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L39 [V2-VàC] – Suites monotones

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(1)

9

Suites monotones

39

Leçon n° Niveau Lycée

Prérequis Notion de fonctions, convergence de suites

Références [60], [128], [129]

39.1

Définition et exemples de suites numériques

Définition 39.1 — Suite numérique. Une suite numérique est une fonction de N dans R, définie à

partir d’un certain rang n0. L’image d’un entier naturel n est notée u(n) ou un, n est appelé l’indice

ou le rang du terme un. La suite est notée(un)n∈Nou(un)n≥n0.

Exemples 39.2 1. Soit la suite(un)n≥1définie par un= 1

n, pour n ≥ 1.

Cette suite est définie en fonction du rang (elle est de type un = f(n) où f est une fonction).

On obtient :

u1 = 1, u2 = 12, u3 = 13, . . .

2. Soit la suite(un)n∈Ndéfinie par

( u0 = 2

un+1 = un(1 − un)

Cette suite est définie en fonction de terme(s) précédent(s) (on dit que c’est une suite récur-rente). On obtient :

u1= u0(1 − u0) = −2, u2 = −6, u3 = −42.

 R 39.3 Une suite comportant un nombre fini de termes peut aussi être définie par un tableau de valeurs. Par

exemple :

n 0 1 2 3 4 5 6

un 2 −5 6 7 10 −15 21

Définition 39.4 On appelle représentation graphique d’une suite(un)n∈N l’ensemble des points du

plan de coordonnées(n, un).

Exemple 39.5 Soit la suite(un)n∈Ndéfinie par un= 2n−3. On donne une représentation graphique

de la suite en figure39.1. 

(2)

1 2 3 4 5 6 7 8 −2 2 4 6 8 10 12 14 0

(3)

39.2 Suites monotones 11

Définition 39.6 Soit la suite(un)n≥n0.

— On dit que(un) est croissante si : pour tout n ≥ n0, un+1 ≥ un.

— On dit que(un) est décroissante si : pour tout n ≥ n0, un+1≤ un.

— On dit que(un) est stationnaire si : pour tout n ≥ n0, un+1 = un.

R 39.7

1. On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des inégalités strictes.

2. Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone.

3. Étudier le sens de variation d’une suite, c’est déterminer si une suite est croissante ou décroissante (ou ni l’un ni l’autre). Cette étude peut se faire en calculant la différence un+1− un et en déterminant si cette différence a un signe constant.

4. La définition d’une suite croissante (ou d’une suite décroissante) n’est pas identique à la définition d’une fonction croissante. Dans le cas d’une suite, on compare deux termes consécutifs un et un+1

dans le cas d’une fonction on compare les images de deux réels quelconques a et b.

Exemples 39.8 1. La suite n2n∈Nest strictement croissante car, pour tout n ∈ N :

un+1− un= (n + 1)2− n2 = n2+ 2n + 1 + n2 = 2n + 1 > 0.

2. La suite(−2n + 3)n∈Nest strictement décroissante car, pour tout n ∈ N :

un+1− un= −2(n + 1) + 3 − (−2n + 3) = −2n − 2 + 3 + 2n − 3 = −2 < 0.

3. La suite(−1n)

n∈Nn’est ni croissante, ni décroissante car pour tout n ∈ N :

u2n+1− u2n = (−1)2n+1− (−1)2n = −1 − 1 = −2 < 0

u2n+2− u2n+1 = (−1)2n+2− (−1)2n+1 = 1 − (−1) = 2 > 0. 4. La suiten+11 

n∈Nest strictement décroissante car pour tout n ∈ N :

un+1− un= 1 n+ 2 − 1 n+ 1= n+ 1 − (n + 2) (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)−1 <0. 

Propriété 39.9 Soit(un)n∈Nune suite croissante. Si n ≥ p alors un≥ up.

Soit(un)n∈Nune suite décroissante. Si n ≥ p alors un≤ up.

Dv

•Justification de la propriété39.9—

— Soit(un)n∈Nune suite croissante. Si n ≥ p, on peut écrire n = p + k avec k un entier naturel (k= n − p). La suite (un) étant croissante, on peut alors écrire :

up≤ up+1≤ up+2≤ · · · ≤ up+k. Donc up≤ un, c’est-à-dire un≥ up.

