L30 [V2-VàC] – Le cercle

9

Le cercle

30

Leçon

n°

Niveau Collège (Définitions, propriétés), Première S (équation cartésienne du cercle) Prérequis produit scalaire (équation cartésienne du cercle)

Références [97], [98]

30.1

Définitions

Définition 30.1 — Cercle. _{Soit O un point du plan et r un nombre réel. Le cercle C de centre O et de}

rayon r est l’ensemble des points à distance r de O. Si M appartient au cercle C alors : OM = r.

O M

c

FIGURE30.1 – Cercle de centre O et de rayon OM

Définition 30.2 — Objets géométriques liés au cercle. — Une corde est un segment de droite dont les extrémité se trouvent sur le cercle.

— Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.

— Un rayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle.

— Un diamètre est une corde passant par le centre (la longueur du diamètre est2r si r est une mesure du rayon).

— Un disque est une région du plan limitée par un cercle.

— Un secteur angulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons. — Un angle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle.

30.2

Quelques propriétés du cercle

Propriété 30.3— Aire d’un cercle. _{Le cercle C de centre O et de rayon r a pour aire πr}2.

Exemple 30.4 Soit C le cercle de centre O et de rayon 3. L’aire du cercle C est donc de 9π. 

30.2.2 Tangente

Définition 30.5 On dit que deux cercles sont tangents l’un de l’autre si leur intersection est réduit à un point. O M c P A

FIGURE30.2 – Deux cercles tangents de point de contact A

Propriété 30.6 Une droite peut avoir, avec un cercle — 0 point d’intersection

— 1 point d’intersection (tangente) — 2 points d’intersection

Définition 30.7 — Tangente au cercle. On dit qu’une droite est tangente à un cercle s’il n’a qu’un seul point d’intersection avec ce dernier.

O

M c

30.2 Quelques propriétés du cercle 11

Propriété 30.8 La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point (voir la figure précédente).

30.2.3 Médiatrice

Propriété 30.9 Dans un cercle, la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle.

Exemple 30.10 — Application de la propriété30.9. Soit l’arc de cercle passant par trois points C, D

et E. On cherche le centre et le rayon du cercle dont l’arc de cercle y est confondu. C

D

E

Pour cela, on trace les cordes[DC] et [DE]. On construit les médiatrices des segments [DC] et [DE] et leur point d’intersection (d’après le propriété30.9) est le centre du cercle qui contient l’arc de cercle

_ CDE. C D E O 

Définition 30.11 Soient A, M, B trois points distincts appartenant au cercle de centre O et de rayon quelconque :

— l’angle \AM B est un angle inscrit qui intercepte l’arcAB_ ; — l’angle \AOBest l’angle au centre qui intercepte l’arcAB_ .

Propriété 30.12 Un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

O M

A

B

FIGURE30.4 – Théorème de l’angle inscrit et de l’angle au centre

Conséquence 30.13 Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

O M

A

B

N

FIGURE30.5 – \AN B= \AM Bcar ils interceptent l’arc AB.

30.3

Equation cartésienne du cercle

30.3 Equation cartésienne du cercle 13

Définition 30.14 — Cercle défini par son centre et son rayon. Le cercle de centre O(a, b) et de rayon ra pour équation cartésienne :

(x − a)2_{+ (y − b)}2 _{= r}2_.

O(1, 2)

c: (x − 1)2+ (y − 2)2= 9

FIGURE30.6 – Equation cartésienne d’un cercle de centre O(1, 2) et de rayon 3

Définition 30.15 — Cercle défini par son diamètre. Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si # »

AM _·BM# » = 0. Si A(xA, yA) et B(xB, yB) alors le cercle de diamètre [AB] a pour équation cartésienne :

(x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0.

Définition 30.16 — Forme générale d’une équation cartésienne de cercle. En développant les ex-pressions précédente on voit qu’une équation cartésienne de cercle peut s’écrire sous la forme :

x2+ y2+ mx + py + q = 0.

R 30.17 La réciproque est fausse.

Exemples 30.18 1. L’équation x2+ y2− 2x + 6y + 6 = 0 peut s’écrire :

x2− 2x + 1 + y2+ 6y + 9 + 6 − 1 − 9 = 0. On obtient alors :

(x − 1)2_{+ (y + 3)}2 _{= 4 = 2}2_.

Ceci est l’équation du cercle de centre A(1, −3) et de rayon 2. 2. L’équation x2+ y2_{+ 4x − 8y + 20 = 0 va s’écrire :}

x2+ 4x + 4 + y2− 8y + 16 + 20 − 4 − 16 = 0. On obtient alors :

(x + 2)2_{+ (y − 4)}2_{= 0.}

Cette égalité est seulement vraie pour les coordonnées du point A(−2, 4). L’égalité ci-dessus n’est donc pas une équation de cercle.

3. L’équation x2+ y2_{+ 6x − 2y + 15 = 0 s’écrit :}

x2+ 6x + 9 + y2_{− 2y + 1 + 15 − 9 − 1 = 0.} On obtient alors

(x + 3)2_{+ (y − 1)}2 _{= −5.}

Or une somme de deux carrés ne peut pas être négative. Il n’y a donc pas de solutions pour l’équation précédent. Ce n’est donc pas l’équation d’un cercle.



30.4

Puissance d’un point par rapport à un cercle

Si M est un point etΓ est le cercle de centre O et de rayon R, alors pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et en B, on a :

M A× MB =OM2− R2.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M par rapport au cercle.

R 30.19

— Si M est à l’extérieur du cercle,

M A_{× MB = OM}2_{− R}2 — Si M est à l’intérieur du cercle,

OM2_{− R}2= −MA × MB.

Définition 30.20 — Puissance d’un point par rapport au cercle. On appelle puissance du point M par rapport au cercleΓ le produit des mesures algébriques MA et MB (c’est-à-dire la valeur −MA × M B). Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM2− R2.

Lorsque le point M est à l’extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d’une de ces tangentes, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle OMT , la puissance de M est MT2. L’égalité

M A× MB = MT2

est suffisante pour affirmer que la droite(MT ) est tangente au cercle.

Propriété 30.21 Si

— A, B, C, D sont quatre points tels que(AB) et (CD) se coupent en M — MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques)

alors les quatre points sont cocycliques.

30.5

Le cercle vue comme une conique

Définition 30.22 Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe.

C’est une conique dont l’excentricité e vaut0. Elle peut être obtenue par l’intersection d’un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l’axe de révolution du cône (ou « section droite » du cône).

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