L26 [V2-VàC] – Systèmes d’équations et systèmes d’inéquations

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9

Systèmes d’équations et systèmes

d’inéquations

26

Leçon

n°

Niveau Troisième, (Première ES), Terminale ES, BTS

Prérequis résolution d’une équation à une inconnue, équation de droite Références [81], [82], [83], [84], [85], [86]

Soient m, n ∈ N∗_{, dans tout l’exposé, un système d’équations m × n désigne un système de m}

équations à n inconnues.

26.1 Remarques avant de commencer

Dans les commentaires, des candidats s’interrogent sur la pertinence de mettre cette leçon au niveau Première ES. Le contenu de la leçon s’est inspiré d’un livre de Première ES mais d’un ancien programme (Programme 2000).

Or, les systèmes d’équations en Première ES n’existent plus dans le programme actuel. Il faudra regarder du côté des manuels de Terminale ES pour avoir un bon contenu et compléter ce contenu par les manuels de BTS (algèbre linéaire).

26.2 Cas particulier : systèmes d’équations

_{2 × 2}

26.2.1 Préliminaires

Ce sont les premiers systèmes d’équations que l’on rencontre au niveau collège.

Propriété 26.1 Pour déterminer complétement la valeur de deux inconnues dans une équation, il en faut éventuellement une deuxième.

26.2.2 Méthodes de résolution

On décrit maintenant les méthodes de résolution d’un tel système d’équation.

Définition 26.2 — Résolution par substitution. Cette méthode de résolution consiste à exprimer une des inconnues en fonction de l’autre.

Définition 26.3 — Résolution par comparaison. Cette méthode de résolution consiste à établir une égalité à partir d’une inconnue exprimée de la même manière dans chaque équation.

Définition 26.4 — Résolution par addition. Cette méthode de résolution consiste à ajouter membre à membre les deux égalités pour me garder qu’une seule inconnue.

Définition 26.5 — Résolution graphique. Cette méthode de résolution consiste à relever (graphique-ment) les coordonnées du point d’intersection des deux droites.

Exemple 26.6 Résoudre, par différentes méthodes, le système d’équations suivant :

(

x+ 2y = 9 x− 3y = 5

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Dv

On résout le système d’équations par les différentes méthodes décrites plus en haut :

Par substitution On peut exprimer x en fonction de y dans la première équation du système :

x+ 2y = 9 x= 9 − 2y

On remplace alors x par cette valeur «9 − 2y » dans la deuxième égalité :

x_{− 3y = 5} x= 5 + 3y 9 − 2y = 5 + 3y 4 = 5y y= 4 5

On remplace enfin y par sa valeur dans une des égalités pour trouver x :

x= 9 − 2y = 9 − 2 ×4

5 = 9 −85 = 375 .

Par comparaison On exprime, par exemple, x dans chaque égalité en fonction de y

x= −2y + 9 (26.1)

x= 3y + 5 (26.2)

À parti de (26.1) et (26.2), on peut former une nouvelle égalité : −2y + 9 = 3y + 5

4 = 5y et on en déduit ainsi les solutions du système.

Par addition On veut « éliminer » les termes en x. Pour cela, on multiplie la seconde équation par −1 œ

−(x − 3y) = 5 −x + 3y = 5 et on ajoute la première et la seconde :

x− x + 2y + 3y = 9 − 5 5y = 4 et on en déduit ainsi les solutions du système.

Graphiquement Les deux droites d’équations respectives x + 2y = 9 soit y = −1₂x+9₂ et

x− 3y = 5 soit y = 1₃x−5₃ ont un point d’intersection de coordonnées x= 37

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26.3 Cas général d’un système d’équations, méthode du pivot de Gauss 11 2 4 6 8 10 2 4 0 A= (37/5, 4/5)

Conclusion Les solutions de ce système d’équations est le couple (37/5, 4/5).

26.3 Cas général d’un système d’équations, méthode du pivot de

Gauss

26.3.1 Méthode du pivot de Gauss

On décrit la méthode du pivot de Gauss pour un système d’équations n × n (n ∈ N∗_).

