L43 [V2-VàC] – Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence

9

Suites de nombres réels définies par

une relation de récurrence

43

Leçon

Niveau Terminale S

Prérequis généralités sur les suites, théorème des accroissements finis, polynômes du second degré, variations de fonctions, principe de récurrence

Références [134], [135], [136], [137], [138], [139]

43.1

Suites définies par une relation de récurrence, généralités

Définition 43.1 — Suite définie par une relation de récurrence. Une suite définie par récurrence est une suite que l’on connaît par son terme initial u0ou u1 et une relation qui lie un terme quelconque

en fonction du précédent ou des précédents.

Il existe différents types de suite définie par récurrence : 1. Suite définie par une relation de récurrence du type

( u0 = a

un+1 = f(un) 2. Suite arithmético-géométrique : un+1= aun+ b. 3. Suites définies par une relation de la forme :

un+2= aun+1+ bun et leurs deux premiers termes.

4. Suite homographique : un+1= au_cun+dn+b. 5. . . .

43.2

Suites définies par récurrence du type u

= f(u

)

Si la suite(un) est définie par son premier terme u0et par :

un+1 = f(un), pour tout n ≥ 0,

(avec f : I → R où I est un intervalle de R), il n’y a pas de formule permettant de calculer directement

unen fonction de n, mais on dispose d’une relation (dite de récurrence) permettant de calculer le terme de rang n+ 1 à partir de celui de rang n. Ainsi, en connaissant le premier terme u0, on peut calculer

le terme suivant u1, puis connaissant u1, on peut calculer u2.

Exemples 43.2 1. Soit(un) la suite définie par u0 = 2 et un+1 = 3 × un. On a alors :

u1= 3 × u0 = 3 × 2 = 6

u2= 3 × u1 = 3 × 6 = 18

2. Soit(un) la suite définie par u0 = −1, 5 et un+1= 2√4 + un. On a alors :

u1 = 2√4 + u0 = 2p4 − 1,5 ' 3,16

u2 = 2√4 + u1 ' 2p4 + 3,16 ' 5, 35.



43.2.2 Une propriété de continuité

Propriété 43.3 Soit f une fonction continue, et (un) une suite vérifiant la relation de récurrence

un+1 = f(un) pour tout n à partir d’un certain rang. Si (un) est convergente vers un réel `, alors ` est un point fixe de f (donc f(`) = `).

Dv

•Démonstration —Soit(un) une suite convergente vers `. Comme untend vers ` (quand

n_{→ +∞), u}n+1tend vers ` (quand n → +∞) comme suite extraite de (un).

D’autre part, par continuité de f, on a f(un) tend vers f(`). On en déduit par unicité de la

limite que f(`) = `. •

Exercice 43.4 Soit(un) la suite récurrente définie par :

u₀ = 1 et un+1 = un+ 1

un

.

1. Observer le comportement de la suite sur un tableur. Quelle conjecture peut-on formuler ? 2. Montrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

3. Montrer que la suite est strictement croissante.

4. Montrer que, si la suite converge vers a, ce nombre vérifie nécessairement l’équation a =

a+1_a. En déduire la limite de la suite(un).



Dv

•Démonstration —

2. On montre par récurrence, pour tout n ∈ N, la propriété Pn

Pn: « un >0 »

Initialisation Pour n = 0 u0= 1 > 0.

Hérédité Soit n ≥ 1. On suppose que la propriété Pn est démontrée. On montre la

propriété au rang n+ 1. Comme un>0 alors _u1_n >0. D’où :

un+1= un+

1 un

>0. Par le principe de récurrence, pour tout n ∈ N, un>0.

3. Comme, pour tout n ∈ N, un>0, on a : _u1_n >0 et :

un+1− un= [un+ 1

un] − u n= 1

un

>0. La suite(un) est donc strictement croissante.

