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L48 [V2-VàC] – Fonctions polynômes du second degré

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(1)

9

Fonctions polynômes du second

degré

48

Leçon

Niveau Première S

Prérequis notion de fonctions, polynômes Références [60]

48.1

Fonction trinômes du second degré

Définition 48.1 — Fonction trinômes du second degré. On appelle fonction trinôme du second degré toute fonction f définie sur R qui peut s’écrire f(x) = ax2+ bx + c, où a, b et c sont trois nombres et a 6= 0.

R 48.2 Une fonction trinôme est une fonction polynôme. On dit indifféremment fonction trinôme du second degré

ou trinôme.

Exemples 48.3 1. f : x 7→ (x + 1)(x + 2) et g : x 7→ (x − 1)(x + 1) sont des fonctions

trinômes du second degré, car elles peuvent s’écrire f(x) = x2+ x − 2 et g(x) = x2− 1.

2. h: x 7→ (x − 1)2− (x + 2)2n’est pas une fonction trinôme du second degré, car, en

dévelop-pant, on obtient h(x) = 6x − 3.

 Propriété 48.4 Pour tout trinôme f : x 7→ ax2+ bx + c avec a 6= 0, il existe deux nombres tels que :

f(x) = a[(x − α)2− β].

Cette écriture est appelée forme canonique du trinôme

Dv

•Démonstration de la propriété48.4—Comme a 6= 0, on peut écrire

ax2+ bx + c = a  x2+ b ax+ c a  . x2+b

axest le début du développement de x+ b 2a 2 . En effet,  x+2ab 2 = x2+b ax+  b 2a 2 , d’où x2+ b ax=  x+2ab 2 −  b 2a 2 .

(2)

Donc : ax2+ bx + c = a " x+ b 2a 2 −4ab22 +ac # = a"x+2ab 2 −b 2− 4ac 4a2 # = a[(x − α)2− β] avec α= − b 2a et β=b 2−4ac 4a2 . • Exemple 48.5 On a : 2x2− 6x − 1 = 2x2− 3x − 1 2  . x2− 3x est le début du développement dex322. Donc :

2x2− 6x − 1 = 2"x3 2 2 −94 +12 # = 2"x3 2 2 −114 # . D’où α= 32 et β= 114 . 

D’après la propriété48.4, la fonction trinôme du second degré f : x 7→ ax2+ bx + c, avec a 6= 0,

peut aussi s’exprimer par x 7→ a[(x−α)2−β]. Donc f est une fonction associée à la fonction x 7→ x2 par la parabole P d’équation y = x2.

Propriété 48.6 La courbe représentative de la fonction f : x 7→ ax2+ bx + c, avec a 6= 0 s’obtient

à partir de la parabole P d’équation y = x2en effectuant une translation de vecteur α#»ı+ β #», puis « une multiplication par a ».

Conséquence 48.7 Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f : x 7→

ax2+ bx + c avec a 6= 0, admet un axe de symétrie d’équation x = −2ab .

Définition 48.8 — Parabole. Dans un repère du plan, la courbe représentative d’une fonction trinôme du second degré f : x 7→ ax2 + bx + c, avec a 6= 0, s’appelle une parabole. Son équation est

y= ax2+ bx + c.

R 48.9 On appelle aussi « parabole » la représentation de la fonction carré.

Propriété 48.10 Soit f : x 7→ ax2+ bx + c avec a 6= 0, une fonction trinôme. Les variations de f sur

R sont : — Si a >0 : x −∞ 2ab +∞ f & % f(−2ab ) f a un minimum.

(3)

48.1 Fonction trinômes du second degré 11 ∆ S j i O (a) a >0 ∆ S j i O (b) a <0

FIGURE48.1 – L’axe de symétrie dans le repère(O, i, j) est ∆ : x = −2ab et les coordonnées de S

dans le repère(O, i, j) est S(− b

2a, f(−2ab )) — Si a <0 : x −∞ 2ab +∞ f(−2ab ) f % & f a un maximum.

Méthode 48.11 Pour donner le tableau de variations d’une fonction trinôme, il faut : 1. Ecrire f(x) sous forme canonique : f(x) = a[(x − α)2+ β].

