9
Techniques de calcul d’intégrales
54
Leçon
n°
Niveau Terminale S - BTS
Prérequis intégrales, accroissements finis, primitives, propriétés sur l’intégrale,
trigonomé-trie, fonction polynôme, fonction exponentielle
Références [152], [153], [154], [155], [156]
54.1
Sommes de Riemann
Soit f une application continue définie sur un segment[a, b] et à valeurs dans R, σ = (ai)1≤i≤n
est une subdivision de[a, b] (c’est-à-dire a = a0< a1 <· · · < an= b), h est le pas de la subdivision
σ (h= max(ai+1− ai)) et pour tout 0 ≤ i ≤ n − 1, ξi ∈ [ai, ai+1].
Définition 54.1 — Somme de Riemann. On appelle somme de Riemann associée à(f, σ, (ξi)0≤i≤n)
le réel : nX−1 i=0 (ai+1− ai)f(ξi). Théorème 54.2 lim h→0 nX−1 i=0 (ai+1− ai)(ξi) = Z b a f(x) dx. Dv
• Démonstration — Montrons que la différence suivante peut être rendue aussi petite que voulue : Z b a f(x) dx − nX−1 i=0 (ai+1− ai)f(ξi) = nX−1 i=0 Z ai+1 ai f(x) dx − (ai+1− ai)f(ξi) = nX−1 i=0 Z ai+1 ai (f(x) − f(ξi)) . En passant aux valeurs absolues, on a la majoration suivante :
Z b a f(x) dx − n−1 X i=0 (ai+1− ai)f(ξi) ≤ nX−1 i=0 Z ai+1 ai |f(x) − f(ξi)| dx .
Or, du théorème de Heine appliqué à f continue sur le segment[a, b], on déduit f uniformé-ment continue sur[a, b] (et donc aussi sur chaque [ai+1, ai], c’est-à-dire :
Pour une subdivision σ de pas h tel que0 < h < η, on aura :
∀x ∈ [ai, ai+1], |x − ξi| ≤ ai+1− ai≤ h < η.
Ce qui entraînera :
|f(x) − f(ξi)| ≤ ε.
Dans ces conditions, on peut écrire : Z b a f(x) dx − n−1 X i=0 (ai+1− ai)f(ξi) ≤ n−1 X i=0 Z ai+1 ai εdx = n−1 X i=0 ε(ai+1− ai) = ε(b − a).
Ceci prouve bien que : lim h→0 nX−1 i=0 (ai+1− ai)f(ξi) = Z b a f(x) dx.
Toute intégrale est donc une limite de somme de Riemann. •
R 54.3 Le résultat ci-dessus reste valable si f est continue par morceaux. Il suffit de refaire la même démonstration
avec des subdivisions adaptées à f.
Proposition 54.4— Cas particulier d’une subdivision régulière. Pour n ∈ N∗, on particularise ai = a+ ib−an et ξi = ai(donc h= b−an ). On a alors :
ai+1− ai = b− a n . D’où : lim n→+∞ b− a n nX−1 i=0 f a+ ib− a n =Z b a f(x) dx.
Proposition 54.5 — Cas particulier des fonctions définies sur [0 , 1]. La formule ci-dessous devient alors : lim n→+∞ 1 n nX−1 i=0 f i n =Z b a f(x) dx Exemple 54.6 On veut étudier la limite de la somme :
n X i=1
1 n+ i. On considère l’application f définie sur[0, 1] par f(x) = 1
1+x. On a alors : lim n→+∞ 1 n n X i=1 1 1 + i n =Z 1 0 1 1 + xdx lim n→+∞ n X i=1 1 n+ i = ln 2.
54.2 Intégration par primitives 11
54.2
Intégration par primitives
Théorème 54.7— Théorème fondamental du calcul intégral. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit x0 ∈ I. La fonction F définie sur I par :
F(x) =
Z x x0
f(t) dt
est l’unique primitive de f sur I s’annulant en x0. Autrement dit : F(x0) = 0, F est dérivable sur I
et pour tout réel x ∈ I, F0(x) = f(x).