4. La fonction :

f : R+ → R

x _{7→ x +} 1_x

est continue sur R+. On utilise la propriété précédente. On suppose que la suite converge

vers a, ce nombre vérifie :

a= f(a) ⇔ a = a +1 a.

Ainsi, a2 a = a2+ 1 a ⇔ 1 a = 0. La suite(un) tend vers +∞.

• 43.2.3 Détermination graphique des termes

Dans un repère orthonormé, on trace d’abord la représentation graphique de la fonction f définis-sant la relation de récurrence et la droite d’équation y = x. On part de u0 en abscisse : l’ordonnée du

point de la courbe correspondant à cette abscisse nous donne u1. Pour déterminer u2 = f(u1), il nous

faut rabattre u1 sur l’axe des abscisses, pour cela, on utilise la droite d’équation y = x. Dès lors, u2

est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse u1.

Pour poursuivre la construction, on répète le procédé en rabattant u2 sur l’axe des abscisses, u3

est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisses u2. . .

 Exemples 43.5 Soit la suite (un) définie par u0 = a ∈ R et un+1 = 1,5u2n− 1 = f(un) avec

f _{définie sur R par f(x) = 1, 5x}2_{− 1. On voit que pour a = 0, 9, la suite semble converger vers}

−3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 0 a= 0.9 n= 15 b

FIGURE43.1 – Représentation graphique de la suite un+1 = 1, 5u2n− 1 quand u0 = 0, 9 un point (qu’on appelle point fixe). Si on prend, maintenant a = 1, 8, on obtient la représentation graphique de la figure43.2

Le but de cet exemple est d’étudier la suite

( u0 = a

un+1= 1, 5x2− 1. On résout d’abord f(x) = x :

1, 5x2_{− 1 = x ⇒ 1, 5x}2_{− x − 1 = 0 ⇒ 3x}2_{− 2x − 2 = 0.}

Le discriminant du polynôme est :

1 2 3 4 −1 1 2 3 4 0

FIGURE43.2 – Représentation graphique de un+1 = 1, 5u2n− quand u0 = 1, 3 D’où l’équation a pour solutions :

x1 = 2 − 2₆√7 = 1 −₃√7 et x2 = 1 +₃√7.

D’après le graphique, la parabole, courbe représentative de f et la droite d’équation y = x ont deux points d’intersection un d’abscisse négative ` (limite de (un) quand elle converge) et un d’abscisse positive a, donc a= 1+√7₃ .

1. On étudie quand u0 ∈ [−a, a]. Si u/ 0 <−a = −1+√7₃ alors : −u0 > a= 1 +√7 3 ⇒ (−u0)2= u20 > 1 +₃√7 !2 = 8 + 2√7₉ . u1= 1, 5u20− 1 > 1, 58 + 2√7₉ − 1 = 8 + 2√7 − 6₆ = 1 +₃√7 = a. Si u0> aalors u2₀ > 1 +√7 3 !2 = 8 + 2√7₉ et d’après ce qui précède, u1> a.

Soit Pn la propriété un > a. D’après ce qui précède, P1 est vraie. On suppose que Pn est vraie et on va en déduire Pn+1vraie. Il suffit de remplacer u0par undans le calcul précédent : un> a= 1 +₃√7 ⇒ u2n> 1 +√7 3 !2 = 8 + 2√7₉ un+1= 1, 5u2n− 1 > 1, 5 8 + 2√7 9 − 1 = 8 + 2√7 − 66 = 1 +3√7 = a. Pn+1est vraie. On a démontré par récurrence que Pnest vraie pour tout n ≥ 1. Pour démontrer que(un) est croissante, on cherche le signe de un+1− un.

On reconnaît le trinôme du second degré étudié dans la première question u0est à l’extérieur

des racines et pour n ≥ 1, Pnimplique que unest à l’extérieur des racines donc un−1−un>0 et(un) est strictement croissante.