2. Déduire le tableau de variations.

Exemple 48.12 On donne le tableau de variation de f définie par f(x) = x2− 3x + 1. On écrit f(x)

sous forme canonique

f(x) =  x− 32 2 − 3 2 2 + 1 soit : f(x) =  x−32 2 −54.

Sachant que a >0, f admet un minimum f(3

2), soit −54. On dresse le tableau de variations de f.

x −∞ 32 +∞

f & %

(4)



48.2

Equations du second degré

Définition 48.13 — Discriminant. On appelle discriminant de l’expression ax2+ bx + c, avec a 6= 0, le nombre b2− 4ac, noté ∆.

Propriété 48.14 Soit l’équation ax2+ bx + c = 0, avec a 6= 0, de discriminant ∆. — Si∆ > 0, l’équation a deux solutions distinctes x1et x2:

x1 = −b2a√∆ et x2= −b+2a√∆.

On a ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2).

— Si∆ = 0, l’équation a une seule solution x0, x0: −b2a. On a ax2+ bx + c = a(x − x0)2.

— Si∆ < 0, l’équation n’a pas de solution. ax2+ bx + c ne se factorise pas.

Dv

• Démonstration de la propriété48.14— Soit l’équation ax2+ bx + c = 0. L’équation s’écrit : a " x+ b 2a 2 −b 2− 4ac 4a2 # = 0. En posant∆ = b2− 4ac, elle s’écrit

a " x+2ab 2 −4a2 # = 0. soit :  x+ b 2a 2 −4a∆2 = 0, car a 6= 0.

— Si∆ > 0, alors ∆ est le carré de√∆ :  x+2ab 2 − √ ∆ 2a !2 = x+2ab + √ ∆ 2a ! x+2a −b √ ∆ 2a ! . L’équation s’écrit x+ b 2a+ √ ∆ 2a ! x+ b 2a − √ ∆ 2a ! = 0. Donc x+ b 2a+ √ ∆ 2a = 0 ou x +2ab − √ ∆ 2a = 0, soit : x= −b− √ ∆ 2a ou x= −b+ √ ∆ 2a .

(5)

48.2 Equations du second degré 13 — Si∆ = 0, x + b 2a 2 −4a∆2 = 0 s’écrit  x+2ab 2 = 0. Ce carré est nul si, et seulement si,

 x+ b 2a  = 0 soit x= − b 2a. — Si∆ < 0, x + b 2a 2

4a∆2 est strictement positif donc ne s’annule jamais. Il n’y a pas

de solution à l’équation.

Définition 48.15 On appelle racine d’un polynôme P toute solution de l’équation P(x) = 0.

Exemples 48.16 — Résoudre l’équation3x2− 2x + 5 = 0. Pour cette équation, a = 3, b = −2

et c = 5, donc ∆ = −56. L’équation n’a pas de solution (le polynôme 3x2− 2x + 5 n’a pas

de racine).

— Résoudre l’équation x2+ 2x − 15 = 0. Pour cette équation, a = 1, b = 2 et c = −15, donc ∆ = 64. On a x1 = −2−√642 et x2 = −2+√642 , soit x1 = −5 et x2 = 3. L’équation a deux

solutions (le polynôme x2+ 2x − 15 a deux racines).

 R 48.17 Pour résoudre certaines équations telles que x2− 5 = 0 ou x2− 3x = 0, l’utilisation du discriminant

n’est pas utile.

Méthode 48.18 Pour résoudre une équation du second degré,

1. Vérifier qu’il s’agit d’une équation du second degré et si l’utilisation du discriminant est utile.

2. Calculer le discriminant∆ et déterminer son signe.

Exemples 48.19 1. On veut résoudre2x2− 4x − 5 = 0. Il s’agit d’une équation du second

degré et on calcule le discriminant b2− 4ac :

∆ = (−4)2− 4 × 2 × (−5)

car a = 2, b = −4 et c = −5, d’où ∆ = 56. ∆ est strictement positif, il y a deux solutions distinctes données par les formules

x1 = −b+2a√∆ = 4 +4√56 et x2= −b2a√∆ = 4 −4√56,

soit :

x1 = 2 +√14

2 et x2= 2 −2√14.

2. On veut résoudre l’équation4x2− 5 = 0. Pour cette équation, le calcul du discriminant n’est

pas utile. L’équation s’écrit x2 = 5

4. Il y a deux solutions opposées, soit :

(6)

3. On veut résoudre l’équation 43x2+25 = 0. Pour cette équation, le calcul du discriminant n’est

pas utile. 43x2+ 25 est strictement positif, donc il n’y a pas de solutions.