Dv Méthode du pivot de Gauss

Soit à résoudre le système d’équations n × n :

             a11x1+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ · · · + a2nxn= b2 ... an1x1+ · · · + annxn= bn .

Il est équivalent à résoudre ceci :

AX = B, A =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      , X =       x1 x2 ... xn      , B =       b1 b2 ... bn      .

— On commence par vérifier si a11 6= 0. Si a11 = 0 alors on permute la ligne L1 et Li

(2 ≤ i ≤ n) tel que ai1 6= 0 et on indexe de nouveau la matrice A des coefficients (aij).

— On effectue les opérations élémentaires pour2 ≤ i ≤ n, Li ← Li − a_a₁₁i1L1. On obtient

une matrice A(1) = (a(1)ij ) dont la première colonne a pour coefficient a11 et les autres

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— On vérifie que a(1)₂₂ 6= 0. Si a(1)22 = 0 alors on permute la ligne L2 et Liavec3 ≤ i ≤ n tel

que a(1)_i₂ 6= 0.

— On effectue les opérations élémentaires pour3 ≤ i ≤ n, Li ← Li− a(1)_i,₂ a(1)_2,2L2. . .

— . . .

— On procède ainsi (il y a au maximum k − 1 étapes) jusqu’à obtenir que des 0 sous la diagonale principale : A(k−1)triangulaire supérieure.

R 26.7 Dans le principe de la méthode de Gauss, nous expliquons que si (par exemple) a11= 0, on peut permuter

la ligne L1avec la ligne Li(2 ≤ i ≤ n) tel que ai16= 0. Mais il se peut que, pour tout 2 ≤ i ≤ n, ai1= 0.

Si tel est le cas, il faut envisager de permuter les colonnes. Il faudra donc trouver a1i6= 0 pour 2 ≤ i ≤

n.

Si on ne peut pas, c’est qu’un bloc de la matrice n’a que des éléments nuls et donc le procédé du pivot de Gauss s’arrête.

26.3.2 Application sur un exemple

Les systèmes d’équations étudiés en Première ES sont généralement3 × 3. On utilise la méthode du pivot de Gauss sur un exemple.

Exemple 26.8 Résoudre : _       2x + y + z = 3 (L1) x+ 2y − z = 9 (L2) −x − y + 3z = 1 (L3) Dv

On fait les opérations suivantes : L2← 2L2et L3 ← 2L3.        2x + y + z = 3 2x + 4y − 2z = 18 L2 ← 2L2 −2x − 2y + 6z = 2 L3 ← 2L3

Ensuite, on peut faire : L2 ← L2− L1et L3 ← L3+ L1.        2x + y + z = 3 3y − 3z = 15 L2 ← L2− L1 −y + 7z = 5 L3 ← L3+ L1 Et ainsi de suite : _       2x + y + z = 3 y_{− z = 5} L₂ _← L2 3 −y + 7z = 5        2x + y + z = 3 y− z = 5 6z = 10 L3 ← L3+ L2

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26.4 Système d’inéquations 13        2x + y = 3 − 10 6 y = 5 + 10₆ z = 10₆        2x = 4 3− 203 = −163 y = 20₃ z = 10₆ = 5₃        x= −8₃ y= 20₃ z= 5₃

26.4 Système d’inéquations

26.4.1 Principe et remarques

Théorème 26.9 La droite D a pour équation :

ax+ by + c = 0.

La droite D partage le plan en deux demi-plans.

— Pour tout point M(x, y) de l’un d’entre eux l’expression ax + by + c est positive. — Pour tout point M(x, y) de l’autre demi-plan, l’expression ax + by + c est négative.