— Soit(un)n∈Nest une suite décroissante. Si n ≥ p, on peut écrire n = p + k avec k un

entier naturel (k= n − p). La suite (un) étant décroissante, on peut alors écrire : up≥ up+1≥ up+2≥ · · · ≥ up+k.

(4)

Donc up≥ un, c’est-à-dire un≤ up.

Propriété 39.10 Soit n0∈ N. Si f est une fonction croissante sur [n0,+∞[, la suite (un)n≥n0définie par un= f(n) est une suite croissante.

Dv

• Justification de la propriété39.10— Soit f une fonction croissante sur[n0,+∞[ et la

suite(un)n≥n0 définie par un = f(n). Soit n ≥ n0. On a de façon évidente, n+ 1 ≥ n. La fonction f étant croissante sur [n0,+∞[, on en déduit que f(n + 1) ≥ f(n). Donc

un+1 ≥ un. Pour tout n ≥ n0, on a donc un+1≥ un, c’est-à-dire que la suite(un)n≥n0est

croissante. •

R 39.11

1. On a une propriété identique avec une fonction décroissante.

2. La condition est suffisante, mais pas nécessaire, c’est-à-dire que la suite peut être croissante alors que la fonction ne l’est pas (voir la figure39.2).

2 3 4 5 y 2 3 4 5 x

FIGURE39.2 – La fonction f(x) = cos(2πx) + x n’est pas croissante et pourtant, la suite un= f(n)

est croissante

Exemple 39.12 On peut démontrer que la suite(un) définie par un= nn+1est croissante en justifiant

que la fonction x 7→ x

x+1 est une fonction croissante sur[0 , +∞[. 

39.3

Suites minorés, majorés

On considère la suite(un) définie par un= 2n + 1

(5)

39.3 Suites minorés, majorés 13 On a alors : u0 = 2 × 0 + 1 0 + 2 = 1 2 '0,5 u1 = 2 × 1 + 1 1 + 2 = 3 3 '1 u2 = 2 × 2 + 12 + 2 = 54 '1,25 u3 = 2 × 3 + 13 + 2 = 75 '1,4 u4 = 2 × 4 + 14 + 2 = 96 '1,5 u5 = 2 × 5 + 15 + 2 = 117 '1,57 On montre que0 ≤ un≤ 2.

1. Pour tout n ∈ N, on a 2n + 1 > 0 et n + 2 > 0 donc 2n+1n+2 >0 donc un>0.

2. D’autre part, on peut écrire :

un− 2 = 2n + 1 n+ 2 = 2n + 1 − 2n − 4 n+ 2 = − 3 n+ 2.

Pour tout n ∈ N, on a n + 2 > 0 donc −3

n+2 <0 donc un− 2 < 0 donc un<2.

On en déduit que, pour tout n ∈ N, on a 0 ≤ un ≤ 2. Ainsi, on peut penser que quand n est très

grand, unest très proche de2 (on dira que la limite de la suite (un)n∈Nquand n → +∞ est 2).

Définition 39.13 Si pour tout entier n, on a un≤ M, on dit que la suite (un) est majorée par M. M

est un majorant de la suite(un).

Si pour tout entier n, on a un≥ m, on dit que la suite (un) est minorée par m. m est un minorant

de la suite(un)n.

On dit que la suite(un) est bornée par m et M si elle est minorée par m et majorée par M.

Exemple 39.14 On considère la suite(un) définie par u0 = 18 et un+1 = 12un+ 3.

1. On calcule u1, u2et u3:

u1 = 12 ×18 + 3 = 9 + 3 = 12

u2 = 12 ×12 + 3 = 6 + 3 = 9

u3 = 12 ×9 + 3 = 92+ 62 = 152 = 7,5.