Soit la suite(vn) définie par vn+1= 1, 5vn− 1 et v1 = u1. Soit Pnla propriété un≥ vn. On va démontrer par récurrence que Pnest vraie pour tout n ≥ 1. P1 est vraie. On suppose que

Pnest vraie et on va déduire Pn+1 vraie.

un> a >1 ⇒ u2n> un et Pn⇒ un≥ vn

un+1 = 1, 5u2n− 1 > 1, 5un− 1 ≥ 1, 5vn− 1 = vn+1.

Donc Pn+1est vraie. On a démontré par récurrence que Pnest vraie pour tout n ≥ 1.

La suite arithmético-géométrique (vn) tend vers +∞ et on peut appliquer le théorème des gendarmes :

un> vn et lim

n→+∞vn= +∞ ⇒ limn→+∞un= +∞.

2. On suppose que u0 ∈ ]−a , a[. Soit Pnla propriété −a < un < a. u0 ∈ ]−a , a[ donc P0 est vraie. On suppose que Pnest vraie et on va en déduire Pn+1vraie.

Si 0 ≤ un< a 0 < un< a= 1 +₃√7 ⇒ 0 < u2n< 1 +√7 3 ! = 8 + 2√7₉ −1 < un+1 = 1, 5u2n− 1 < 1, 5 8 + 2√7 9 − 1 = 8 + 2√7 − 6 6 = 1 +√7 3 = a. −a < −1 ⇒ −a < un< a. Pn+1est vraie. Si −a < un<0 0 < −un< a= 1 +₃√7 ⇒ 0 < (−un)2= u2n< 1 +√7 3 !2 = 8 + 2√7₉ .

On a démontré par récurrence que Pnest vraie pour tout n ≥ 0.

D’après le graphique, la parabole, courbe représentation de f et la droite d’équation y = x ont deux points d’intersection un d’abscisse négative ` donc `= −1−√7₃ .



43.2.4 Étude directe par les accroissements finis On considère la suite définie par :

( u0+ 0

un+1 = √un+ 2, ∀n ∈ N

On suppose qu’on a montré que un∈ [0, 2], pour tout n, mais pas toute la suite. On étudie f0_{(x) sur [0, 2] :}

f0(x) = 1

et on a0 ≤ x ≤ 2, donc 2 ≤ x + 2 ≤ 4 puis en composant par la racine carrée croissante,√2 ≤ √

x+ 2 ≤ 2 ; on multiplie par 2 : 2√2 ≤ 2√x + 2 ≤ 4 et enfin on compose par la fonction inverse

décroissante :

1

4 ≤f0(x) ≤ 2√2 =1 √24 <1.

La fonction f est continue sur [0, 2] et dérivable sur ]0, 2[ donc l’inégalité des accroissements finis nous donne :

|f(un) − f(2)| ≤ √2_{4 |}un− 2| donc :

|un+1− 2| ≤ √2_{4 |}un− 2| . Par récurrence sur n, on montre alors :

∀n ∈ N, |un− 2| ≤ √2₄ !n

|u0− 2| .

Initialisation |u0− 2| = |u0− 2| est évidente.

Hérédité On supose que

|un− 2| ≤ √2₄ !n |u0− 2| . Alors |un+1− 2| ≤ √2_{4 × |}un− 2| ≤ √2_{4 ×} √2₄ !n |u0− 2| ≤ √2₄ !n+1 |u0− 2| .

Enfin, le théorème de comparaison donne |un− 2| tend vers 0 (quand n → +∞) donc un− 2 → 0 et

un→ 2.

43.2.5 Suites arithmético-géométriques Il s’agit des suites récurrentes définie par :

( u₀

un+1 = aun+ b

, où a, b ∈ R.

C’est un cas particulier des suites étudiées plus en haut, f est une fonction linéaire. On veut exprimer le terme général unde cette suite en fonction de n et étudier sa limite éventuelle. Tout d’abord,

— Si a= 1 et b = 0, c’est une suite constante.

