L69 [V2-VàC] – Applications des mathématiques à d’autres disciplines

(1)

9

Applications des mathématiques à

d’autres disciplines

69

Leçon

n°

Niveau Lycée

Prérequis fonctions, équations différentielles, fonctions exponentielles, logarithmes, congruences, graphes

Références

69.1 Démographie : fonction logistique

La fonction logistique est une famille de fonctions découverte par Verhulst. C’est une fonction de la forme :

t7→ f(t) = _{1 + ae}k _−bt avec

— t le temps ;

— f(t) le nombre de personnes (bactéries, cellules) présentes au temps t ;

— b >0, b dépend du taux de natalité et du taux de mortalité (b = α − ω, α naissance, ω mort) — k >0 dépend du type de population et de la contrainte liée au territoire (ou l’environnement) ; — a provient de l’équation différentielle(a > 0) car en effet, ces fonctions sont des solutions à

l’équation différentielle suivante :

(

y0 = by 1 − y_k y(0) = y0 .

Cette modélisation du développement d’une population est une amélioration de la modélisation faite par Malthus qui prenait comme équation différentielle : y0 _{= by.}

Cependant, cette modélisation n’est valable que si on considère que le territoire permet un déve-loppement infini (suivant la fonction exponentielle) de la population.

C’est pour cela que l’on ajoute la constante k que l’on peut aussi voir comme étant le nombre maximal de personnes qui peuvent vivre sur le territoire.

Dv

•Résolution de l’équation différentielle —On veut résoudre l’équation différentielle

sui-vante : ₍

y0= by 1 −y_k (E)

y(0) = y0 .

On pose z = 1

y (l’on peut car y représente un nombre de personnes qui ne peut jamais s’annuler). (E) ⇔ −_zz₂0 = b z 1 − _kz1 ⇔ z0= b 1_k− z (E0₎

(2)

Les solutions de(E0_{) sont : z : t 7→ λe}−bt₊1

k, λ ∈ R donc les solutions de (E) sont

y: t 7→ 1 λe−bt+1 k = _λ k ke−bt+ 1 . On pose a=λ k donc y(t) = k

ae−bt₊₁. De plus, y(0) = y0donc y0= a+1k ⇒ a = k y0 − 1. R 69.1 a >0 car k y0 >1 du fait que : ( k:= population maximale y0:= population initiale •

69.2 Médecine - SVT

69.2.1 Fonction de Gompetz

Cette fonction modélise la croissance des cellules d’une tumeur. Elle de type : t_{7→ x(t) = A exp(k exp(−at))}

avec :

— x : biomasse — t : temps

— A : taille maximale de la tumeur(1011₎

— a : taux de croissance (0, 003 j−1₎

— k= ln x0

A

.

Cette fonction est la solution à l’équation différentielle suivante :

   x0 = ax lnA_x x(0) = x0 Dv

•Démonstration —Résolution de l’équation différentielle On veut résoudre l’équation dif-férentielle suivante : ₍

x0_{= ax ln} A x (E)

x(0) = x0 .

Pour cela, on pose y= ln x.

x0= ax ln

_A

x

⇔ x_x0 = A (ln A − ln x) ⇔ y0= a (ln A − y) (E0) Les solutions de(E0_{) sont :}

(3)

69.2 Médecine - SVT 11

Les solution de(E) sont :

x: t 7→ exp(λe−at+ ln A) = A exp(λ exp(−at)).

De plus, x(0) = x0donc x0= Aeλ⇒ λ = ln xA0

. •

69.2.2 Phénotype-génotype et probabilités

On a un gène avec2 allèles : A et a. A est prédominant sur a. La transmission d’un allèle du parent à l’enfant est aléatoire.

1. Déterminer la loi du génotype d’un enfant lorsque les deux parents ont pour génotype Aa. 2. On se place dans une population où les proportions des génotypes AA, Aa et aa sont

respec-tivement p, q et r.

(a) Sachant qu’un individu a le phénotype A, déterminer le loi de son génotype. (b) Même question avec un individu du phénotype aa.

(c) Un enfant a2 parents ayant le phénotype A, déterminer la loi de son phénotype.

(d) Un enfant ayant2 parents avec les phénotypes A et a, déterminer la loi de son phénotype. (e) Déterminer la loi du phénotype d’un enfant choisi au hasard.

Dv

•Solution —

1. On note :

— AAP : « le père a pour phénotype AA » — AAM : « la mère a pour phénotype AA » — AP→e« le père donne A à son enfant » — AAe: « l’enfant a pour génotype AA ». Les dons des allèles sont indépendants.