4. On veut résoudre l’équation3x2+ 5x = 0. Pour cette équation, le calcul du discriminant n’est

pas utile, car elle se factorise immédiatement :

x(3x + 5) = 0

soit x1= 0 et x2 = −53.



48.3

Signe du trinôme du second degré

Propriété 48.20 Soit ax2+ bx + c, avec a 6= 0, de discriminant ∆. Le signe de ax2+ bx + c est :

— Si∆ < 0, le signe de a pour tout x de R (ax2+ bx + c n’a pas de racine).

— Si∆ = 0, le signe de a pour tout x de R sauf x0(x0est la racine de ax2+ bx + c).

— Si∆ > 0,

— le signe de a pour tout x de]−∞ , x1[ ∪ ]x2,+∞[

— le signe de −a pour tout x de ]x1, x2[

(x1et x2sont les racines de ax2+ bx + c (x1 < x2)).

Dv

•Démonstration de la propriété48.20—ax2+ bx + c sous forme canonique s’écrit a  x+2ab  −4a2 avec a 6= 0. — Si∆ < 0 alorsh x+ b 2a 2 −4a∆2 i

est positif et le signe de ax2+ bx + c est celui de a. — Si∆ = 0 alors ax2+bx+c = a x + b

2a 2

et son signe est celui de a sauf pour x0= −2ab .

— Si∆ > 0 alors ax2+ bx + c se factorise :

ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Soit x1< x2, on a le tableau de signes ci-dessous :

x −∞ x1 x2 +∞

x− x1 − 0 + +

x− x2 − − 0 +

(x − x1)(x − x2) + 0 − 0 +

a(x − x1)(x − x2) sgn a 0 sgn −a 0 sgn a

sgn a est le signe de a.

 Exemple 48.21 On note f(x) = x2+ x − 2. On cherche le signe de f. ∆ = 9 et f(x) a deux

racines : −2 et 1. Le coefficient a de x2est positif. Donc f(x) < 0 pour tout x de ]−2 , 1[ (« entre » les racines) ; f(x) > 0 pour tout x de ]−∞ , 2[ ∪ ]1 , +∞[ (« à l’extérieur » des racines). 

(7)

48.4 Sur les paraboles 15 Méthode 48.22 On veut déterminer le signe d’un trinôme du second degré.

1. Si le cas est évident, le signe se déduit directement. 2. Sinon calculer le discriminant∆.

— Si∆ < 0, le trinôme est toujours du signe de a.

— Si∆ = 0, le trinôme est toujours du signe de a et nul pour x = − b 2a.

— Si∆ < 0, le trinôme est du signe de a « à l’extérieur des racines » et du signe opposé à

a« entre les racines ».

Exemples 48.23 1. On cherche le signe de2x2− 3x + 4. On calcule le discriminant ∆ = −23.

∆ étant négatif et le coefficient de x2positif :2x2− 3x + 4 est positif sur R.

2. On veut résoudre l’inéquation x2− 3 < 0. L’équation x2− 3 = 0 se résout sans discriminant, elle admet deux racines :

x1 =√3 et x2 = −√3.

Le coefficient de x2 est positif :

x −∞ −√3 √3 +∞

signe de x2− 3 + 0 − 0 + L’inéquation x2− 3 ≤ 0 a pour solution [−√3,√3].

3. On veut résoudre l’inéquation 3x2 − 2x + 4 < 0. On calcule le discriminant ∆ = −44.

∆ étant négatif et le coefficient de x2 positif :2x2 − 3x + 4 est positif sur R. L’inéquation

3x2− 2x + 4 < 0 n’a pas de solution.



48.4

Sur les paraboles

48.4.1 La parabole vue comme une conique

Définition 48.24 On appelle conique, l’ensemble des courbes qui s’obtiennent par l’intersection d’un cône de révolution avec un plan.

La parabole s’obtient en intersectant le plan de façon parallèle à l’une des génératrices du cône.

Définition 48.25 Soient D une droite et F un point n’appartenant pas à D, et soit P le plan contenant la droite D et le point F . On appelle parabole de droite directrice D et de foyer F l’ensemble des points M du plan P vérifiant :

d(M, F ) d(M, D) = 1

où d(M, F ) mesure la distance du point M au point F et d(M, D) mesure la distance du point M à la droite D.