— Si a= 1 et b 6= 0 alors la suite (un) est arithmétique de raison b. On a donc, pour tout entier naturel n :

un= u0+ bn.

La suite(un) diverge donc vers +∞ et −∞ selon le signe de b.

— Si b= 0 et a 6= 1, alors la suite (un) est géométrique de raison a. On a donc, pour tout entier naturel n :

un= u0an.

Ainsi, la suite diverge vers+∞ ou −∞ selon le signe de u0si a >1 et si a ∈ ]−1 , 1[ alors la

— Si a= 0 alors la suite (un) est stationnaire égale à b.

Dans ce qui suit, on suppose a 6= 1 et b 6= 0. Si (un) et (wn) sont deux suites qui vérifient :

un+1 = aun+ b et wn+1= awn+ b

alors leur différence(vn) est une suite géométrique de raison a. En effet, pour tout n, on a :

vn+1= un+1− wn+1= aun− b − awn− b = a(un− wn) = avn.

Il suffit donc de chercher une suite(wn) la plus simple possible vérifiant la relation wn+1= awn+ b. Soit la suite(wn) constante. On note α cette constante. On a alors :

α= aα + b.

Comme a 6= 1, il vient :

α= b

1 − a.

En conséquence, la suite(vn) définie par vn= un− α, où α = _1−ab est géométrique de raison a. On en déduit alors que pour tout n,

vn= v0an= (u0− α)an. D’où

un= (u0− α)an+ α.

Comme, on connaît le comportement asymptotique des suites géométriques(an), on en déduit celui de(un) :

— Si u0= α alors (un) est constante égale à α.

— Si a ∈ ]−1 , 1[ et u0 6= α alors (un) converge vers α.

— Si a >1 et u0 6= α alors (un) diverge vers +∞ (si u0> α) ou −∞ (si u0 < α). — Si(a ≤ −1 et u0 6= α), alors (un) diverge.

Exemples 43.6 1. Soit(un) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = u₄n + 3.

(a) On représente graphiquement les premiers termes de la suite. On trace d’abord la droite d’équation y= x

4+ 3 et la droite d’équation y = x. On part de u0en abscisse : l’ordonnée

du point de la courbe correspondant à cette abscisse nous donne u1. Pour déterminer u2=

f(u₁), il nous faut rabattre u₁ sur l’axe des abscisses en utilisant la droite d’équation

y= x. Dès lors, u2est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse u1. Pour poursuivre la

construction, on répète le procédé en rabattant u2sur l’axe des abscisses. . .

(b) On montre que la suite(vn) définie par vn= un− 4 est géométrique. Pour tout n,

vn+1 vn = un+1− 4 un− 4 = un 4 + 3 − 4 un− 4 = un 4 − 1 un− 4 = 1 4(un− 4) un− 4 = 1 4. (vn) est donc géométrique de raison b = 1₄.

(c) On en déduit l’expression de vnpuis de unen fonction de n. Pour tout n :

vn= bnvXS0 = −3 ₁ 4 n (car v0 = u0− 4 = 1 − 4 = −3). vn= un− 4 ⇔ un= vn+ 4 = −3 ₁ 4 n + 4.

1 2 3 4 1 2 3 4 0 b

FIGURE43.3 – Représentation de la suite un+1= 1₄un+ 3 avec u0 = 0, 9 (d) On détermine la limite de la suite(un) :

lim n→+∞un= limn→+∞−3 ₁ 4 n | {z } →0 +4 = 4 (car −1 < 1 4 <1).

(e) On détermine enfin l’expression de Sn= u0+ u1+ · · · + unen fonction de n :

Sn= v0+ 4 + v1+ 4 + · · · + vn+ 4 = v0+ v1+ · · · + vn+ 4(n + 1). Or(vn) est géométrique donc :

v0+ v1+ · · · + vn= v0× 1 −1 4n+1  1 −1 4 = −3 × 1 −1 4 n+1 3 4 = 4 × 1 − ₁ 4 n+1! . D’où Sn= −4 × 1 − ₁ 4 n+1! + 4(n + 1). 2. Soit(un), la suite définie par u0= 4 et un+1= u₂n + 1.