(4)

AaP AP→e 1/2 aP→e 1/2 AaM AM→e 1/2 aM→e 1/2

P(AAe) = P (AP_→e_{∩ A}M→e) = P (AP→e) × P(AM→e) =1₄

P(aae) = P (aP→e∩ aM→e) = 1₄

P(Aae) = P ((AP→e∩ aM→e) ∪ (AM→e∩ aP→e)) = P (AP→e∩ aM→e) + P (AM→e∩ aP→e) =1₂. 2. Pour un individu quelconque :

géno AA Aa aa

P 1/4 1/2 1/4

(a) On note B : « individu du phénotype A »et b : « individu du phénotype a ».

P(B) = P (AA ∪ Aa) = 3 4 et P(b) = P (aa) = 1 4. PB(AA) = P(AA ∩ B) P(B) = 1/4 3/4 = 1 3 ; PB(aa) = 0 ; PB(Aa) = 2 3. (b) PB(AA) = 0 ; PB(Aa) = 0 ; Pb(aa) = 1.

(c) On note BP : « le père est du phénotype A ».

BP AAP AP 1 1/3 AaP AP 1/2 aP 1/2 2/3 BM AAM AM 1 1/3 AaM AM 1/2 aM 1/2 2/3 Ici : P(AP) =2 3 = P (AM) P(aP) =1 3 = P (aM) P(be) = P (aP_{∩ a}M) = 1 9 ; p(Be) = 1 9. (d) bP 1 aaP 1 aP bM 1 aaM 1 aM

(5)

69.3 Cryptographie : système RSA 13

Si on a BP et bM :

P(be) = P (aP_{∩ a}M) = 1_{3 ×}1 = 1₃. Si on a bP et BM, on a :

P(be) = P (aP∩ am) = 1 ×1₃ = 1₃ (e) Pour cette question, on balaye les6 cas possibles de génotypes :

(AAP, AAM), (AaP, AAM), (aaP, AAM), (aaP, AaM), (AaP, AaM), (aaM, aaP). On peut construire l’arbre de probabilités (long à faire !).

•

69.3 Cryptographie : système RSA

69.3.1 Théorème

Théorème 69.2 Soient p et q deux nombres premiers et soit n = pq. On considère e ∈ N tel que 1 < e < (p − 1)(q − 1) et PGCD(e, (p − 1)(q − 1)) = 1. Alors :

(i) il existe un unique d ∈ N tel que 1 ≤ d ≤ (p − 1)(q − 1) et ed ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1)). (ii) pour tout n ∈ N, ned _{≡ m (mod n).}

Dv

•Démonstration —

(i) On a : PGCD(e, (p − 1)(q − 1)) = 1 donc d’après le théorème de Bézout, il existe

u, v∈ Z tels que ue + v(p − 1)(q − 1) = 1. Donc eu ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1)), donc il existe un unique d tel que1 ≤ d ≤ (p − 1)(q − 1) et ed = 1 (mod (p − 1)(q − 1)). (ii) n | med_{− m si et seulement si p et q divisent m}ed_{− m car p, q premiers.}

Cas 1 : p | m alors il est évident que med

≡ m (mod p) ≡ 0 (mod p). Cas 2 : p - m alors d’après le petit théorème de Fermat, mp−1_{≡ 1 (mod p) et}

med_{≡ m}1+k(p−1)(q−1)_{≡ m(m}p−1)k(q−1) _{≡ m (mod p),}

de même pour q, d’où le résultat.

•

69.3.2 Principe

A veut envoyer un message à B, B choisit p, q et e, il calule e et diffuse n et e. A choisit m < n (m est le message), il calcule c tel que1 ≤ c < n et me_{≡ c (mod n), il diffuse c. B calcule c}d_{. Or :}

(6)

69.3.3 Exemple p= 41, q = 53, n = 2173, e = 1427, d = 1089. M = 356 |{z} m3 453 |{z} m2 213 |{z} m1 me₁ _{≡ 1273 (mod n) c}1 = 1273 me₂ ≡ 907 (mod n) c2 = 0907 me₃ _{≡ 1297 (mod n) c}3 = 1297 donc c= 127309071297.

69.4 Physique et équations différentielles

69.4.1 Désintégration des noyaux radioactifs

Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs dans le corps au temps t. On note λ la constante radioactive (t−1_{), t}_1/2_{le temps tel que N(t}_1/2_{) =} Nt

2 . Il existe un tableau donnant les temps de

demi-vie (t1/2) de tous les noyaux radioactifs. De plus t1/2et λ sont liés par λ = tln 2_1/2. N vérifie l’équation

différentielle : ₍

N0 = −λN N(0) = N₀ donc N(t) = N0e−λt.