R 48.26 La parabole est donc une conique dont l’excentricité e vaut1.

48.4.2 Équations

À partir du foyer et de la directrice

Si la parabole est donnée par son foyer F et sa directrice D, soit O le projeté orthogonal de F sur D, on appelle le paramètre de la parabole (qu’on note p) la distance OF . On considère S le milieu de[F O].

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Propriété 48.27 Dans le repère orthonormé(S, #»ı, #») où #» a même direction et sens que# »

OF,

l’équa-tion de la parabole est :

y= x

2

2p. À partir de l’équation générale

Soit l’équation :

Ax2+ 2Bxy + Cy2+ 2Dx + 2Ey + F = 0

dans un repère orthonormal. Si B2− AC = 0 alors cette équation est celle d’une parabole ou de deux droites parallèles.

Soit l’équation :

Ax2+ Cy2+ 2Dx + 2Ey + F = 0

dans un repère orthonormal. Si AC = 0 avec AE ou DC non nul alors cette équation est celle d’une parabole.

Enfin, dans tout repère orthonormal, l’équation d’une droite est de la forme :

Ax2+ 2Bxy + Cy2+ 2Dx + 2Ey + F = 0 avec B2− AC = 0. Équation polaire

Dans le repère (O, #»er,eθ) où O est le foyer et l’axe polaire en est l’axe focal, l’équation de la parabole est :

r =OP# »= p

1 + cos(θ)er.

48.4.3 Quelques propriétés géométriques de la parabole

Cordes parallèles

Toutes les cordes parallèles ont leur milieu situé sur une droite perpendiculaire à la directrice. La tangente parallèle à cette direction a son point de contact sur cette droite. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d’une telle corde se coupent sur cette droite.

Tangente et bissectrice

Si A est un point sur une parabole définie par un foyer F et une directrice(d), alors la tangente de la parabole en A est la bissectrice intérieure de l’angle formée par F , A et le projeté orthogonal de A sur(d).

Propriété relative à l’orthoptique

Soient M et M0 les points d’intersection d’une droite passant par le foyer de la parabole avec

la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par M et M0 se coupent sur la directrice en

formant un angle droit entre elles. De plus, si on appelle H et H0 les projetés respectifs de M et M0

sur la directrice et O le point d’intersection des deux tangentes et de la directrice, alors O est le milieu [HH0].

(9)

48.4 Sur les paraboles 17

FIGURE 48.2 – En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle

droit

48.4.4 Applications à la physique

La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l’on lance si on peut négliger la courbure de la Terre, le frotetment de l’air (vent, ralentissement de l’objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.

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(11)

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http:// bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/ TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

(12)

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http://

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www. xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_ JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012. http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

(13)

BIBLIOGRAPHIE 21

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien. herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.

[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr [55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[56] M. LENZEN, Leçon no14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.

[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net.

[62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http:// tehessin.tuxfamily.org

[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/ 21ganal.pdf.

(14)

[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/ coorgeo.pdf.

[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net.

[67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah. jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf

[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http: //perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf. [72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont

de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_ Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.

[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/ Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.

[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF

[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html

[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.

[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php

[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf [85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),

Programme 1999, Didier.

(15)

BIBLIOGRAPHIE 23

[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html

[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf

[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/ CAPES/geometrie/droites2012.pdf.

[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf

[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf

[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf

[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/ lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e 3e, Playermath. URL : http://www.

playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.

[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.

[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf

[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf

[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.

[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau. pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.

[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf

[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf

[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf [108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/

(16)

[109] Propriété de Thalès, 3e. URL :http://melusine.eu.org

[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.

[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.

[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.

URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf

[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf

[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net

[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net

[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.

[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.

URL :http://capes-de-maths.com

[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr

[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De

Boeck, 2000.

[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http:// bacamaths.net.

[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x. maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01. [124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf [126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux.

net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf [128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free. fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.

URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/

AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf

(17)

BIBLIOGRAPHIE 25

[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm

[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net

[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf

[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/ ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.

[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011.

[138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.

[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf

[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths. free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.

[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/

cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.

[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net.

[144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.

Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.

html.

[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net

[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01

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