur au coût moyen, c’est-à-dire lorsque la courbe C est au-dessus de la courbe P . On obtient graphiquement que l’entreprise est bénéficiaire lorsque x ∈ [0.9 , 6.8].

(c) Le tableau de variations de f justifie que f(x) > 2 pour tout x ∈ ]0 , +∞[. Comme

ρ(x) = 2 pour tout x ≥ 10, l’entreprise ne peut pas être bénéficiaire lorsque x ≥ 0.

Pour x ∈ ]0 , 10[, on peut écrire :

f(x) ≤ ρ(x) ⇔ 0, 5x +8

x≤ −0, 8x + 10 ⇔ 1, 3x − 10 +

8

x≤ 0.

Sachant que x est strictement positif, on obtient, en multipliant par x : 1, 3x2− 10x + 8 ≤ 0

(8)

1, 3x2− 10x + 8 est un trinôme du second degré dont le discriminant est :

∆ = (−10)2

− 4 × 1, 3 × 8 = 100 − 41, 6 = 58, 4 On a donc∆ > 0. On en déduit que ce trinôme a deux racines qui sont :

α= 10 − √58, 42, 6 ≈ 0, 9 et β= 10 + √58, 42, 6 ≈ 6, 8.

Ces deux racines étant dans l’intervalle]0 , 10[, on peut conclure que : f(x) ≤ ρ(x) pour x ∈ [α , β]. On a donc confirmé par le calcul le résultat de la question précédente.

63.2

Etude de courbes paramétrées

Exemple 63.3 On considère la courbe(Γ) définie par la représentation graphique :

(

x= f(t) = cos(2t) − 2 cos(t) y = g(t) = sin(2t) − 2 sin(t) où t est un réel appartenant à l’intervalle[−π , π].

1. Montrer que la courbe(Γ) admet un axe de symétrie en calculant f(−t) et g(−t). 2. (a) Calculer f0(t).

(b) Etablir le signe de f0(t) sur l’intervalle [0 , π], en déduire les variations de f sur [0, π].

3. (a) Calculer g0(t).

(b) Déterminer le signe g0(t) sur l’intervalle [0 , π], en déduire les variations de g sur [0 , π].

4. Dresser sur l’intervalle[0, π] le tableau de variations conjointes des fonctions f et g.

5. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux points B, C et D de paramètres

tB=

π

3, tC = 3 et tD = π.

6. Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O, #»ı, #») d’unité graphique 2 cm. Tracer les tangentes aux points A, B, C et D puis la courbe(Γ). On admet que la tangente à la courbe (Γ) au point A de paramètre tA= 0 a pour vecteur directeur #»ı.



Dv

•Solution —

1. (

f(−t) = cos(−2t) − 2 cos(−t) = cos(2t) − 2 cos t = f(t) g(−t) = sin(−2t) − 2 sin(−t) = − sin(2t) + 2 sin t = −g(t)

Les points M(t) et M(−t) ont pour coordonnées respectives : (f(t), g(t)) et (f(t), −g(t)).

(9)

63.2 Etude de courbes paramétrées 17 On constate que les points M(t) et M(−t) sont symétriques par rapport à l’axe des

abs-cisses pour tout t ∈ [−π , π]. (Γ) admet l’axe des absabs-cisses pour symétrie. On pourra donc étudier les fonctions f et g sur l’intervalle[0 , π] et compléter le graphique par symétrie. 2. (a) f est dérivable sur[0 , π] et sa dérivée est définie par :

f0(t) = −2 sin(2t) + 2 sin t.

On connaît la formule

sin(2t) = 2 sin t cos t. donc

f0(t) = −4 sin t cos +2 sin t ⇔ f0(t) = 2 sin t[1 − 2 cos t].

(b) Sur[0 , π], sin t ≥ 0 donc f0(t) est du signe de 1 − 2 cos t. Dans l’intervalle [0 , π], la

fonction cosinus est décroissante.

1 − 2 cos t ≥ 0 ⇔ cos t ≤ 12 ⇔ π3 ≤t≤ π.

Sur[0 , π/3], f0(t) ≤ 0 ; f décroît et sur [π/3 , π], f0(t) ≥ 0, f croît.

3. (a) g est dérivable sur[0 , π] et sa dérivée vérifie :

g0(t) = 2 cos 2t − 2 cos t,

on applique la formulecos 2t = 2 cos2t− 1 :

g0(t) = 2(2 cos2t− 1) − 2 cos t = 2(2 cos2t− cos t − 1).

La dérivée s’annule sicos t = 1, on peut factoriser g0(t) par cos(t) − 1 : g0(t) = 2(cos(t) − 1)(2 cos(t) + 1).

