L37 [V2-VàC] – Problèmes de lieux géométriques

9

Problèmes de lieux géométriques

37

Leçon

n°

Niveau Terminale S

Prérequis barycentre, produit scalaire, complexe, formules trigonométriques, relation de

Chasles, detérminant

Références [104], [105], [106], [107], [121], [122], [123], [124]

37.1

Définition d’introduction

Définition 37.1 — Lieu géométrique. Un lieu géométrique est un ensemble de points satisfaisant certaines conditions, données par un problème de construction géométrique.

Dans cette leçon, on donne des problèmes de lieux géométriques.

37.2

Médiatrice

Définition 37.2 — Médiatrice. _{Une médiatrice M d’un segment [AB] est l’ensemble des points M} tel que AM = BM :

M = {M, AM = BM}

Exemple 37.3 Soit(O, #»ı, #») un repère orthonormé du plan, A = (−2, 0) et B = (2, 0). L’ensemble

des points M équidistants de A et de B est la médiatrice[AB], précisément l’axe (O, #»). 

37.3

Le cercle

Définition 37.4 — Cercle. _{Un cercle C de centre O de rayon r est l’ensemble des points M tel que}

OM = r.

C = {M, OM = OR}

Exemples 37.5 1. Soit O et A deux points. L’ensemble

C = {M, OM = OA} est le cercle de centre O et de rayon[OA].

2. Soit A et B deux points. On cherche à représenter géométriquement l’ensemble C =  M, 1 2AB= AM  .

On introduit I le milieu de[AB]. On a ainsi 1

2AB = AI. D’où C est le cercle de centre A et de rayon[AI].

37.4

Utilisation des barycentres

Exemple 37.6 ABC est un triangle dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité1 cm.

1. On va déterminer l’ensemble E1des points M tels que M B# »+ 2M C# » = 6 cm. Pour réduire

la somme vectorielle, on pose G1_{# »} le barycentre de(B, 1), (C, 2) (que l’on peut construire avec

BG1= 2₃BC# »). Alors, pour tout point M :

# »

M B+ 2M C# »= (1 + 2)M G# »1 = 3M G# »1. E1est donc l’ensemble des points M tels que

3M G# »1 = 6 cm ⇔ M G# »1 = 2 cm. On en

déduit que E1est le cercle de centre G1et de rayon2 cm.

A B

C G1

E₁

2. Soit ABC un triangle. On va construire l’ensemble E2des points M tels que :

3M A# »+M B# » = 2 M A# »+M C# » . On note — G2le barycentre de(A, 3) et (B, 1), — G3le barycentre de(A, 1) et (C, 1). Pour tout point M, on a alors :

— 3# »

M A+M B# »= (3 + 1)M G# »2 = 4M G# »2,

— M A# »+M C# »= (1 + 1)M G# »3 = 2M G# »3. E2 est donc l’ensemble des points M tels que

4M G# »2 = 2 2M G# »3 ⇔ kMG2k = kMG3k. On en déduit que E2est la médiatrice de[G2, G3].

E2 A B C G2 G₃ 

37.5 Utilisation du produit scalaire 11

37.5

Utilisation du produit scalaire

1. On cherche tout d’abord l’ensemble des points M tels que MA2+ MB2 _{= k.}

Propriété 37.7 Soit I le milieu du segment[AB] (avec A 6= B). Pour tout point M, on a :

M A2+ MB2 = 2IM2+AB

2

2 (Théorème de la médiane).

Etant donné un réel k, on en déduit que l’ensemble des points M tels que MA2+ MB2_{= k} est un cercle, ou un point ou l’ensemble vide.

Exemple 37.8

Soit A et B deux points tels que AB = 2. On cherche à déterminer l’ensemble E des points

M tels que MA2+ MB2 = 20. On utilise le

théorème de la médiane : M A2+ MB2 = 20 ⇔ 2IM2+AB 2 2 = 20 ⇔ 2IM2+4₂ = 20 ⇔ IM2 = 9 ⇔ IM = 3

(car IM > 0). L’ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon3.

A I B

E:_{M, M A2+MB2_=20}



2. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que M A# »_·M B# » = k. Pour cela, on

décomposeM A# »etM B# »en passant par I le milieu de[AB].