2. On peut calculer u4, u5, . . . , u10sur une calculatrice TI-82 en faisant :

18 -> A

A * 1/2 + 3 -> A

où -> peut être obtenu en tapant sur la touche STO> . Il suffit ensuite d’appuyer plusieurs fois sur la touche ENTER pour obtenir les valeurs approchées successives des termes de la suite :

(6)

6.75 6.375 6.1875 6.09375 6.046875 6.0234375 6.01171875

3. Supposons un ≥ 0, alors 12un ≥ 0 donc 21un+ 3 ≥ 0, c’est-à-dire un+1 ≥ 0. Donc si unest

positif alors un+1est positif. On sait que u0est positif. On peut en déduire que u1positif.

Sachant que u1 est positif, on en déduit que u2 est positif. Sachant que u2 est positif, on en

déduit que u3 est positif. En poursuivant le raisonnement, on peut conclure que unest positif

pour tout n ∈ N.

4. On montre que(un) est décroissante. Supposons que un≥ 6 alors12un≥ 3 donc12un+3 ≥ 6

donc un+1 ≥ 6. Donc si un≥ 6 alors un+1 ≥ 6. On sait que u0 = 18 donc u0 ≥ 6. On peut

en déduit que u1 ≥ 6, etc. On conclut alors que un≥ 6 pour tout n ∈ N.

Pour tout n ∈ N, on peut écrire :

un+1− un= 12un+ 3 − un= 3 − 12un.

On sait que un≥ 6, pour tout n ∈ N donc 12un≥ 3 donc −21un≤ −3 donc 3 −12un≤ 0. On

a donc un+1− un≤ 0 pour tout n ∈ N. On en déduit que la suite (un) est décroissante.

5. La suite(vn) est définie par vn= 6 +122n. On a :

v0= 6 + 1220 = 6 +121 = 6 + 12 = 18 v1= 6 + 12 21 = 6 + 12 2 = 6 + 6 = 12 v2= 6 + 1222 = 6 +124 = 6 + 3 = 9 v3= 6 + 1223 = 6 +128 = 6 +32 = 152 . 6. On peut écrire vn+1= 6 + 2n12+1 et 1 2vn+ 3 = 12 ×  6 +122n+ 3 = 3 +12 × 122n + 3 donc 1 2vn+ 3 = 6 + 212n+1.

Donc vn+1 = 12vn+ 3 pour tout n ∈ N. Comme on a d’autre part v0 = 18 = u0, les suites

(un) et (vn) sont définies par le même premier terme et la même relation de récurrence. Donc :

la suite(vn) est identique à la suite (vn).

(7)

39.4 Suites adjacentes 15

39.4

Suites adjacentes

Définition 39.15 On dit que deux suites(un) et (vn) sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre

décroissante et si

lim

n→+∞(un− vn) = 0.

Exemple 39.16 Les suites(un) et (vn) définies par un= n1 et vn= −n1 sont adjacentes. 

Lemme 39.17 Supposons que(un) soit une suite croissante adjacente à (vn), une suite décroissante.

Alors :

∀n ∈ N, un≤ vn.

Dv

•Démonstration —Par hypothèse, on a pour tout n que un≤ un+1et vn ≥ vn+1. Alors, (vn+1− un+1) − (vn− un) ≤ (vn− un) − (vn− un) = 0 ⇔ vn+1− un+1≤ vn− un donc la suite(vn− un) est décroissante et tend vers 0, donc elle est à termes positifs, ce qui

signifie que, vn ≥ un, pour tout n.

Théorème 39.18 Si deux suites(un) et (vn) sont adjacentes, (un) étant une suite croissante et (vn)

la suite décroissante, alors :

1. les deux suites(un) et (vn) convergent, et elles ont même limite λ ;

2. pour tout n, un≤ λ ≤ vn.

Dv

•Démonstration —On se place dans les hypothèses du théorème, Comme démontré dans le lemme précédent, pour tout n, un ≤ vn. Les termes des suites(un) et (vn) sont donc rangés comme indiqué sur la figure ci-dessous :

u0 · · · un−1 un · · · vn vn−1· · · v0

La suite(un) est ainsi croissante et majorée par v0. Le théorème des suites croissantes

majo-rées permet de conclure que la suite(un) converge vers une limite λ.

La suite(vn) est décroissante et minorée par u0. On peut conclure de même que la suite(vn)

converge vers une limite λ0.