Dv
•Démonstration —Soit x0∈ I. Nous allons montrer que l’accroissement moyenF(x)−F (xx−x1 1)
admet une limite lorsque x tend vers xiet que cette limite est précisément f(x1). Évaluons :
F(x) − F(xx− x1 i)− f(x1) = |x − x1 1| Z x x0 f(t) dt − Z x1 x0 f(t) dt − (x − x1)f(x1) . En utilisant la relation de Chasles et la formule d’intégration pour une fonction constante, on peut écrire : F(x) − F(xx− x1 1)− f(x1) =|x − x1 1| Z x x1 f(t) dt − Z x x1 f(x1) dt . Mais d’après la propriété de compatibilité avec l’addition :
Z x x1 f(t) dt − Z x x1 f(x1) dt = Z x x1 (f(t) − f(x1)) dt D’où : F(x) − F(xx− x1 1)− f(x1) ≤ |x − x1 1| Z x x1 |f(t) − f(x1)| dt.
Or, f est continue en x1 donc admet une limite finie en x1. Cela signifie que tout intervalle
ouvert f(x1) contient toutes les valeurs de f(t) pour t assez proche de x1.
Soit ε ∈ R∗
+ et I]f(x1) − ε , f(x1) + ε[. Alors, il existe un réel η tel que pour tout t ∈
]x1− η , x1+ η[, on ait : f(t) ∈ ]f(x1) − ε , f(x1) + ε[. D’où : F(x) − F(xx− x1 1)− f(x1) ≤ ε. Comme ε peut être choisi aussi petit que voulu, on a bien :
lim
x→x1
F(x) − F(x1)
x− x1 = f(x1).
Donc F est dérivable en x1, et F(x1) = f(x1). Et comme ce raisonnement est valable pour
tout x1∈ I, F est bien une primitive de f sur I. •
Corollaire 54.8 — Existence de primitives pour les fonctions continues. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Corollaire 54.9 — Formule de Newton-Leibniz. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Alors pour tous a et b dans I :
Z b
a f(t) dt = F (b) − F(a).
Dv
•Démonstration —Soit x0∈ I et G la primitive de f définie par :
G(x) =Z x
a
f(t) dt.
On sait que deux primitives F et G diffèrent d’une constante. Donc il existe un réel k tel que pour tout : F(x) = G(x) + k. On a alors : F(b) − F(a) = G(b) − G(a) = Z b a f(t) dt. • R 54.10 La quantité F(b) − F(a) se note souvent [F(t)]ba.
Exemples 54.11 1. Z 1 0 e tdt =heti1 0 = e − 1. 2. Z 1 0 x n= " xn+1 n+ 1 #1 0 = 1 n+ 1. 3. Z e 2 1 xln xdt = Z e 2 1/x ln xdt = [ln(ln(t))]e2 = − ln(ln(2)). R 54.12 Le choix de la primitive F choisie n’influe pas le résultat de l’intégrale. En effet, si F et G sont deux
primitives d’une même fonction f sur I, alors elles différent d’une constante. Les quantités F(b) − F(a) et G(b) − G(a) sont donc égales.
Théorème 54.13— Inégalité des accroissements finis. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I telle que f0 soit continue sur I. S’il existe un réel M tel que |f0| ≤ M sur I alors : pour tous réels aet b de I, on a : |f(b) − f(a)| ≤ M |b − a|.
54.3 Intégration par parties 13 •Démonstration —Pour a < b, on a : |f(b) − f(a)| = Z b a f0(t) dt ≤ Z b a |f 0(t)| dt ≤ M(b − a) ≤ M |b − a| . Pour a > b, ona : |f(b) − f(a)| = Z a b f0(t) dt ≤ Z a b |f 0(t)| dt ≤ M(a − b) ≤ M |b − a| . •
54.3
Intégration par parties
Définition 54.14 — Classe C1. On dit qu’une fonction est de classe C1 sur un intervalle I si elle est
dérivable sur I et si sa dérivée f0est continue sur I.
Théorème 54.15 Soient u et v deux fonctions de classe C1sur[a , b], alors :
Z b a u(t)v0(t) dt = [u(t)v(t)]ba− Z b a u0(t)v(t) dt. Dv
•Démonstration du théorème54.15—On sait que pour tout t ∈ [a , b] :
(uv)0(t) = u0(t)v(t) + u(t)v0(t). En intégrant de a à b : Z b a (u(t)v(t))0dt =Z b a u0(t)v(t) + u0(t)v0(t) dt et d’après la linéarité de l’intégrale :
Z b a (u(t)v(t)0) dt =Z b a u0(t)v(t) dt + Z b a u(t)v0(t) dt [u(t)v(t)]b a= Z b a u0(t)v(t) dt + Z b a u(t)v0(t) dt. D’où le théorème. •
Méthode 54.16 Pour intégrer par parties, il faut
— reconnaître, dans la fonction à intégrer, le produit d’une fonction u et d’une fonction dérivée v0;
— appliquer la formule d’intégration par parties.
