L47 [V2-VàC] – Dérivation

(1)

9

Dérivation

47

Leçon n° Niveau Terminale S

Prérequis continuité en un point d’une fonction, limite en un point d’une fonction Références [145], [146]

47.1 Dérivabilité en un point

Théorème 47.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de I. Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. Il existe un réel ` tel que l’accroissement moyen ait pour limite ` : lim

h→0

f(x0+ h) − f(x0)

h = `.

2. Il existe un réel ` et une fonction ϕ tels que pour tout h tel que x0+ h ∈ I :

f(x0+ h) = f(x0) + `h + hϕ(h) où limh→0ϕ(h) = 0.

Dv

•Démonstration du théorème47.1—

(i) ⇒ (ii) Il existe ` ∈ R tel que : lim h→0 (x0+ h) − f(x0) h = `. On pose, pour h 6= 0 : ϕ(h) = f(x0+ h) − f(x0) h − `.

Par hypothèse, on a ainsi :

lim

h→0ϕ(h) = 0.

De plus :

hϕ(h) = f(x0+ h) − f(x0) − `h.

D’où la condition (ii) :

f(x0+ h) = f(x0) + `h + hϕ(h) où limh→0ϕ(h) = 0.

(ii) ⇒ (i) Supposons :

(2)

Pour h 6= 0, on a :

f(x0+ h) − f(x0)

h = ` + ϕ(h)

et commelimh→0ϕ(h) = 0, il vient :

lim

h→0

f(x0+ h) − f(x0)

h = `.

D’où la condition (i).

•

Définition 47.2 — Accroissement moyen. La quantité f(x0+h)−f(x0)

h s’appelle l’accroissement moyen de f en x0. Graphiquement, elle représente le coefficient directeur de la sécante à la courbe Cf de f entre les points d’abscisses x0et x0+ h.

x0 x0+ h

f(x0)

f(x0+ h)

FIGURE47.1 – Accroissement moyen de f

La condition (i) du théorème peut donc aussi se traduire par « l’accroissement moyen de f en x0 admet une limite finie ».

Définition 47.3 — Dérivabilité. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit x0 un élément de

I. Lorsque l’une des deux conditions du théorème ci-dessus est vérifiée, on dit que f est dérivable en x0. Le nombre ` s’appelle alors le nombre dérivé de f en x0et on le note f0(x0).

Exemples 47.4 1. On considère la fonction f définie sur R+ par f(x) = √x. On étudie la dérivabilité en0. Pour cela on évalue la limite de l’accroissement moyen de f en x0= 0 :

f(x0+ h) − f(x0) h = √0 + h − √0 h = √ h h = 1 √ h. D’où : lim h→0 f(x0+ h) − f(x0) h = limh→0 1 √ h = +∞.

(3)

47.2 Différentes interprétations du nombre dérivé 11

2. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = |x|. On étudie la dérivabilité de cette fonction en0. Nous avons, pour tout h 6= 0 :

|0 + h| − |0| |h| = |

h|

h .

Or la quantité |h|

h n’a pas de limite en0. En effet : lim h→0+ |h| h = limh→0+ h h = 1 et hlim→0− |h| h = limh→0−− h h = −1.

L’accroissement moyen de la fonction f n’a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en0.

47.2 Différentes interprétations du nombre dérivé

47.2.1 Interprétation graphique du nombre dérivé

Il représente le coefficient directeur de la tangente à Cf au point de Cf d’abscisse x0.

x0 x0+ h

f(x0)

f(x₀+ h)

A

B

FIGURE47.2 – Accroissement moyen de f Le coefficient directeur de la sécante(AB) est :

f(x0+ h) − f(x0)

h .

Lorsque h tend vers0 :

— le point B tend vers le point A

— la droite(AB) tend alors vers la tangente à Cf en A

— l’accroissement moyen de f en x0 tend vers f(x0). A la limite le point B est en A, la droite (AB) est tangente à Cf en A et son coefficient directeur est f0(x0).