(a) On montre par récurrence que(un) est décroissante. Il s’agit de montrer que, pour tout n,

un+1− un≤ 0 :

— u1− u0 = 4₂ + 1 − 4 = −1 ≤ 0. La propriété est vraie au rang 0.

— On suppose la propriété vraie au rang p, c’est-à-dire que up+1− up ≤ 0. On a alors :

up+2− up+1= _u p+1 2 + 1  − _u p 2 + 1  = 1₂(up+1− up) | {z } ≤0 ≤ 0. La propriété est alors vraie au rang p+ 1.

Elle est donc vraie pour tout n. Donc(un) est décroissante pour tout n. (b) On montre par récurrence que(un) est minorée par 2.

— u0 = 4 ≥ 2. La propriété est vraie au rang 0.

— On suppose la propriété vraie au rang p, c’est-à-dire que up ≥ 2. On a alors :

up

2 ≥1 ⇒

up

2 + 1 ≥ 2 ⇒ up+1≥ 2. La propriété est alors vraie au rang p+ 1.

Elle est donc vraie pour tout n.

3. On montre que(un) converge vers une limite ` qu’on déterminera. (un) est décroissante et minorée donc elle converge vers une limite ` qui est nécessairement une solution de l’équation

x= x₂ + 1. Or, x= x 2 + 1 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = 2. (un) converge vers 2. 

43.2.6 Suites de Héron, approximation de√2

Exercice 43.7 Soit f la fonction définie sur R₊par :

f(x) = 1 2  x+2 x  .

1. Démontrer que, pour tout x ∈ R∗_{, on a :}

f0(x) = (x −√2)(x + √2)

2x2 .

En déduire le tableau de variations de f sur R∗_.

2. On considère la suite(un) définie par : (

u₀= 3₂ un+1= f(un)

.

(a) Calculer u1etu2.

(b) Démontrer par récurrence, que pour tout n ∈ N, on a : √

2 < un+1 < un≤ 3₂. En déduire que la suite(un) est convergente.

(c) Démontrer que, pour tout n ∈ N :

un+1− √

2 < 1₂(un− √

2). (d) En déduire, par récurrence, que pour tout n ∈ N :

0 < un− √

2 ≤1₂n(u0−√2). (e) En déduire la limite de la suite(un).



Dv

1. Soit x ∈ R∗_{, on a :}

f0(x) = 1

2 − x12 = x2_{− 2}

2x2 = (x −√2)(x + √2)_2x2 .

Le tableau de variations de f sur R∗_:

x _{−∞ −}√2 0 √2 +∞ signe de x −√2 − − − 0 + signe de x+√2 − 0 + + + signe de2x2 _{+ + 0 + +} signe de la dérivée f0 _{+ 0 − − 0 +} −√2 +∞ +∞

variations de f % & & %

−∞ −∞ √2

2. Les limites :

lim

x→+∞f(x) = +∞ et xlim→0+f(x) = +∞

(justification évidente). Les limites en −∞ et 0−_{s’en déduisent facilement en utilisant le}

fait que f est impaire.

3. (a) u1=17₁₂ ' 1, 41667 ; u2= 577₄₀₈ ' 1, 41422 à 10−5près d’après la calculatrice.

(b) Notons P la propriété définie, pour n ∈ N par :

P(n) :√2 < un+1< un ≤3

2. Initialisation : Comparons les carrés des nombres u1, u0et√2 :

(√2)2_{= 2 =} 288

144 ; u21= 289₁₄₄ ; u20=9₄ =324₁₄₄.

D’où :

0 ≤ (√2)2_{< u}2

1< u20≤9₄.

Par croissance de l’application t 7→√t, nous obtenons :0 ≤√2 < u1< u0≤3₂.