Exemple 37.9

Soit A et B deux points tels que AB = 4. On cherche à déterminer l’ensemble E des points

M tels queM A# »·M B# »= 12. # » M A_·M B# »= 12 ⇔ (M I# »+IA# »)·(M I# »+IB# ») = 12. Or,IB# »= −IA# ». On a donc : (# » M I+IA# ») · (M I# »−IA# ») = 12 ⇔ MI2− IA2 = 12 ⇔ MI2− 22 = 12. On en déduit que M ∈ E ⇔ MI2 = 16 ⇔

M I = 4. E est donc le cercle de centre I et

de rayon4

A I B



3. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels queAM# »·#»

u = k. Pour cela, on cherche

un point particulier H appartenant à l’ensemble. On a alorsAH# »_·#»u = k. Ainsi,

# » AM ·#» u = k ⇔AM# »·#» u =AH# »·#» u ⇔ (AM# »−AH# ») · #»u ⇔HM# »·#» u = 0 ⇔HM# »⊥ #» u .

L’ensemble est alors la droite passant par H de vecteur normal #»u.

Exemple 37.10 Soit A et B deux points tels

que AB = 3. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels queAM# »_·AB# »=

−6. Soit H le point de la droite (AB) tel que_{# »}

AH etAB# »soient de sens contraires et tel que AH_{× AB = 6 ⇔ AH =} 6₃ = 2. Ainsi, on a bienAH# »_·AB# »= −6. Dès lors : # » AM _·AB# »= −6 ⇔AM# »·AB# »=AH# »·AB# » ⇔ (AM# »−AH# ») ·AB# »= 0 ⇔HM# »_·AB# »= 0 ⇔HM# »_⊥AB.# »

L’ensemble E est alors la droite perpendicu-laire à(AB) passant par H.

A

B

H

E:{M, AM·AB=−6}



37.6

Utilisation des homothéties et des translations

 Exercice 37.11 On considère deux points distincts A et B. Pour tout point M du plan, soit I le

milieu de[AM] et G le barycentre de (A, −1), (B, 2) et (M, 1) 1. Faire une figure.

2. Démontrer que I est l’image de M par une transformation du plan à déterminer. Démontrer que G est l’image de I par une transformation du plan à déterminer.

3. En déduire

— le lieu des points I lorsque M décrit le cercle de diamètre[AB] ; — le lieu des points G lorsque M décrit le cercle de diamètre[AB] ;

— le lieu des points I lorsque M décrit la droite perpendiculaire à(AB) en B ; — le lieu des points G lorsque M décrit la droite perpendiculaire à(AB) en B.



Dv

•Solution de l’exercice37.11—

1. G étant le barycentre de(A, −1), (B, 2) et (M, 1), on a : −# »

37.6 Utilisation des homothéties et des translations 13 # »

AG+ 2GB# »+GM# »= #»0 etAM# »+ 2GB# » = #»0 , d’oùBG# »= 1₂AM# ». I étant le milieu de

[AM], on en déduit que # »

BG=AI# ». A M B I G

2. I étant le milieu de[AM], on a# »

AI= 1₂AM# ». Donc I est l’image de M par l’homothétie de centre A et de rapport 1₂. On a vuBG# » = AI# », donc BGIA est un parallélogramme, doncIG# »=AB# ». Donc G est l’image de I par la translation de vecteurAB# ».

3. Par l’homothétie de centre A et de rapport1₂, le point A est invariant et le point B a pour image le point K tel queAK# »=1₂AB# », c’est-à-dire le milieu de[AB]. I étant l’image de

M par l’homothétie de centre A et de rapport 1₂, lorsque M décrit le cercle de diamètre

[AB], I décrit le cercle de diamètre [AK].

Par la translation de vecteurAB# », le point A a pour image B et le point K a pour image

Ltel queKL# »=AB# ». G étant l’image de I par la translation de vecteurAB# », lorsque M

décrit le cercle de diamètre[AB], I décrit le cercle de diamètre [AK] et G décrit le cercle de diamètre[BL]. K A B M I G L M A _K B I G L

Lorsque M décrit la droite perpendiculaire à(AB) en B, I décrit la droite perpendiculaire à(AK) en K et G décrit la droite perpendiculaire à (BL) en L.

•

Exercice 37.12 Soient A et B deux points distincts, I le milieu de[AB]. Soit (d) la médiatrice de

[AB]. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon AI et (C0_{) le cercle de diamètre [AB]. A tout point}

M, on associe le point M0 barycentre de(A, −1) et (M, 2). Déterminer le lieu géométrique de M0

lorsque M décrit : 1. la droite(AB) 2. la droite(d) 3. le cercle(C) 4. le cercle(C0₎ 

Dv

•Solution de l’exercice37.12—M0_{est le barycentre de(A, −1) et (M, 2), on a donc :} −M# »(A + 2M# »0M =#»0 ⇔ −M# »0A+ 2(M# »0A+AM# ») = #»0 ,

c’est-à-direM# »0A+ 2M A# »= #»0 doncAM# »0 = 2AM# ». On en déduit que M0est l’image de M

par l’homothétie de centre A et de rapport2.