(4)

47.2.2 Interprétation numérique du nombre dérivé

On a vu que lorsque f est dérivable en x0, on a :

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + (x − x0)ϕ(x − x0) où limh→0ϕ(h) = 0. Ainsi lorsque x est voisin de x0, on a l’approximation :

f(x) ' f(x0) + f0(x0)(x − x0). L’application

x_{7→ f(x}0) + f0(x0)(x − x0) s’appelle approximation affine de f en x0.

47.2.3 _{Détermination d’une équation de la tangente T à C}f au point A d’abscisse x0

x0 f(x0) x y A M

FIGURE47.3 – Tangente T à la courbe Cf

La méthode est classique : soit M(x, y) un point quelconque de cette tangente T distinct de A. Le coefficient directeur de T est :

f0(x₀) = y− f(x0) x− x0 . D’où une équation de T :

y = f(x0) + f0(x0)(x − x0).

On constate que la tangente T n’est autre que la représentation graphique de l’approximation affine de f (en x0).

Exemple 47.5 On se donne la fonction f définie sur tout R par :

x7→ f(x) = −x2+ 3.

On cherche une équation de la tangente T au point d’abscisse x0= 2. On calcule f0(2) :

f(2 + h) − f(2) h = − (2 + h)2_{+ 3 − (−2}2_{+ 3)} h = − 4h − h2 h = −4 − h

(5)

47.3 Fonction dérivée 13

donc

f0(2) = lim

h→0(−4 − h) = −4. L’équation de T est donc :

y= f(2) + f0(2)(x − 2) = −1 − 4(x − 2) = −4x + 7.

47.2.4 Interprétation cinématique du nombre dérivé

Supposons ici que f représente la loi horaire d’un mobile en déplacement. La vitesse moyenne du mobile entre les instants t0et t0+ h est alors :

f(t0+ h) − f(t0)

h .

La vitesse instantanée du mobile au moment t0 est donc donnée par : lim

h→0

f(t0+ h) − f(t0)

h = f

0_(t₀_).

Si f est une loi horaire d’un mobile en mouvement, le nombre dérivé en t0 représente la vitesse instantanée du mobile à l’instant t0.

47.3 Fonction dérivée

Définition 47.6 — Fonction dérivée. Lorsqu’une fonction f admet un nombre dérivé en tout point x0 d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la fonction dérivée, notée f0_{, qui} à tout point x0de I associe le nombre dérivé f0(x0).

Voici un théorème fondamental :

Théorème 47.7 Toute fonction f dérivable sur un intervalle I est continue sur I.

Dv

•Démonstration du théorème47.7—Soit x0∈ I. Puisque f est dérivable en x0:

f(x0+ h) = f(x0) + f0(x0)h + hϕ(h) où limh→0ϕ(h) = 0.

On pose x= x0+ h, il vient alors :

f(x) = f(x0) + (x − x0)f0(x0) + (x − x0)ϕ(x − x0) où limx→x0ϕ(x − x0) = 0.

Par passage à la limite lorsque x tend vers x0, on obtient :

lim

x→x0f(x) = limx→x0(f(x0) + (x − x0)f

0_(x

0) + (x − x0)ϕ(x − x0)).

Orlimx→x0(x − x0)f0(x0) = 0 car f0(x0) est un nombre fini et :

lim

(6)

D’où :

lim

x→x0f(x) = f(x0).

La fonction f est donc continue en x0. Ce raisonnement étant valable pour tout x0de I, on

en déduit que f est continue sur I. •

R 47.8

1. La réciproque du théorème47.7est fausse. En effet, il existe des fonctions continues en un point x0et

non dérivables en x0. C’est le cas, par exemple, de la fonction « valeur absolue ».

2. Une fonction f peut être dérivable (et donc continue) sans que sa dérivée f0_{soit continue.}

Exemple 47.9 On considère la fonction f définie sur R par :

x_{7→ f(x) =} ( x2sin1_x si x 6= 0 0 si x= 0 y x

FIGURE47.4 – Représentation graphique de la fonction f(x) = x2sin_x1 si x 6= 0 et f(0) = 0 On montre que f est continue en0. On a, pour tout réel x 6= 0 :

sin1_x ≤ 1. Donc : x2 sin_x1 ≤ x2.