D’où la propriété P(0). Hérédité Soit n ∈ N. Supposons :

P(n) :√2 < un+1< un≤ 3₂.

Comme f est strictement croissante sur[√2;3/2], nous avons : f(√2) < f(un+1) < f(un) ≤ f(3/2).

Or f(√2) = √2, f(un+1) = un+1, f(un) = un+1) et f(3/2) = 17/12. D’où :

√

2 < un+2< un+1≤ 17_{12 ≤}3₂.

Bilan : On a bien, pour tout n ∈ N : √

2 < un+1< un ≤3₂.

En conséquence, la suite(un) est décroissante et minorée (par√2) donc convergente.

(c) Pour tout n ∈ N, on a : un+1−√2 = 1₂  un+ 2 un  −√2 = 1₂un+ 1 un − √ 2. Par passage à l’inverse :

1 un < √2 2 . D’où : un+1−√2 < 1₂un+√2_{2 −} √ 2 un+1−√2 < 1₂un−√2₂ un+1−√2 < 1₂(un− √ 2) (d) Soit T la propriété définie, pour n ∈ N, par :

T (n) : 0 < un−√2 ≤ 1

2 n

(u0−√2)

— On a :0 < u0−√2 ≤ 1₂
0(u0−√2), d’où T (0).

— Soit n ∈ N. Supposons T (n). Alors : 0 < un+1− 2 < 1₂(un− √ 2) ≤ 1_{2 ×} 1₂n(u0−√2) 0 < un+1−√2 ≤ 1₂ n+1 (u0−√2). Ce qui est T (n + 1).

— Bilan : on a bien, pour tout n ∈ N, 0 < un−

√

2 ≤ 1₂n(u0−√2).

(e) Comme lim

n→+∞ 1 2
n = 0 (puisque 1 2 ∈ ]−1 , 1[), nous avons : lim n→+∞  1 2 n (u0−√2) = 0.

Du théorème des gendarmes, on déduit : lim

n→+∞un =

√_2.

43.3

Suites récurrentes de type u

= au

+ bu

Exemple 43.8 Soit(un) la suite définie par :        u₀= 1 u1= 2 un+2 = 5un+1− 4un, ∀n ∈ N.

1. On montre que la suite(vn) définie par vn= un+1− unest une suite géométrique. Pour tout

n, vn+1 vn = un+2− un+1 un+1− un = 5un+1− 4un− un+1 un+1− un = 4un+1− 4un un+1− un = 4. (vn) est géométrique de raison b = 4 et de premier terme v0 = u1− u0 = 1. 2. On exprime vnen fonction de n :

vn= bn× v0 = 4n. 3. On a :

u0+ (v0+ v1+ · · · + vn−1) = u0+ (u1− u0) + (u2− u1) + · · · + (un− u0) = un. 4. On en déduit une expression de unen fonction de n.(vn) est géométrique, donc

v0+ v1+ · · · + vn−1= v0×1 − 4

n

1 − 4 = 13 ×(4n− 1). D’où

un= u0+1_{3 ×}(4n− 1) = 1 +1_{3 ×}4n−1₃ = 1_{3 ×}4n+2₃. 5. Etudier la limite de la suite(un).

lim n→+∞un= limn→+∞ 1 3 ×4n | {z } →+∞ +2₃ = +∞ (car 4 > 1).  43.3.2 Nombres de Fibonacci

On considère, quand t= 0, un couple A de jeunes lapins. Le mois suivant (t = 1), les deux lapins sont adultes, le couple est appelé B. A t = 2, deux jeunes lapins naissent et on a deux couples B et

A. Pour chaque mois suivant, chaque couple A devient B et chaque B devient BA. Les couples sont,

successivement, A, B, BA, BAB, BABBA, BABBABAB etc. Les nombres de couples de lapins sont

Définition 43.9 — Nombres de Fibonacci. Ces nombres sont appelés les nombres de Fibonacci On construit ainsi la suite F telle que F0 = 0 et F1 = 1 et pour tout entier naturel n, Fn+2 =

Fn+1+ Fn.