(b) Sachant que −1 ≤ cos t ≤ 1, on en déduit cos t − 1 ≤ 0 donc g0(t) est du signe

contraire à celui de2 cos t + 1.

g0(t) ≥ 0 ⇔ 2 cos t + 1 ≤ 0 ⇔ cos t ≤ −1

2.

Dans l’intervalle[0 , π], la fonction cosinus est décroissante, l’inéquation se traduit par t ≥ 3 donc sur[0 , π] :

— si t ∈ [2π/3, π], g0(t) ≥ 0, g croît

— si t ∈ [0 , 2π/3], g0(t) ≤ 0, g décroît.

4. On peut dresser les tableaux de variations de f et g sur[0 , π] :

t 0 π/3 2π/3 π f0(t) 0 − 0 + 2√3 + 0 3 % f(t) −1/2 1/2 & % −3/2 Points A B C D

(10)

t 0 π/3 2π/3 π g0(t) 0 − −2 − 0 + 4 0 & g(t) √3/2 0 & % −3√3/2 Points A B C D

5. Aux points B et D correspondant respectivement à t = π

3 et t = π, la dérivée de f

s’annule mais pas la dérivée de g, en chacun de ces points la tangente admet pour vecteur directeur #». En B et D, la tangente à(Γ) est parallèle à l’axe des ordonnées. Au point C

correspondant à t=

3, la dérivée de g s’annule mais pas celle de f. La tangente en C à

la courbe admet pour vecteur directeur le vecteur #»ı. En C la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

6. L’étude précédente permet de tracer l’arc de courbe correspondant à l’intervalle[0 , π]. La symétrie par rapport à l’axe des abscisses permettra de tracer la courbe(Γ) en entier. On a admis, dans le texte, que la tangente en A est confondue avec l’axe des abscisses.

63.3

Etude de courbes de Bézier

Exemple 63.4 Soit le plan rapporté à un repère orthogonal(O, #»ı, #»), les unités étant k#»ık = 2 cm

et k#»k = 1 cm. On considère les points

A0 = O(0, 0) , A1(0, −4) , A2(1, 1) et A3(2, 5).

1. Montrer que la représentation paramétrique de la courbe de Bézier associée aux points A0,

A1, A2, A3est :

(

x(t) = −t3+ 3t2

y(t) = −10t3+ 27t2− 12t , t∈ [0 , 1].

2. (a) Déterminer les variations des fonctions x et y. On dressera le tableau des variations conjointes de x et y. Les calculs seront données à10−1 près.

(b) Préciser les points où la courbe admet une tangente parallèle à l’un des axes de coordon-nées.

(11)

63.3 Etude de courbes de Bézier 19

3. Déterminer, à10−1près, l’abscisse du point d’intersection, autre que O, de la courbe de Bézier,

avec l’axe des abscisses.

4. Tracer dans le repère(O, #»ı, #») la courbe de Bézier ainsi étudiée.



Dv

•Solution —

1. On utilise la formule du cours : # » OM = i=3 X i=0 3 i  ti(1 − t)3−iOA# »i, on en déduit : ( x(t) = (1 − t)3× 0 + 3t(1 − t)2× 0 + 3t2(1 − t) × 1 + t3× 2 y(t) = (1 − t)3× 0 + 3t(1 − t)2(−4) + 3t2(1 − t) × 1 + t3× 5 ⇔ ( x(t) = 3t2− 3t3+ 2t3 y(t) = −12t(1 − 2t + t2) + 3t2− 3t3+ 5t3

En conclusion, une représentation graphique de la courbe de Bézier demandée est : (

x(t) = −t3+ 3t2

y(t) = −10t3+ 27t2− 12t .

2. (a) Les fonctions x et y sont dérivables sur l’intervalle[0 , 1]. On a :

x0(t) = −3t2+ 6t = 3t(−t + 2).

x0(t) s’annule pour t = 0 et t = 2. Sur l’intervalle [0 , 1], 3t ≥ 0 et −t + 2 ≥ 0. On

en déduit x0(t) ≥ 0 ; la fonction x croît sur [0 , 1].

De plus,

y0(t) = −30t2+ 54t − 12 = 6(−5t2+ 9t − 2).