D’après le théorème de comparaison des limites (en 0), on en déduit : lim

x→0|f(x)| = 0 puisquelimx→0x2 = 0. Donc :

lim

x→0f(x) = 0 = f(0).

Donc f est continue en0. On montre que f est dérivable en 0. Pour tout réel x 6= 0, on a :

f(x) − f(0) x− 0 = x sin 1 x. Or : lim x→0xsin 1 x = 0. Donc : lim x→0 f(x) − f(0) x_{− 0} = 0.

(7)

47.4 Applications de la dérivation à l’étude de fonctions 15

Ce qui signifie que f est dérivable en 0 avec f0_{(0) = 0. Cependant f}0 _{n’est pas continue en} _{0. En} effet, pour tout x 6= 0, on a :

f0(x) = 2x sin 1 x + x 2₋ 1 x2 cos1 x = 2x sin 1 x − cos 1 x.

Nous savons quelimx→02x sin1x = 0, mais la quantité cos1x n’a pas de limite en0. Donc f0n’a pas de limite en0, ce qui signifie qu’elle n’est pas continue en 0.

R 47.10 Si f est dérivable en x0, alors l’application « coefficient directeur » ϕ définie par :

ϕ(x) = f(x) − f(x0) x− x0

si x 6= x0et ϕ(x0) = f0(x0) est continue en x0puisque

lim

x→x0ϕ(x) = f

0_(x 0).

47.4 Applications de la dérivation à l’étude de fonctions

Théorème 47.11— Lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

1. f est constante sur I si et seulement si f0_{= 0 sur I.}

2. f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si f0_{≥ 0 (resp. f}0_{≤ 0) sur I.} 3. f est strictement croissante (resp. strictement décroissante sur I si et seulement si

— f0 _{≥ 0 sur I (resp. f}0 _{≤ 0)}

— L’ensemble {x ∈ I, f0_{(x) = 0} ne contient aucun intervalle d’intérieur non vide.}

R 47.12

1. Si f0 _>_{0 sur I, sauf en des points isolés où elle s’annule, on a quand même la stricte croissance de f}

sur I,

2. il n’y a pas équivalence entre les conditions « f0_>_{0 » et « f est strictement croissante sur I ».}

On applique les mêmes remarques pour « f0_<0 sur I ».

Exemples 47.13 1. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x3. On a f0(x) = 3x2. La dérivée est toujours strictement positive sauf en0 où elle s’annule. La fonction f est donc strictement croissante sur R. Cet exemple montre donc qu’une fonction strictement croissante sur un intervalle I n’a pas nécessairement une dérivée strictement positive sur I.

2. On considère maintenant la fonction g définie sur R par :

g(x) =        (x + 1)3 _{si x < −1} 0 si x ∈ [−1 , 1] (x − 1)3 _{si x >}₁ On a g0(x) =        3(x + 1)2 _{si x < −1} 0 si x ∈ [−1 , 1] 3(x − 1)2 _{si x >}₁

La dérivée g0 _{est toujours positive. De plus, elle est nulle sur tout intervalle} _{[−1 , 1]. Par} conséquent, la fonction g est croissante (non strictement) sur R.

(8)

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 y

−2, 5

2, 5

x

FIGURE47.5 – Représentation graphique de la fonction g 3. Soit h la fonction définie sur]−2 , −1[ ∪ ]1 , 2[ par

h(x) = (

−1 si x ∈ ]−2 , −1[ 1 si x ∈ ]1 , 2[

On a clairement h0 _{= 0 sur ]−2 , −1[ ∪ ]1 , 2[. Cependant h n’est pas constante, d’où la} néces-sité de la condition « I est un intervalle » dans le théorème précédent.

Le théorème suivant donne une condition nécessaire pour que f ait un extremum local en x0: Théorème 47.14 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point x0intérieur à I alors f0(x0) = 0.

R 47.15 Avant de lire la démonstration, on donne quelques explications :

1. Si a et b représentent les extrémités de l’intervalle I (avec éventuellement a = −∞ et/ou b = +∞), l’intérieur de I est l’intervalle ouvert]a , b[.

2. Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local. Une fonction f admet un maximum local en x0, s’il existe un intervalle ouvert J du type]x0− ε , x0+ ε[ (avec ε > 0) tel que

pour tout x de J, on ait f(x) ≤ f(x0). (On définit de façon analogue un minimum local). Une fonction

peut avoir plusieurs maxima sur un même intervalle I. Le plus grand d’entre eux est appelé maximum global de f sur I.

Dv

•Démonstration du théorème47.14—Par hypothèse, f est dérivable en x0et :

f0(x0) = lim

h→0

f(x0+ h) − f(x0)

(9)

47.5 Dérivation d’une fonction composée et applications 17 Comme x0 est intérieur à I, il existe ε > 0 tel que ]x0− ε , x0+ ε[ soit contenu dans I.

Supposons que l’extremum local de f soit un maximum local. Pour h ∈ ]0 , ε[, on a : f(x0+ h) − f(x0)

h ≤ 0.

Pour h ∈ ]−ε , 0[, on a :

f(x0+ h) − f(x0)

h ≥ 0.

Ceci montre que la dérivée à droite de f en x0est négative et que la dérivée à gauche de f en

x0est positive. Et comme elles sont toutes deux égales à f0(x0), on a nécessairement

f0(x0) ≥ 0 et f0(x0) ≤ 0

d’où f(x0) = 0.

Dans le cas où f admet un minimum local, on raisonne de même. •

] [

x00 f(x00)

a _x₀_{− ε} x0_x₀_{+ ε} b

f(x0)

FIGURE47.6 – Minimum local et maximum local d’une fonction

Le théorème suivant donne une condition suffisante pour que f ait un extremum local en x0. Théorème 47.16 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit x0 un point intérieur à I. Si

f0s’annule en x0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x0. Ce théorème est admis car il repose sur le théorème des accroissements finis.

47.5 Dérivation d’une fonction composée et applications

Théorème 47.17 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). La fonction v ◦ u est dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(v ◦ u)0_{(x) = u}0_(x)v0_(u(x)).

(10)

•Démonstration du théorème47.17—Soit x0∈ I. On écrit : (v ◦ u)(x) − (v ◦ u)(x0) x_{− x}0 = v(u(x)) − v(u(x0)) u(x) − u(x0) × u(x) − u(x0) x_{− x}0 .

On pose y0= u(x0) et y = u(x), ainsi :

(v ◦ u)(x) − (v ◦ u)(x0) x_{− x}0 = v(y) − v(y0) y_{− y}0 × u(x) − u(x0) x_{− x}0 .

Or, v étant dérivable en y0, on a :

lim y→y0 v(y) − v(y0) y− y0 = v 0_(y 0) et u étant dérivable en x0, on a : lim x→x0 u(x) − u(x0) x− x0 = u 0_(x 0). D’où : lim x→x0 (v ◦ u)(x) − (v ◦ u)(x0) x− x0 = u 0_(x 0) × v0(y0) = u0(x0) × v0(u(x0)) c’est-à-dire (v ◦ u)0_(x 0) = u0(x0) × v0(u(x0)).

Ceci étant valable pour tout x0∈ I, on en déduit la dérivabilité de v ◦ u sur I et

(v ◦ u)0_{(x) = u}0_(x)v0_(u(x)).

• Conséquence 47.18 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

— Si f = √u (où u est strictement positive sur I) alors f est dérivable sur I et f0₌ u0 2√u. — Si f = un_{(avec n ∈ Z}∗ _{et u ne s’annulant pas sur I si n ≤ −1) alors f dérivable sur I et}

f0= nu0un−1.

Exemples 47.19 1. On considère la fonction f définie sur R₊par :

f(x) =px2+ x.

On peut écrire f = √u avec u(x) = x2_{+x. la fonction u est strictement positive sur ]0 , +∞[.} Donc f est dérivable sur]0 , +∞[ et on a f0 ₌ u0

2√u, ce qui donne :

f0(x) = 2x + 1

2√x2+ x, pour tout x ∈ ]0 , +∞[.

2. Dans la pratique, s’il n’y a pas d’ambiguïté avec les intervalles, on finit par ne plus préciser la composition :

f(x) = (2x2_{− x + 1)}6 f0(x) = 6(4x − 1)(2x2_{− x + 1)}5.