R 26.10 Pour tout point M(x, y) d’un même demi-plan, l’expression ax + by + c garde le même signe. 26.4.2 Un exemple

Exemple 26.11 Résoudre le système d’inéquations :

       x− 2y − 2 ≥ 0 5x − 4y − 24 < 0 3x + y + 4 > 0

Dv 1. La droite d’équation D : x − 2y − 2 = 0 passe par les points (0, −1) et (2, 0). Elle

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2 4 6 8 2 4 0 P1 P2

Pour le point O(0, 0), l’expression x + 2y − 2 vaut −2. L’expression est donc négative sur

P1(dont O en fait partie) et positive sur P2. L’ensemble des points solutions de

l’inéqua-tion x − 2y − 2 ≤ 0 est le demi-plan P2(positive) avec la droite D (ou nul).

2. La droite D0 _{passe par les points de coordonnées}_{(0, −6) et (4, −1). Elle partage le plan}

en deux plans P₀₁et P₀₂. 2 4 6 8 2 4 0 P01 P02

Pour le point O(0, 0), l’expression 5x − 4y − 24 vaut −24. L’expression est donc né-gative sur P₀₁ (dont O fait partie) et positive sur P₀₂. L’ensemble des points solutions de l’inéquation5x − 4y − 24 < 0 est le demi-plan P01(négatif).

3. La droite D00_{passe par les points de coordonnées}_{(−1, −1) et (0, −4). Elle partage le plan}

en deux demi-plans P00 1 et P200.

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26.5 Introduction à la programmation linéaire 15 −2 2 2 4 0 P₂00 P₁00

Pour le point O(0, 0), l’expression 3x + y + 4 vaut 4. L’expression est donc positive sur

P₂00(dont O fait partie) et négative sur P₁00. L’ensemble des points solutions de l’inéquation

3x + y + 4 > 0 est le demi-plan P00 2.

Conclusion. L’ensemble des points solutions du système d’équation est l’intérieur du triangle

ABC (avec A(−6/7, 10/7), B(20/3, 7/3) et C(8/17, −92/17)) avec le segment [AB] car la

première équation est une inéquation large. Il faut donc encore inclure la droite(AB) mais il faut exclure le point A car il ne fait partie de P00

2 et de même il faut exclure B car il ne fait pas partie

de P₀₁. −2 2 4 6 8 −6 −4 −2 2 0 A B C

26.5 Introduction à la programmation linéaire

Problème 26.12 Un menuisier fabrique des tables et des buffets en bois. Une table nécessite3 heures

de découpe et2 heures de finition. Un buffet nécessite 1h30 de découpage et 6 heures de finition. Pour des raisons de commercialisation, ce menuisier ne peut pas produire plus de18 meubles par mois. Les capacités de production sont de45 heures pour le découpage et 78 heures pour la finition. Cet artisan réalise un bénéfice de200 e par table et 300 e par buffet.

Déterminer le nombre x de tables et y de buffets que ce menuisier doit fabriquer pour réaliser un

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Dv

Soit x le nombre de tables à produire et y le nombre de buffets à produire. — La quantité de tables à produire est positive donc x ≥ 0.

— La quantité de buffets à produire est positive donc y ≥ 0.

— En un mois, on ne peut produire que18 meubles donc x + y ≤ 18.

— En un mois, x est limité à45 heures de découpage, une table nécessite 3 heures de décou-page et un buffet,1h30 de découpage donc 3x+1, 5y ≤ 45 ⇔ 6x+3y ≤ 90 ⇔ 2x+y ≤ 30.

— En un mois, on est limité à78 heures de finition, une table nécessite 2 heures de finition et un buffet6 heures de finition. Cela se traduit par l’inégalité 2x +6y ≤ 78 ⇔ x+3y ≤ 39. Donc les contraintes de production se traduisent par le système :

                 x_{≥ 0} y≥ 0 x+ y ≤ 18 2x + y ≤ 30 x+ 3y ≤ 39 .

On trouve le domaine des contraintes dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»).

5 10 15

0

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26.5 Introduction à la programmation linéaire 17 −2 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 0 I

Graphiquement, le point I du domaine des contraintes pour lequel le bénéfice est maximum est(7, 5; 10, 5). Le bénéfice maximum est donc : 200 × 7, 5 + 300 × 10, 5 = 4650.

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