Définition 43.10 — Suite de Fibonacci. La suite(Fn) définie par :        F0 = 0 F1 = 1 Fn+2 = Fn+1+ Fn

est appelé suite de Fibonacci. Les termes de la suite sont les nombres de Fibonacci. Le polynôme caractéristique de la suite de Fibonacci est

χ(x) = x2_{− x − 1}

admettant pour racines

ϕ= 1 +√5

2 et ϕ= 1 −2√5.

Ainsi Fn= λϕn+ µϕnoù λ et µ sont obtenus par la résolution du système suivant : (

F0= λ + µ

F1= λϕ + µϕ

On obtient alors la formule de Binet :

Fn= √5₅ " 1 +√5 2 !n − 1 −₂√5 !n# .

Exemples 43.11 — Applications des suites de Fibonacci. 1. On dispose d’un plateau de

dimen-sion2 × n, n ∈ N∗_{. De combien de façon différentes peut-on disposer des dominos (à couleur}

unique sans motif) de sorte à ce qu’ils recouvrent totalement le plateau. On regarde ce qui se passe pour les premières valeurs de n :

n= 1 : il y a une seule façon de disposer le domino.

n= 2 : Il y a 2 façons de disposer les dominos.

43.3 Suites récurrentes de type un+2= aun+1+ bun 23

n= 4 : Il y a 5 façons de disposer les dominos.

n= 4 n= 4 n= 4

n= 4 n= 4

n= 5 : Il y a 8 façons de disposer les dominos.

n= 5 n= 5 n= 5 n= 5

n= 5 n= 5 n= 5 n= 5

n= 6 : Il y a 13 façons de disposer les dominos.

Ainsi, nous pouvons constater (et on peut vérifier cela en regardant les autres valeurs de n) que nous obtenons ici les premiers termes de la suite de Fibonacci. Il y a donc Fnfaçons de disposer les dominos sur un plateau de dimensions2 × n.

2. Un homme se déplace dans un couloir infini où il n’avance que face à lui ou vers sa droite sans jamais se tourner vers la gauche ni revenir en arrière. Combien de chemins possibles peut-il emprunter pour aller à la case n suivant l’illustration ci-dessous ?

1 2 3 4 5 6 7 FIGURE43.4 – Parcours dans un couloir infini

— De la case1 à la case 2, il y a 1 possibilité ;

— De la case1 à la case 3, il y a 2 possibilités (1 → 3 ou 1 → 2 → 3) ; — De la case1 à la case 4, il y a 3 possibilités ;

— De la case1 à la case 5, il y a 5 possibilités ; — De la case1 à la case 6, il y a 8 possibilités ; — De la case1 à la case 7, il y a 13 possibilités ;

On voit encore une fois apparaître les premiers termes de la suite de Fibonacci. Il y a donc Fn chemins possibles pour aller de la case1 à la case n.



43.4

Utilisation de Geogebra pour tracer une suite de récurrence

Soit à tracer la représentation graphique de la suite un+1 = f(un) avec f : I → R, I un intervalle de R, de premier terme u0. On trace tout d’abord la représentation graphique de f :

f(x) = ...

et la première bissectrice du repère (qu’on appellera D) :

y = x

On définit le paramètre a à l’aide d’un curseur et le paramètre n (nombre de termes de la suite qui seront calculés) avec un autre curseur. On calcule alors les n premiers termes de la suite :

Termes = ItérationListe[f,a,n]

On définit les points(ui, ui) de la droite D

Pointsx = Sequence[(Element[Termes,i],Element[Termes,i]),i,1,n]

puis les points(ui, ui+1)

Pointsf = Sequence[(Element[Termes,i],Element[Termes,i+1]),i,1,n]

puis les segments verticaux :

SegmentsV = Sequence[Segment[Element[Pointsx,i],Element[Pointsf,i ]],i,1,n]

Et enfin les segments horizontaux :

SegmentsH = Sequence[Segment[Element[Pointsf,i],Element[Pointsx,i +1]],i,1,n]

43.5

Etude d’une population

Les suites récurrentes ont de très nombreuses applications. Par exemple, intéressons nous à l’évo-lution à l’effectif d’une population.