Exemples 54.17 1. Soit à calculer :
I =
Z 1 0 te
On pose u(t) = t et v0(t) = et. D’où u0(t) = 1 et v(t) = et(à une constante près) et ainsi : I =hteti1 0− Z 1 0 e tdt = e − (e − 1) = 1. 2. Soit à calculer : J(x) = Z x 1 ln t dt.
On pose u(t) = ln(t) et v0(t) = 1. D’où u0(t) = 1
t et v(t) = t (à une constante près) et ainsi :
J(x) = [t ln t]x1 −
Z x
1 dt = x ln x − (x − 1) = x ln x − x + 1.
54.4
Intégration par changement de variables
Théorème 54.18 Soit ϕ une fonction de classe C1 sur[a , b], dont les valeurs sont dans R. Alors :
Z b a f(ϕ(t))ϕ0(t) dt = Z ϕ(b) ϕ(a) f(u) du. La démonstration est hors programme du BTS et admise.
R 54.19 DansRϕϕ(a)(b)f(u) du, on pose u = ϕ(t) (changement de variable qu’on donne ou qu’on doit trouver). Si tvaut a (resp. b) alors u vaut ϕ(a) (resp. ϕ(b)), ce qui conduit à changer les bornes de l’intégrale. Ensuite
du
dt = ϕ0(t), ou encore (bien que cette écriture soit formellement incorrecte au niveau BTS), du = ϕ0(t) dt,
que l’on remplace dans l’intégrale.
Dv
• Démonstration (hors programme) —Posons H(x) = Rαxf(u) du où α et x sont deux éléments de I. La fonction f est continue sur I, donc la fonction H est dérivable sur I, on a H0(x) = f(x) pour tout x ∈ I. On a : Z ϕ(b) ϕ(a) f(u) du = Z α ϕ(a) f(u) du + Z ϕ(b) α f(u) du = − Z ϕ(a) α f(u) du + Z ϕ(b) α f(u) du soit : Z ϕ(b) ϕ(a)
f(u) du = −H(ϕ(a)) + H(ϕ(b)) = −(H ◦ ϕ)(a) + (H ◦ ϕ)(b). Posons K= H ◦ g, nous obtenons :
Z ϕ(b) ϕ(a)
f(u) du = K(b) − K(a).
Comme la fonction ϕ est de classe C1sur l’intervalle[a, b] et puisque H est dérivable sur I,
la fonction composée K est dérivable sur[a , b] et on a :
54.4 Intégration par changement de variables 15 Par conséquent, la fonction K est une primitive sur[a, b] de la fonction (f ◦ ϕ)ϕ0.
De plus, les fonctions ϕ et ϕ0 sont continues sur[a, b] et la fonction f étant continue sur I
alors la fonction K0est continue sur[a, b] et on a :
K(b) − K(a) = Z b a f(ϕ(t))ϕ0(t) soit encore : Z ϕ(b) ϕ(a) f(u) du = Z b a f(ϕ0(t))ϕ(t) dt. • Exemples 54.20 1. Soit à calculer
I =
Z 1 0
1
t2+ t + 1dt. On met t2+ t + 1 sous la forme canonique :
t2+ t + 1 = 3 4 "2t √3 +√31 2 + 1 # . Ainsi I = Z 1 0 1 t2+ t + 1 = Z 1 0 4 3(2t 1 √3 +√31 )2+ 1dt = 4 3 Z √3 1/√3u21+ 1 √3 2 du, en posant u= 2t √3+√31 , d’oùdu = √32 dt U = √3 [arctan(u)]2 √31/√3 = √32 π 3 − π 6 = π√3 9 .
2. Soit f une fonction T -périodique. Alors l’intégrale de f sur une période est constante ; par exemple : Z T 0 f(t) dt = Z T /2 0 f(t) dt + Z T T /2 f(t) dt par la relation de Chasles
=Z T /2 0 f(t) dt + Z 0 −T /2f(u + T ) du en posant u= t − T =Z 0 −T /2f(u) du + Z T /2 0 f(t) dt car f(u + T ) = f(u) =Z T /2 −T /2f(t) dt.