Or

lim

n→+∞(un− vn) = 0.

On en déduit quelimn→+∞un− limn→+∞vn= 0, c’est-à-dire λ = λ0.

Enfin, de l’égalité un≤ vpvraie pour tout couple(n, p), on peut en déduire, en faisant tendre d’abord n vers +∞, puis p vers +∞ que λ ≤ vp et un ≤ λ, ce qui prouve bien la double

(8)

Exemple 39.19 Soit(un) et (vn) deux suites de terme général : un= n X k=0 1 k! et vn= un+ 1 n· n!.

Montrer que ces suites sont adjacentes, déterminer leur limite commune et donner un encadrement de

la limite à10−3. 

39.5

Applications

39.5.1 Méthode de dichotomie

Proposition 39.20 Soit f définie et continue sur[a , b] et telle que f(a)f(b) < 0. Alors f admet au moins une racine dans l’intervalle[a, b].

Dv

•Démonstration —On utilise le principe de dichotomie : on définit une suite(un) et (vn) par u0= a et v0= b, et pour tout n ∈ N,

(

un+1= un et vn+1= un+v2 n si f(un)f(un+v2 n) ≤ 0 un+1= un+v2 n et vn+1= vn si f(un)f(un+v2 n) ≥ 0 .

Par construction, les suites(un) et (vn) sont respectivement croissante et décroissante, et pour tout n ∈ N,

|un− vn| ≤ b− a

2n −−−−−→n→+∞ 0.

Ce sont donc des suites adjacentes, qui convergent donc vers une limite dans[a, b] que l’on note `.

La continuité de f nous assure quelimn→+∞f(un) = limn→+∞f(vn) = f(`), donc en

passant à la limite dans la relation f(un)f(vn) ≤ 0, on obtient : lim

n→+∞f(un)f(vn) ≤ 0 ⇒ (f(`)) 2

≤ 0 ⇒ f(`) = 0.

Exemple 39.21 En utilisant cette méthode de dichotomie, déterminer une valeur approchée de√2 à l’aide de la fonction f(x) = x2− 2 définie sur [1 , 2]. 

Dv

•Démonstration —On peut créer la fonction suivante sur Xcas : dicho(f,a,b,n):={

local u,v,t,g; u := a;

v := b; g := f;

(9)

39.5 Applications 17 t := (u+v)/2; si g(u)*g(t) < 0 alors v := t sinon u := t fsi ftantque

return evalf(u); }:;

La fonction prend comme argument : — la fonction considérée,

— les bornes de l’intervalle de définition, — la précision souhaitée

La fonction crée deux suites(un) et (vn) applique le principe de la dichotomie à condition que vn− un< 10n1−1.

On utilise la fonction avec les données de l’énoncé : f : x 7→ x2− 2 sur[1, 2] f := x -> x^2 - 2 (x)->xˆ2-2 dicho(x -> x^2-2,1,2,1) 1.4140625 dicho(x -> x^2-2,1,2,2) 1.4140625 dicho(x -> x^2-2,1,2,3) 1.41418457031 dicho(x -> x^2-2,1,2,4) 1.4142074585 dicho(x -> x^2-2,1,2,5) 1.41421318054 • 39.5.2 Développement décimal d’un nombre réel

Théorème 39.22 Soit x ∈ R, il existe une unique (an)n∈Nd’entiers naturels telle que :

1. ∀n ≥ 1, an∈ {0, . . . , 9} et a0 ∈ Z,

2. il n’existe pas N ∈ N tel que, pour tout n > N, an= 9,

3.

∀n ∈ N, a0+a101 + · · · +10ann ≤ x ≤ a0+a101 + · · · +10ann +101n.

Dv

• Démonstration —Soit un la valeur décimale approchée par défaut à x à 10−nprès. La

double inégalité en (iii) se réduit alors à l’égalité : un = a0+

a1

10+ · · · + an 10n.

(10)

Soit m= un10n

∈ N. Alors on a l’équivalence suivante : un= m 10n = a0+ a1 10+ · · · + an 10n ⇔ m = a010 n+ a 110n−1+ · · · + an−110 + an.

