L42 [V2-VàC] – Croissance comparée de suites

9

Suites de terme général a

n

, n

p

et

ln n (a ∈ R

∗

+

, p ∈ N, n ∈ N

∗

)

42

Leçon

n°

Niveau Terminale S - BTS (Croissance comparée)

Prérequis fonctions exponentielles, fonctions logarithmes, suites numériques

Références [132], [133]

42.1

Etude de la suite a

(a ∈ R

+

, n ∈ N)

Théorème 42.1 Soit(un) la suite définie par un= an_{avec a ∈ R∗+.} 1. Si a ∈ ]1 , +∞[ alors (un) est croissante.

2. Si a= 1 alors (un) est constante. 3. Si0 < a < 1 alors (un) est décroissante.

Dv

•Démonstration du théorème42.1—Soit n ∈ N, on calcule le rapportun+1

un : un+1 un = an+1 an = an × a an = a. D’où :

1. Si a >1 alors un+1− un>1 donc (un) est croissante. 2. Si a= 1 alors un+1− un= 1 donc (un) est stationnaire. 3. Si0 < a < 1 alors un+1− un<1 donc (un) est décroissante.

•

Théorème 42.2 Soit(un) la suite définie par un= an_{avec a ∈ R∗+. Alors :} 1. Si a ∈ ]1 , +∞[ alors (un) est divergente (de limite +∞).

2. Si a= 1 alors (un) est constante (donc convergente vers 1). 3. Si0 < a < 1 alors (un) est convergente vers 0.

Pour démontrer le théorème42.2, on a besoin du lemme suivant :

Lemme 42.3 — Inégalité de Bernoulli. Pour tout réel x positif et tout entier naturel n, on a : (1 + x)n_{≥ 1 + nx.}

Dv

pour tout n ∈ N par :

P(n) := (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Initialisation On a P(0) puisque (1 + x)0_{≥ 1 + 0x pour tout x ∈ R+.}

Hérédité Montrons que, pour tout n ∈ N :

P(n) ⇒ P(n + 1). Soit n ∈ N. Supposons P(n) :

(1 + x)n

≥ 1 + nx.

Comme x >0, on a aussi 1 + x > 0. En multipliant l’inégalité ci-dessus par (1 + x), on obtient : (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x). Or : (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx2_{+ 1 + (n + 1)x + nx}2_. Comme nx2≥ 0, on a : (1 + nx)(1 + x) ≥ 1 + (n + 1)x. D’où : (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x. Ce qui est P(n + 1).

Donc, pour tout n ∈ N, on a :

(1 + x)n

≥ 1 + nx.

• •Démonstration du théorème42.2—

1. On suppose que a ∈ ]1 , +∞[. Posons x = a − 1. Alors x ∈ ]0 , +∞[. D’après l’inégalité de Bernoulli :

an= (1 + x)n≥ 1 + nx. Or,limn→+∞1 + nx = +∞. Par comparaison, on en déduit :

lim n→+∞a

n _{= +∞.} La suite(un) diverge donc vers +∞.

2. Si a= 1 alors le résultat est évident. 3. Si0 < a < 1 alors on pose :

a0 = 1 a. On a alors a0_{∈ ]1 , +∞[. D’après le résultat précédent :}

lim n→+∞a

42.2 Étude de la suite np_{(n ∈ N}∗_{et p ∈ N) 11}

et par passage à l’inverse, on obtient : lim n→+∞a

n_{= 0.} La suite converge donc vers0.

• 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 0 a= 1.8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 a= 1 −1 1 2 3 4 5 6 1 2 0 a= 0.6

FIGURE42.1 – Représentation graphique de la suite un= an_{avec a >1, a = 1 et a < 1}

42.2

Étude de la suite n

_{(n ∈ N}

_{et p ∈ N)}

Théorème 42.4 Soit(un) la suite un= np_{avec p ∈ N.} 1. Si p= 0 alors la suite (un) est stationnaire.

2. Si p >0 alors la suite (un) est strictement croissante.

Dv

•Démonstration du théorème42.4—Soit p ∈ N. On étudie la différence un+1− un.

un+1− un= (n + 1)p− np= (1 + n)p− np

développement de(1 + n)p_:

un+1− un= (n + 1)p− np= (1 + n)p− np= np+ · · · + 1 − np≥ 1

où · · · est le développement classique de Bernoulli. Ainsi un+1− un≥ 0, d’où la suite (un)

est croissante quand p 6= 0. •

Théorème 42.5 Soit(un) la suite un= np_{avec p ∈ N.}

1. Si p= 0 alors la suite (un) est stationnaire donc converge vers 1. 2. Si p >0 alors la suite (un) diverge vers +∞.

Dv

•Démonstration du théorème42.5—Si p= 0 alors un = 1, d’où le résultat. On suppose que p 6= 0. On sait que :

lim

n→+∞n= +∞. (42.1)

Par récurrence :

Initialisation Si p = 1 alors on applique (42.1) :limn→+∞n= +∞.