A

B I M

M0

1. A étant le centre de l’homothétie, on a A0_{= h(A) = A. De plus, l’image de B par h est}

B0 = h(B) avecAB# »0 = 2AB# ». Si M décrit la droite(AB), M0décrit la droite(A0B0).

Or A0 _{et B}0 _{se trouvent sur la droite(AB), donc la droite (A}0_B0_{) est la droite (AB).} Lorsque M décrit la droite(AB), M0_{décrit la droite(AB).}

A

B I

M M0

2. La droite(d), médiatrice de [AB] est la droite passant par I et perpendiculaire à (AB). Comme I est le milieu de[AB], on a# »

AB= 2AI# ». Donc B est l’image de I par h. Si M

décrit la droite(d) passant par (I) et perpendiculaire à (AB), alors M0 _{décrit la droite} (d0_{) passant par I}0 _{= B et perpendiculaire à (A}0_B0_{) = (AB). Lorsque M décrit la droite} (d) médiatrice de [AB], M0_{décrit la droite(d}0_{) passant par B et perpendiculaire à (AB).}

B A

I M

M0

3. Si M décrit le cercle(C0_{) de centre A et de rayon (AI), alors M}0 _{décrit le cercle de} centre A0 _{= A et de rayon 2AI = AB, c’est-à-dire le cercle de centre A et passant par}

37.7 Théorème de l’arc capable 15 A B I M M0

4. Si M décrit le cercle (C0_{) de diamètre [AB], alors M}0 _{décrit le cercle de diamètre} [A0_B0_{] = [AB}0_{]. CommeAB}# »0 _{= 2AB}# »_{, B est le milieu de[AB}0_{], donc le cercle de} diamètre[AB0_{] est le cercle de centre B passant par A. Lorsque M décrit le cercle (C}0₎ de diamètre[AB], M0_{décrit le cercle de entre B passant par A.}

A B I M M0 D •

37.7

Théorème de l’arc capable

37.7.1 Théorème de l’angle au centre

Théorème 37.13— Théorème de l’angle au centre. Soient M, A, B trois points distincts d’un cercle de centre O, T un point de la tangente en A (T 6= A). L’angle au centre (OA,# » OB# ») est égal au double

de l’angle inscrit(# »

M A,M B# ») et au double de l’angle de la tangente (AT ,# » AB# ») :

(# »

OA,OB# ») ≡ 2(M A,# » M B# ») (mod 2π)

O A B M T Dv •Démonstration —

— La somme des angles orientés du triangle MAO est égale à π : (# »

M A,M O# ») + (AO# »+AM# ») + (OM ,# » OA# ») ≡ π (mod 2π).

On a aussi(# »

M A,M O# ») ≡ (AO,# » AM# ») (mod 2π) car MAO est isocèle, d’où :

2(# »

M A,M O# ») + (OM ,# » OA# ») ≡ π (mod 2π).

Les mêmes considérations dans le triangle MOB mènent à l’égalité analogue : 2(# »

M O,M B# ») + (OB,# » M A# ») ≡ π (mod 2π).

En ajoutant ces deux égalités, on obtient : 2(# »

M A,M O# ») + 2(M O,# » M B# ») + (OM ,# » OA# ») + (OB,# » M A# ») ≡ 0 (mod 2π),

d’où par la relation de Chasles, 2(# »

M A,M B# ») + (OB,# » OA# ») ≡ 0 (mod 2π)

ce qui donne la première égalité de l’énoncé. — On a :

2(# »

AT ,AB# ») = 2(AT ,# » AO# ») + 2(AO,# » AB# ») ≡ π + 2(AO,# » AB# ») (mod 2π).

La somme des angles orientés du triangle isocèle AOB étant égale à π, on a : 2(# »

AO,AB# ») ≡ π − (OB,# » OA# ») (mod 2π).

D’où :

2(# »

AT ,AB# ») = π + π − (OB,# » OA# ») ≡ (OA,# » OB# ») (mod 2π).