Le polynôme entre parenthèse est un polynôme du second degré dont le discriminant est∆ = 81 − 40 = 41. Donc y0(t) s’annule pour t0 = α = −9+√41

−10 ≈ 0,26 et t00 = −9−√41

−10 ≈ 1, 5. y0(t) est du signe de −5 pour les valeurs de t à l’extérieur

des racines et du signe contraire à l’intérieur. On en déduit sur l’intervalle [0 , 1] :

(12)

On peut dresser le tableau de variations conjointes de x et y. t 0 α 1 x0(t) 0 + + 3 y0(t) −12 − 0 + 12 2 % x(t) 0, 18 % 0 0 5 y(t) & % −1, 47 points O B A3

(b) Au point O où t= 0, la dérivée de x s’annule mais pas celle de y. Un vecteur directeur de la tangente en A1à la courbe est #». La tangente en O à la courbe est parallèle à

l’axe des ordonnées.

Au point B où t = α, la dérivée de y s’annule mais pas celle de x, la tangente à la courbe en B admet pour vecteur directeur #»ı. La tangente à la courbe en B est parallèle à l’axe des abscisses.

(c) Au point A# » 3, d’après le cours, un vecteur directeur de la tangente à la courbe est A2A3de coordonnées(1, 4), cette tangente a donc pour coefficient directeur 4, son

équation réduite sera de la forme y = 4x + b.

Comme A3appartient à la tangente, ses coordonnées vérifient l’équation de la

tan-gente :

5 = 4 × 2 + b,

on en déduit b= −3. Une équation de la tangente T en A3à la courbe de Bézier est y = 4x − 3.

3. La courbe coupe l’axe des abscisses quand y(t) = 0 soit −t(10t2− 27t + 12) = 0, ce

qui se traduit par :

t= 0 (il s’agit ici du point O non demandé) ou 10t2− 27t + 12 = 0.

Le polynôme du second degré admet pour discriminant∆ = 272− 4 × 10 × 12 = 249. t0 =27 −20√249≈ 0, 56 et t00=27 +20√249 ≈ 2, 1.

t00∈ [0 , 1], cette valeur ne convient pas./

En arrondissant les valeurs trouvées à10−1 près, quand t = t0, le point d’intersection,

autre que O, de la courbe avec l’axe des abscisses est :

D(0.77, 0).

4. La figure suivante nous donne le tracé de la courbe de Bézier pilotée par les points

(13)

63.4 Etude de la cycloïde 21 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 y 1 2 x − →ı − →P 0 P3 P1 P2 B T D •

63.4

Etude de la cycloïde

Exemple 63.5 1. Un cercle(C), de rayon R > 0, roule sans glisser sur l’axe (Ox). On note I

le point de contact entre(C) et (Ox) et on note Ω le centre de (C) (Ω et I sont mobiles). M est un point donné de(C) (M est mobile, mais solidaire de (C)). On pose t = \(# »

ΩM,# » ΩI). Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour para-mètre).

2. Étudier et construire l’axe paramétré :

(

x= R(t − sin t) y= R(1 − cos t) où R est un réel strictement positif donné.



Dv

•Solution —

1. La condition de roulement sans glissement se traduit parOI# »=M I# »ou encore x= Rt.

On en déduit que :

xM = x+ x# »

ΩM = Rt + R cos(2π − π2 − t) = Rt − R sin t = R(t − sin t) yM = y+ y# »

(14)

2. — Pour tout réel t, M(t) existe.

— Pour tout réel t, M(t + 2π) = M(t) + #»uoù #»u(2πR, 0). Par suite, on trace la courbe

quand t décrit[0 , 2π] et la courbe complète est obtenue par translations de vecteurs

ku, k ∈ Z.

— Pour tout réel t, M(−t) = (−x(t), y(t)) = x(0y)(M(t)). On trace la courbe quand t

décrit[0 , π] puis on complète par réflexion d’axe (Oy) puis par translations.Étude des points singuliers. Pour t ∈ [0 , π],

x0(t) = R(1 − cos t) = 2R sin2 t 2  y0(t) = R sin t = 2R sin t 2  cos2t.

Le point M(t) est régulier si et seulement si t ∈ [0 , π]. Dans ce cas, la tangente en

M(t) est dirigée par2R sin(t/2) cos(t/2)2R sin2(t/2) ou encore parcos(t/2)sin(t/2). Étudions

égale-ment le point singulier M(0). Pour t ∈ [0 , π],

y(t) − y(0) x(t) − x(0) = R(1 − cos t) R(t − sin t) ∼t→0 t2/2 t3/6 = 3 t. Ainsi lim t→0+ y(t) − y(0) x(t) − x(0) = +∞

et la tangente en M(0) est dirigée par (0, 1). Ainsi, dans tous les cas, la tangente en M(t) est dirigée par le vecteurcos(t/2)sin(t/2). Par symétrie, M(0) est un point de rebroussement de première espèce. Sinon, x et y sont des fonctions croissantes sur [0 , π].

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