Hérédité Supposons que pour un rang p ≥ 1 fixé, on a montré lim

n→+∞n

p_{= +∞.} On montre alors la propriété au rang p+ 1. On a alors :

lim n→+∞n

p+1_{= lim} n→+∞n× n

p_.

Or, par hypothèse de récurrence,limn→+∞np = +∞. En appliquant les propriétés de

produit de limite avec (42.1), on obtient alors : lim n→+∞n

p+1_{= +∞.}

•

42.3

Étude de la suite

_{ln(n) (avec n ∈ N}

₎

Théorème 42.6 Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ N∗ _{par un = ln(n). La suite (un) est}

strictement croissante.

Dv

•Démonstration du théorème42.6—On étudie la différence un+1− un: un+1− un= ln(n + 1) − ln(n) = ln(n+1_n ). Or n ≥ 1 et n + 1 ≥ n donc n+1

n ≥ 1 donc ln( n+1

42.3 Étude de la suite_{ln(n) (avec n ∈ N}∗_{) 13} 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 p= 0 a= 0.6 1 2 1 2 3 4 5 0 p= 2 a= 0.6

FIGURE42.2 – Représentation graphique de la suite un= np_{avec p}= 0 et p > 0

croissante. •

Théorème 42.7 Soit(un) la suite définie pour tout n ∈ N∗ _{par un = ln(n). La suite (un) diverge}

vers+∞.

Dv

•Démonstration du théorème42.7—On utilise le fait que silimx→+∞f(x) = +∞ alors

limn→+∞f(n) = +∞. Si limx→+∞f(x) = +∞ alors pour tout M ∈ R, il existe xm∈ R tel que

x > xm≥ f(x) > M

En prenant la partie entière dans chaque membre de l’inégalité, on obtient la propriété. En particulier : lim x→+∞ln(x) = +∞ ⇒ limn→+∞ln(n) = +∞. • 1 2 3 4 5 6 −1 1 2 3 0 p= 2 a= 0.6

42.4

Croissance comparée

Lorsque plusieurs suites tendent vers+∞, la croissance comparée se propose de déterminer la-quelle croît le « plus vite ».

Définition 42.8 — Suite dominée. Une suite(un) est dite dominée par une suite (vn), quand n tend vers+∞ si et seulement si on peut trouver un réel positif A et un entier N qui vérifient

n < N ⇒ |un| ≤ A × |vn| .

R 42.9 (Notation de Landau) On notera O(vn) l’ensemble des suites dominées par (vn).

Définition 42.10 — Suites négligeables. Une suite(un) est dite négligeable devant une suite (vn), quand n tend vers+∞ si et seulement si on peut trouver une suite (εn) qui vérifie :

(

un= εn× vn, ∀n ∈ N limn→+∞εn= 0

.

R 42.11 (Notation de Landau) On notera o(vn) l’ensemble des suites négligeables devant (vn). Théorème 42.12 Si la suite(vn) ne s’annule pas au delà d’un certain rang, on a

un∈ o(vn) ⇔ lim n→+∞

un vn = 0.

Théorème 42.13 La suite géométrique (ou exponentielle) un = an _{de raison a ∈ N strictement} supérieure à1 croit plus vite que toute puissance de n, vn= np_{avec p ∈ N :}

np_{∈ o(a}n) ou encore lim n→+∞

an

np = +∞.

Théorème 42.14 La suite géométrique (ou exponentielle) un = an _{de raison a ∈ N strictement} supérieure à1 et la suite puissance vn= np_{, pour tout p ≥ 1 croit plus vite que la suite logarithmique,} wn= ln(n) :

ln(n) ∈ o(an_{) et ln(n) ∈ o(n}p_{) .}

Dv

•Démonstration du théorème42.14—Posons r= a − 1, on a aussitôt : an = (1 + r)n avec0 < r. Soit N un entier naturel vérifiant p < N, pour tout entier n supérieur à N + 1, on écrit le développement du binôme :

(1 + r)n ₌ n X k=0 _n k  rk> _n N  rN.

main-42.4 Croissance comparée 15

tenant n supérieur à2N, le coefficient du binôme vérifie : _n N  = n× (n − 1) × · · · × (n − N + 1)_N! > n N 2N_{× N!}. Ainsi, nous avons :

p < N, 2N < n ⇒ n N 2N _{× N!}× r N _{< a}n ⇒ (a − 1) N 2N_{× N!} × nN np < an np. L’exposant N − p étant strictement positif, nN

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[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x.

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[124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf

[126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux. net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf

[128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free.

fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.

URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/

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[132] G. COSTANTINI, Suites numériques, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/