•

37.7 Théorème de l’arc capable 17

Théorème 37.14— Théorème du cercle capable. Soient A, B deux points distincts du plan affine euclidien orienté et α ∈ R (α 6≡ 0 (mod π)).

L’ensemble Eαdes points M du plan tels que :

(# »

M A,M B# ») ≡ α (mod π)

est le cercle passant par A et B et dont la tangente(AT ) en A vérifie (AT ,# » AB# ») ≡ α (mod π) privé

des points A et B.

Ce cercle s’appelle cercle capable d’angle α du couple(A, B).

Dv

•Démonstration —On munit l’espace d’un repère orthonormé direct(O, #»ı, #») de manière à ce que A et B aient pour coordonnées A(−a, 0) et B(a, 0) avec a ∈ R∗

+. En notant z l’affixe du point M(x, y) autre que A et B, on a :

M _{∈ E}α⇔ ( # » M A,M B# ») ≡ α (mod π) ⇔ arg _z − a z+ a  ≡ α (mod π)

⇔ arg((z − a)(z + a)) ≡ α (mod π) ⇔ arg((z − a)(z + a)e−iα) ≡ 0 (mod π) ⇔ Im((x + iy − a)(x − iy + a)(cos α − i sin α)) = 0

⇔ −(x2+ y2− a2) sin α + 2ay cos α = 0

⇔ x2+ y2− 2ay cotan(α) − a2= 0 ⇔ x2+ (y − a cotan(α))2= a 2 sin2_α. Donc Eαest le cercle C de centre de coordonnées (0, a cotan α) et de rayon_{|sin α|}a .

De plus, si T est un point de la tangente en A au cercle C (T 6= A), d’après le théorème de l’angle au centre, on a :

(# »

AT ,AB# ») ≡ (M A,# » M B# ») (mod π) ≡ α (mod π).

•

37.7.3 Théorème de l’arc capable

Théorème 37.15— Théorème de l’arc capable. Soient A, B deux points distincts du plan affine euclidien orienté et α ∈ R (α 6≡ 0 (mod π)). L’ensemble Eαdes points M du plan tels que :

(# »

M A,M B# ») ≡ α (mod 2π)

est l’arc en cercle ouvertAB_ du cercle capable C d’angle α du couple (A, B) qui est l’intersection de

C avec le demi-plan ouvert délimité par (AB), qui ne contient pas la demi-tangente [AT ) au cercle en A, où T est le point de la tangente tel que(# »

AT ,AB# ») ≡ α (mod 2π).

Cet arc est appelé arc capable d’angle α du couple (A, B). L’autre arc ouvert AB_ est l’arc capable d’angle α+ π du couple (A, B).

Dv

•Démonstration —On notesign(x) le signe d’un réel non nul x. On a l’équivalence : (# »

M A,M B# ») ≡ α (mod 2π) ⇔ (M A,# » M B# ») ≡ α (mod π)

et sign(sin(# »

M A,M B# »)) = sign(sin α).

La première condition équivaut à l’appartenance de M au cercle capable C d’angle α. Il suffit donc de vérifier que la deuxième condition équivaut à l’appartenance de M au demi-plan ouvert dont parle le théorème.

On choisit un repère orthonormé direct(A, #»ı, #») tel que# »

AB= a#»ı avec a = AB. Comme :

det(# »

M A,M B# ») = MA × MB × sin(M A,# » M B# »)

dans la base(#»ı, #»), son signe est celui du sinus. En fonction de M(x, y), # »

M AetM B# »ont pour composantes respectives(−x, −y) et (a −

x,_−y), det(# » M A,M B# ») = ay donc sign(sin(# » M A,M B# »)) = sign(ay) = sign(y).

La condition cherchée équivaut donc à l’appartenance de M au demi-plan P , délimité par (AB) dans lequel sign(y) = sign(sin α).

Pour tout point T de la tangente en A (T 6= A), on a : (# »

AT ,AB# ») ≡ α (mod π).

Donc (# »

AT ,AB# ») ≡ α (mod 2π) si et seulement si on a de plus sign(sin(AT ,# » AB# »)) =

sign(sin α), ou encore sign(det(# »

AT ,AB# »)) = sign(sin α).

En fonction de T(x, y), les composantes respectives de # »

AT et deAB# »sont(x, y) et (a, 0) et on adet(# »

AT ,AB# ») = −ay.