(11)

47.6 Tableaux des dérivées usuelles et opérations sur les dérivées 19

47.6 Tableaux des dérivées usuelles et opérations sur les dérivées

Le tableau 47.1nous donne les dérivées usuelles. Tous les résultats de ce tableau se démontre essentiellement avec la définition du nombre dérivé.

Fonction f Fonction dérivée f0 _{Domaine de définition de f}0

f(x) = k (constante) f0(x) = 0 R f(x) = x f0(x) = 1 R f(x) = ax + b f0(x) = a R f(x) = xn(n ∈ Z∗) f0(x) = nxn−1 R si n > 0 ; R∗si n <0 f(x) = √x f0(x) = _2√x1 R∗+ f(x) = _x1 f0(x) = −_x12 R∗+ f(x) = cos(x) f0(x) = − sin(x) R f(x) = sin(x) f0(x) = cos(x) R

f(x) = tan(x) f0(x) = 1 + tan2(x) = _cos21_(x) R \kπ₂, k∈ Z

f(t) = cos(ωt + ϕ) f0(t) = −ω sin(ωt + ϕ) R f(t) = sin(ωt + ϕ) f0(t) = ω cos(ωt + ϕ) R f(t) = tan(ωt + ϕ) f0(t) = ω(1 + tan2(ωt + ϕ)) R \nkπ2−ϕ

t , k∈ Z

o

TABLE47.1 – Dérivées de fonctions usuelles

Dv

•Exemples de démonstration de dérivée de fonctions usuelles —

1. Si f(x) = xn _{lorsque n >} _{0, l’accroissement moyen de f en x s’écrit (on utilise la}

formule du binôme de Newton) : (x + h)n_{− x}n h = xn+ nxn−1_h₊ n 2xn−2h2+ · · · + hn− xn h = nxn−1₊ n 2 xn−2h+ · · · + hn−1 D’où : lim h→0 (x + h)n_{− x}n h = limh→0nx n−1 n 2 xn−2h+ · · · + hn−1= nxn−1. On aurait pu procéder par récurrence en utilisant la formule de dérivation d’un produit. 2. Si f(x) = sin(x). L’accroissement moyen de f en x s’écrit :

sin(x + h) − sin h

h =

sin x cos h + sin h cos x − sin x

h = sin x cos h − 1 h + sin h h cos x. Or : lim h→0 sin h h = 1 et hlim→0 cos h − 1 h = 0.

(12)

D’où : lim h→0 sin(x + h) − sin h h = cos h. •

Le tableau47.2donne les opérations sur les dérivées lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I. Tous les résultats de ce tableau se démontrent essentiellement avec la définition du nombre dérivé.

Fonction Dérivée Conditions

u+ v u0+ v0 ku(k constante) ku0 uv u0v+ uv0 1 v −v 0 v2 v6= 0 sur I u v u 0_v_−uv0 v2 v6= 0 sur I un(n ∈ Z) nu0un−1 u >0 sur I si n ≤ 0 √ u _2√uu0 u >0 sur I v_{◦ u} u0(v0_{◦ u)}

TABLE47.2 – Opérations sur les dérivées

Dv

•Exemples de démonstration sur les opérations de dérivées —

1. On veut montrer la relation(uv0_{) = u}0_v_{+ uv}0_{. Pour tout x}₀_{de I, comme les fonctions u}

et v sont dérivables en x0, on peut écrire :

u(x0+ h) = u(x0) + u0(x0)h + hϕ(h) où limh→0ϕ(h) = 0, (47.1)

v(x0+ h) = v(x0) + v0(x0)h + hψ(h) où limh→0ψ(h) = 0. (47.2)

En multipliant (47.1) par (47.2), il vient :

u(x0+ h)v(x0+ h) = (u(x0) + u0(x0)h + hϕ(h))(v(x0) + v0(x0)h + hψ(h))

= u(x0)v(x0) + (u0(x0)v(x0) + u(x0)v0(x0))h + hΦ(h)

où

Φ(h) = u(x0)ψ(h) + u0(x0)v0(x0)h + u0(x0)hψ(h) + ϕ(h)v0(x0)h + hϕ(h)ψ(h).