Application : datation au carbone 14 : t1/2 = 5730 ans. 69.4.2 Circuit RL

L’équation différentielle qui régit le circuit est la suivante : U = Ldi

dt+ Rt.i

avec :

— U la tension aux bornes du montage, en V ; — i l’intensité du courant électrique en A ; — L l’inductance de la bobine en H ; — Rtla résistance totale du circuit enΩ.

(7)

69.5 Économie d’entreprise 15

69.5 Économie d’entreprise

69.5.1 Théorie des graphes

Une entreprise doit respecter pour les mois de mai, juin et juillet, une commande de2 chalets par mois.

L’entreprise peut stocker au maximum2 chalets. Le stock coûte 60 e par chalet par mois. L’entreprise peut construire un maximum de4 chalets par mois. Le premier chalet coûte 1500 e pour sa construction mais les chalets suivants que l’on construit dans le même mois ne coûte que 500 e par chalet.

À la fin du mois du juillet, l’entreprise ne doit plus avoir de chalet en stock. Comment faire pour minimiser les coûts ?

On utilise un graphe pondéré orienté pour visualiser la situation. Les sommets représentent le nombre de chalets mis en stock.

Les indices A, B, C et D représentent « début de mai », « fin de mai », « fin de juin » et « fin de juillet ».

On pondère avec les coûts entre2 mois (en comptant le stock sur le mois suivant).

0A 1B 0B 2B 1C 0C 2C 0D 2000 2500 3000 2000 2500 3000 1560 2060 2560 2120 1620 120 2000 1560 120

On cherche la chaîne la plus courte, on utilise donc l’algorithme de Dijkstra pour la trouver :

0A 0B 1B 2B 0C 1C 2C 0D 0 2000 (0A) 2500 (0A) 3000 (0A) +∞ +∞ +∞ +∞ 3120 (2B) 4500 (0B) 5000 (0B) 5120 (2C) 5120 (0C)

Il existe donc2 chaînes de poids minimal :

0A− 2B− 0C − 0D et 0A− 0B− 2C− 0D.

Il y a donc deux possibilités :

— construire4 chalets en mai, en stocker 2, ne rien construire en juin, en construire 2 en juillet. — construire2 chalets en mai, en construire 4 en juin, en stocker 2, ne rien construire en juillet.

(8)

69.5.2 Suite arithmético-géométrique

Une entreprise compte220000 employées. Cette entreprise veut diminuer le nombre d’employés et pour cela, elle ne remplace pas tous les départs à la retraite. L’objectif de l’entreprise est de diminuer de45000 le nombre de postes. Les départs à la retraite représentent 3% par an et l’entreprise fait 300 nouvelles embauches.

Quand l’entreprise atteindra-t-elle son objectif ?

Soit n ∈ N. On pose unle nombre de personnes dans l’entreprise après n années. On a donc :

(

u_n+1 = 0, 97un+ 300

u0= 220000

Ensuite, on résout classiquement : on pose vn= un− 10000.

(9)

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/

wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://

bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

(10)

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/

~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL :} _http://

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/

marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.

xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_

JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.

http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

(11)

BIBLIOGRAPHIE 19

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien.

herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.

[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr

[55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[56] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011.} _www.

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.

[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://

tehessin.tuxfamily.org

[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/

21ganal.pdf.

(12)

[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/

coorgeo.pdf.

[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net. [67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah.

jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf

[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http:

//perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf.

[72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_

Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.

[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/

Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.

[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF

[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html

[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.

[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php

[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf

[85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),

Programme 1999, Didier.

(13)

BIBLIOGRAPHIE 21

[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html

[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf

[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/

CAPES/geometrie/droites2012.pdf.

[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf

[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf

[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf

[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/

lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e ₃e_{, Playermath. URL :} _http://www.

playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.

[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.

[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf

[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf

[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.

[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau.

pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.

[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf

[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf

[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf

[108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/

(14)

[109] Propriété de Thalès, 3e_{. URL :}_{http://melusine.eu.org}

[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.

[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.

[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.

URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf

[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf

[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net

[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net

[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.

[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.

URL :http://capes-de-maths.com

[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr

[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De

Boeck, 2000.

[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http://

bacamaths.net.

[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x.

maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01.

[124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf

[126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux. net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf

[128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free.

fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.

URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/

AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf

(15)

BIBLIOGRAPHIE 23

[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm

[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net

[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf

[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/

ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.

[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011.

[138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.

[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf

[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths.

free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.

[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/

cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.

[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net. [144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.

Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no_{60 du CAPES 2010. URL :} _{http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.}

html.

[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net

[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01

[147] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http:

//bacamaths.net.

[148] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http://

bacamaths.net.

[149] J.-E. VISCA, Les croissances comparées. URL :http://visca.pagesperso-orange. fr/html/aide/comparees.pdf

[150] R. GALANTE, Croissance comparée des fonctions x 7→ ex, x 7→ xaet x 7→ ln x au voisinage

de+∞. Application. URL :http://leahpar.etnalag.free.fr/images/cours/ analyse_oral/croiss_comp.pdf

[151] T. CUESTA, Cours de mathématiques BTS IRIS. URL : http://cuestamath.perso. sfr.fr/cours_bts_iris.pdf

[152] G. COSTANTINI, Calcul intégral, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [153] Leçon 84 : Calcul approché d’intégrales, Université Claude Bernard-Lyon I, CAPES de Ma-thématiques : Oral, Année 2004–2005. URL :http://math.univ-lyon1.fr/capes/

(16)

[154] M. LENZEN, Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être

illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice., 2011. URL :

http://capes-de-maths.com

[155] F. THIRIOUX, BTS Electronique, Cours de Mathématiques, Lycée René Perrin, Ugine.https:

//drive.google.com/file/d/0BwDBipKCbVR0ZzRVd3RvVGJxb00/view.

[156] C. CHERRUAU& F. CHERRUAU, Maths, BTS Groupement A, Contrôle Continue Ellipses.

[157] G. COSTANTINI, Exercices sur les équations différentielles, Terminale S. URL :http://

bacamaths.net.

[158] M. CUAZ, Plan d’étude d’une fonction numérique, Terminale S. URL :http://mathscyr.

free.fr.

[159] X. DELAHAYE, Exercices d’étude de fonctions, Terminale ES. URL : http://xmaths. free.fr/TES/exos/index.php

[160] G. COSTANTINI, Étude de la fonction tangente, DM de Terminale S. URL : http://

bacamaths.net.

[161] Contributeurs de Wikipédia, Transformation de Laplace, Wikipédia.

[162] M.-N. SANZ& al., Physique, Tout-en-Un, PSI-PSI*, 2e_{année, Dunod, 2010.}

[163] G. CONNAN, Une année de MAPLE en MPSI, Ch. 4, 2011-2012. URL : http://

download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/PolyMaple10.pdf.

[164] Dissections de polygones, la construction de Henry Ernest Dudeney (1857-1930),

URL : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/

Dissect/dudeney.htm.

[165] URL : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_

college_classique.html.

[166] Contributeurs de Wikipédia, Médiane (géométrie), Wikipédia.

[167] APMEP, Démontrer par les aires, Journée régionale de Grenoble, 17 mars 2004. [168] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pick, Wikipédia.

[169] Contributeurs de Wikipédia, Algorithmique, Wikipédia.

[170] ALGOBOX, Gallerie d’algorithmes. URL : http://www.xm1math.net/algobox/

gallerie.html.

[171] Contributeurs de Wikipédia, Flocon de Koch, Wikipédia.

[172] F. BAYART, Code César. URL : http://www.bibmath.net/crypto/substi/ cesar.php3

[173] Codage en code César. URL : http://www.ac-noumea.nc/maths/spip.php?

article295.

[174] J. HERNANDO, Activités sur un tableur. URL :http://juliette.hernando.free.

fr/tableur.php.

[175] X. DELAHAYE, Utilisation d’un tableur. URL : http://xmaths.free.fr/tice/ tableur/

[176] Régression linéaire à l’aide d’un tableur Excel. URL : http://omareli.com/pdf/ linear_fit_excel.pdf?ckattempt=1

(17)

BIBLIOGRAPHIE 25

[177] C. BOULONNE, Les maths en stage, 2010-2012. URL : https://cboumaths.files. wordpress.com/2012/09/mathsenstage.pdf

[178] G. CONNAN, Faire des mathématiques au lycée en programmant, 2010. URL : http:

//download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/PafAlgo.pdf.

[179] M.-C. DAVID & B. PERRIN-RIOU, Raisonnements. URL : http://wims.unice. fr/wims/wims.cgi?session=B0151B82A7.4&+lang=fr&+module=U1% 2Flogic%2Fdoclogic.fr