On a doncsign(sin(# »

AT ,AB# »)) = sign(sin α) si et seulement si T est dans le demi-plan ouvert

où_{sign(y) = − sign(sin α), c’est-à-dire dans le demi-plan opposé à celui de M.}

Cette démonstration reprise avec α+ π mène à un second arc capable qui est l’intersection du cercle capable d’angle α+ π, qui n’est autre que C avec le demi-plan ouvert, délimtié par(AB), qui ne rencontre pas la demi-tangente [AT ) à C en A, quand (# »

AT ,AB# ») ≡ α + π

(mod 2π). C’est donc le second arc capableAB_ du cercle capable. •

37.8

Un exemple de recherche de lieux en utilisant un repère

 Exemple 37.16 Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et BC = 2. On détermine

l’ensemble E des points M du plan vérifiant l’équation :

37.8 Un exemple de recherche de lieux en utilisant un repère 19

A B

C



Dv

Pour trouver l’ensemble E de manière analytique, nous allons nous placer dans le repère non or-thonormé(A,# »

AB,AC# »). Dans ce repère l’origine A a pour coordonnée (0; 0), B(1; 0) et C(0; 1).

A B

C

Comme le repère choisi n’est pas orthonormé, la formule des normes de vecteurs ne s’applique pas. On détermine une autre formule. Si le vecteur #»u a pour coordonnées(x; y) dans le repère

(A,# »

AB,AC# ») alors :

#»

u = xAB# »+ yAC.# »

La norme d’un vecteur est égale à la racine carré de son carré scalaire. Ainsi : k#» u_{k =}q_h#» u ,#» u_{i =}rDxAB# »+ yAC, x# » AB# »+ yAC# »E =rx2 AB# » 2+ 2xyDAB,# » AC# »E+ y2 AC# » 2 Or : kABk2 = AB2 = 16 et kACk2= AC2= 9. Reste à calculer le produit scalaireDAB,# » AC# »E:

D# »

AB,AC# »E=D₋BA,# » AC# »E= −DBA,# » AC# »E

= −1₂ BA# »+AC# » 2₋ BA# » 2₋ AC# » 2



= −1₂[22− 42− 32] = −1₂[4 − 16 − 9] = −1₂(−21) = 10, 5. Ainsi, la norme du vecteur vvu(x; y) dans le repère (A;# »

AB,AC# ») est donnée par :

k#»

Soient M(x, y) et I(a, b) dans (A;AB,AC). Le carré de la distance IM est donné par : IM2 = IM# » = k(x − a; y − b)k2

=q16(x − a)2_{+ 21(x − a)(y − b) + 9(y − b)}22

= 16(x2_{− 2ax + a}2_{) + 21(xy − bx − ay + ab) + 9(y}2_{− 2by + b}2₎

= 16x2_{+ (−32a − 21b)x + 9y}2_{+ (−21a − 18b)y + 21xy + 16a}2_{+ 21ab + 9b}2_. Ainsi, on peut décrire tous les points M(x; y) de l’ensemble E.

M(x, y) ∈ E ⇔ 3AM2− 4BM2+ 2CM2 = 26 ⇔ 3 AM# » 2_{− 4} BM# » 2+ 2 CM# » 2 = 26 ⇔ 3(16x2+ 21xy + 9y2− 4(16(x − 1)2+ 21(x − 1)y + 9y2) + 2(16x2+ 21x(y − 1) + 9(y − 1)2 = 26 ⇔ · · · ⇔ 16x2+ 86x + 9y2+ 48y + 21xy − 72 = 0.

L’équation16x2_+86x+9y2_{+48y+21xy−72 = 0 semble être une équation cartésienne d’un} cercle. Il faut en déterminer les coordonnées du centre et son rayon. La formule donnant IM2 va nous être utile, ici.

IM2 = 16x2+ 9y2+ 21xy + 86x + 48y − 72 = 0

= 16x2+ 9y2+ 21xy + (−32a − 21b)x + (−21a − 18b)y − 72 = 0

Les coordonnées(a, b) du centre I de notre cercle sont les solutions du système 2 × 2 suivant :

(

−32a − 21b = 86 −21a − 18b = 48 Après calculs, on trouve a= −4 et b = 2. Ainsi :

M(x, y) ∈ E ⇔ 16x2+ 9y2+ 21xy + 86x + 48y − 72 = 0

⇔ IM2− [16 × (−4)2+ 21 × (−4) × 2 + 9 × 22] − 72 = 0 ⇔ IM2− 124 − 72 = 0 ⇔ IM2= 196 ⇔ IM = 14.

Conclusion : l’ensemble E est le cercle de rayon 14 et de centre le point I défini par : # »

Bibliographie

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