Nous avons donc :

uv(x0+h) = uv(x0)+(u0(x0)v(x0)+u(x0)v0(x0))h+hΦ(h) où limh→0Φ(h) = 0.

La fonction produit uv admet un développement limité à l’ordre1 en x0, donc uv est

dérivable en x0. Ceci étant valable pour tout x0de I, on a uv dérivable sur I. On a donc :

(13)

47.7 Quelques inégalités 21 2. On veut montrer la relation 1_v0_{= −}v0

v2. Pour tout x ∈ I, on pose f(x) =

1 v(x). On a : f(x + h) − f(x) h = 1 v(x+h) −v(x)1 h = v(x) − v(x + h) hv(x)v(x + h) . Or, puisque v est dérivable, on peut écrire :

v(x + h) = v(x) + v0_{(x)h + hϕ(h).}

Remplaçons v(x) − v(x + h) par −(v0_{(x)h + hϕ(h)) ; on obtient :}

f(x + h) − f(x) h = − v0_{(x)h + hϕ(h)} hv(x)v(x + h) = − v0_{(x) + ϕ(h)} v(x)v(x + h). D’où : lim h→0 f(x + h) − f(x) h = limh→0 v0(x) + ϕ(h) v(x)v(x + h) = − v0(x) (v(x))2.

Donc f est dérivable et f0= −v0 v2 d’où :

1 v

0

= −_vv20.

3. On veut montrer la relation(u v)0 = u0v−uv0 v2 . On écrit : u v = u × 1 v

et on utilise la dérivée d’un produit et le résultat ci-dessus.

•

47.7 Quelques inégalités

Exemples 47.20 1. On va montrer les inégalités suivantes sur[0 ,π₂] : (a) 2_πx≤ sin x ≤ x

(b) 1 − 2

πx≤ cos x ≤ π2 − x. On note I = [0 ,π

2]. On étudie les fonction f et g sur I par f(x) = x − sin x et g(x) = sin x − 2 πx. On a, pour x ∈ I, f0(x) = 1 − cos x ≥ 0 g0(x) = cos x − 2 π et g 00_{(x) = − sin x ≤ 0.}

La fonction f0_{est positive sur I, donc f est croissante sur I et comme f}_{(0) = 0, on en déduit} que f est positive sur I, donc :

sin x ≤ x, pour tout x ∈ I. La fonction g00_{est négative sur I, donc g}0_{est décroissante sur I. Or :}

g0(0) = 1 − 2 π >0 et g 0π 2 = −2_π <0.

(14)

Comme g0 _{est continue et strictement décroissante sur I, d’après le théorème des valeurs} intermédiaires, il existe un unique α ∈ I tel que g0_{(α) = 0. Donc g}0_{est positive sur}_{[0 , α] puis} négative sur[α ,π

2]. On en déduit que g est croissante sur [0 , α] puis décroissante sur [α ,π2]. Mais g(0) = 0 et g(π

2) = 0. Donc g est positive sur I : 2

π ≤ sin x, pour tout x ∈ I.

On montre de même que :

1 −_π2x≤ cos x ≤ π_{2 −}x, pour tout x ∈ I.

2. On montre que pour tout x ∈ [0 ,π

2[, on a :

x≤ tan x. On pose f(x) = tan x − x, pour x ∈ J = [0 ,π

2[. On a :

f0(x) = tan2x_{≥ 0,} pour tout x ∈ J.

Donc f est croissante sur J. En outre, f(0) = 0 donc f est positive sur J d’où le résultat.

R 47.21 A l’aide de l’encadrementsin x ≤ x ≤ tan x démontré ci-dessus pour x ∈ [0 ,π₂[, on en déduit que : 1 ≤ _{sin x ≤}x _{cos x}1 , pour tout x ∈ ]0 ,π₂[.

On montre que l’encadrement est aussi valable pour x ∈ ]−π

2,0[. Le théorème des gendarmes permet alors

de retrouver la limite importante :

lim

x→0

sin x x = 1.

(15)

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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