Soit pn l’effectif de la population à l’instant n. On suppose qu’il n’y a aucun flux migratoire. L’évolution de l’effectif de la population résulte donc uniquement des naissances et des décès. On note α le taux de natalité (α ≥ 0) et ω le taux de mortalité (0 < ω < 1). On a :

Cependant, il parait raisonnable de penser que les taux de natalité et de mortalité sont dépendants de l’effectif de la population. En effet, si l’effectif de la population est très important, la compétition entre les individus est accrue. On peut alors imaginer que le taux de natalité diminue et que le taux de mortalité augmente et inversement. . .

Un modèle un peu plus fin pourrait donc considérer que ω et α sont des fonctions affines dépen-dantes de p0: α(pn) = α − α0pn où α0 >0 ω(pn) = ω + ω0pn où ω0 >0. (43.1) s’écrit alors : pn+1= pn(1 + α − α0pn− ω − ω0pn) = pn(1 + α − ω) ·  1 −_{1 + α + ω}α0+ ω0 pn  . On pose un:− _1+α+ωα0+ω0 pn. Comme pn+1>0, pn>0 et (1 + α − ω) ≥ 0, on a : 0 ≤ un≤ 1. R 43.12 Que caractérise un?

— Si unest nul (ou tout au moins très petit) alors on en revient au premier modèle, c’est-à-dire les taux

de natalité et de mortalité sont très peu sensibles à l’effectif de la population. — Si uns’approche de1, l’évolution de l’effectif en ait fortement impacté.

Conclusion : uncaractérise la sensibilité des taux de mortalité et de natalité à l’effectif de la population.

On remarque que : un+1= α0+ ω0 a · pn+1 où a= 1 − ω + α = α0+ ω0 a · a · pn· (1 − un) = un· a · (1 − un).

unest donc une suite récurrente avec g(x) = ax(1 − x).

R 43.13 a >0 car 1 − ω > 0 et α > 0. On peut considérer que a n’est pas très grand, sinon cela signifierait qu’il y a un grand écart entre α et ω. Prenons0 < a < 4.

On peut alors montrer que g([0 , 1]) ⊂ [0 , 1]. Les points fixes de g sont x1= 0 et x2= a−1a .

Si 0 ≤ a < 1 seul x1est dans[0 , 1] et il est attractif car g0(x) = a − 2ax et g0(x1) = a.

Si 1 ≤ a < 2 — g0_{(x) = a − 2ax, g}0_{(x1) = 0 > 1 donc x1est répulsif.}

— g0_{(x2) = a − 2a}a−1

a = 1 − a. Or

1 ≤ a < 2 ⇔ −1 ≥ −a > −2 ⇔ 0 ≥ 1 − a > −1 donc x2est attractif.

43.6

Théorème du point fixe

Théorème 43.14 Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Si f(I) ⊂ I alors f admet (au moins) un point fixe sur I (autrement dit, il existe (au moins) un réel x ∈ I tel que f(x) = x).

Dv

•Démonstration —Considérons la fonction g définie sur I par : g(x) = f(x) − x.

Montrons que0 ∈ g(I). On a :

g(a) = f(a) − a ∈ g(I) et g(b) = f(b) − b ∈ g(I).

Or, comme f(I) ⊂ I, on a f(a) ≥ a et f(b) ≤ b, c’est-à-dire g(a) ≤ 0 et g(b) ≥ 0. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel x ∈ I tel que g(x) = 0, c’est-à-dire

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