Cette dernière équation n’admet qu’une unique solution dans Z × {0, . . . , 9}n, par unicité de l’écriture en base10.

On montre que les coefficients aisont indépendants du rang choisi. Autrement dit, montrons que(ai)0≤i≤nsont les mêmes au rang n et n+1. Supposons qu’on ait au rang n+1 la double

inégalité :

b0+ · · · + 10bnn +10bnn+1+1 ≤ x < b0+ · · · +10bnn +10bnn+1+1 +101n+1.

Or, puisque bn+1≤ 9, on aura nécessairement10bnn+1+1+10n1+1 ≤ 101n, et notre double inégalité

devient :

b0+ · · · +10bnn +10bnn ≤ x < b0+ · · · +10bnn +10bnn +101n+1.

L’unicité de la solution(a0, . . . , an) de la relation du (iii) au rang n nous permet d’affirmer

que pour tout i ∈ {0, . . . , n}, ai= bi.

On suppose enfin qu’il existe un entier naturel N tel que pour tout n ≥ N vérifie an = 9. Quitte à effectuer une multiplication par une combinaison linéaire de puissance de10, on est ramené à étudier le cas particulier0, 999 . . .. Or :

0, 999 . . . =X n≥1 9 10n = 9 10 X n≥0  1 10 n =109 109 = 1

et l’inégalité(iii) n’est plus vraie pour tout n alors, car les membres de gauche et de droite

sont égaux, ce qui est contradictoire. •

Définition 39.23 Dans ce cas, par passage à la limite :

x=

+∞X

n=0 an

10n,

et l’on dit que c’est le développement décimal illimité propre de et on note de manière plus commode

x= a0a1a2a3. . ..

39.5.3 Aire sous la courbe et suites adjacentes

Soit f une fonction continue ou en escalier, positive et monotone sur l’intervalle I = [a, b] et A désignant l’« aire sous la courbe ». La méthode des rectangles, par exemple, permet d’encadrer A.

On se place dans le cas où f est décroissante sur I = [0, 1]. On partage I en N intervalle de même amplitude N1 alors : 1 N kX=N k=1 f k n  ≤ A ≤ 1 N k=N−1X k=0 f k n  .

(11)

39.5 Applications 19 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

Si à tout entier naturel non nul n, on associe un partage régulier de I = [0 , 1] défini par son pan

pn(on a alors N = p1n), en posant an= N1 Pkk=N=1 f  k N  et bn= N1 Pkk=N−1=0 f  k N  , on définit deux suites(an) et (bn) telles que, pour tout entier naturel non nul n, an≤ A ≤ bn.

Question : Est-ce que les suites (an) et (bn) ainsi définies sont adjacentes ?

Si1p

n= n1, on ne peut pas conclure à la monotonie des suites(an) et (bn) par des considérations

d’aire car les n+1 rectangles obtenus à l’étape n+1 sont sans lien direct avec les n rectangles obtenus à l’étape n et les suites(an) et (bn) ne sont pas nécessairement adjacentes.

Contre exemple : Soit f la fonction en escalier définie sur[0, 1] par :

f(x) = (

1 si x ∈ [0, 1/2] 1/2 si x ∈ [1/2, 1] Alors, on montre que :

a2 = A et a3 <A et plus généralement, pour tout entier naturel non nul k,

a2k= A et a2k+1= A.

La suite(an) n’est donc pas croissante.

(12)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

Dans ce cas où pn = n1, que les suites (an) et (bn) soient adjacentes ou ne le soient pas, les

justifications ne sont en général pas simples, on peut toutefois trouver quelques fonctions telles que la fonction carrée ou la fonction f définie par f(x) = 1

x+1 pour lesquelles on obtient des suites dont on

peut démontrer qu’elles sont bien adjacentes. Si2 p

n = 21n alors, dans le cas où f est monotone sur I, des considérations d’aire permettent

d’établir la monotonie des suites(an) et (bn) et de montrer qu’elles sont bien adjacentes.

Cependant si l’on cherche à exhiber un exemple correspondant à ce cas, les expressions de(an)

et(bn) deviennent vite très compliquées étant donné que N = 2n.

(13)

Bibliographie

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