Exercice 54.21 — Intégrale de Wallis. Il s’agit, pour n ∈ N, des intégrales suivantes : In= Z π/2 0 (cos t) ndt, J n= Z π/2 0 (sin t) ndt, K n= Z 1 −1(1 − t 2)ndt, L n= Z 1 −1(t 2− 1)ndt.
1. On va calculer Ingrâce à une intégration par parties. On a immédiatement :
I0 = π2 et I1=
Z π/2
0 cos t dt = 1.
Pour tout n ≥ 0, on a, par intégration par parties [u(t) = (cos t)n+1et v0(t) = cos t] In+2=
Z π/2
0 (cos t)
n+1cos t dt =h(cos t)n+1sin tit
0+ (n + 1) Z π/2 0 (cos t) n(sin t)2dt In+2= (n + 1)(In− In+2) ⇔ In+2= n+ 1 n+ 2In ou encore In= n− 1 n In−2 pour tout n ≥ 2. On en déduit immédiatement : I2 = 1 2I0= π 4, I3 = 2 3I1 = 2 3, I4= 3 4I2= 3π 16. Ainsi, on peut en déduire une formule générale :
— Si n pair(n = 2p) I2p= 2p − 12p ×2p − 32p − 2 × · · · ×12I0= 22p+1(2p)!π(p!)2 = 2p p π 22p+1. — Si n impair(n = 2p + 1) : I2p+1= 2p + 1 ×2p 2p − 22p − 1 × · · · ×23I1= 2 2p(p!)2 (2p + 1)!. 2. On calcule Jnen se ramenant à In. En posant u= π2 − t, on obtient :
Jn= Z π/2 0 (sin t) ndt =Z 0 −π/2 sinπ2 −u n (− du) =Z π/2 0 (cos u) ndu = I n.
3. On calcule Knen se ramenant à I2n+1. On pose u= arcsin t (t 7→ arcsin t est une bijection
de[−1 , 1] dans [−π 2 ,π2]). On a donc t = sin u. Kn= Z 1 −1(1 − t 2)ndt =Z π/2 −π/2(cos u) 2ncos u du = 2I 2n+1= 2 2n+1(n!)2 (2n + 1)! . 4. On calcule Lnen se ramenant à Kn. Ln= Z 1 −1(t 2− 1)ndt = (−1)nK n= (−1) n22n+1(n!)2 (2n + 1)! .
54.5 Intégration de fractions rationnelles 17
54.5
Intégration de fractions rationnelles
Exercice 54.22 1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x ∈ R \ {−1, 1} :
2x2− 4 (x − 1)(x + 1)2 = a x− 1+ b x+ 1+ c (x + 1)2
2. (a) En déduire sur]1 , +∞[ une primitive F1de la fonction f définie par : f(x) = 2x
2− 4
(x − 1)(x + 1)2.
(b) Déterminer une primitive F2de f sur l’intervalle]−1 , 1[ puis une primitive F3sur
l’inter-valle]−∞ , 1[.
3. Calculer la valeur exacte de
I =
Z −2
−4
2x2− 4
(x − 1)(x + 1)2dx
puis la valeur décimale approchée de1 à 10−2près par défaut.
Dv •Correction de l’exercice — 1. a x− 1+ b x+ 1+ c (x + 1)2 =a(x + 1) 2+ b(x − 1)(x + 1) + c(x − 1) (x − 1)(x + 1)2 =a(x2+ 2x + 1) + b(x2− 1) + cx − c (x − 1)(x + 1)2 =(a + b)x2+ (2a + c)x + a − b − c (x − 1)(x + 1)2 = 2x2− 4 (x − 1)(x + 1)2.
L’égalité est vérifiée pour tout x ∈ R\{−1, 1}, la comparaison des coefficients respectifs
donne : a+ b = 2 2a + c = 0 a− b − c = −4
On exprime, à l’aide des deux premières équations, b et c en fonction de a et l’on reporte les expressions trouvées dans la troisième équation b= 2 − a et c = −2a :
a− (2 − a) − (−2a) = −4 ⇔ 4a = −2 ⇔ a = −1 2. On en tire b= 2 +1 2 = 52et c= −2 −12 = 1. Ainsi, a= −1 2, b= 5 2, c= 1.
2. (a) On peut écrire, en utilisant les résultats de la première question : f(x) = 1 2 ×x− 11 + 5 2 ×x− 11 + 5 2 ×x+ 11 + 1 (x + 1)2.
Sur l’intervalle]1 , +∞[, x − 1 > 0 et x + 1 > 0. On en reconnaît dans les deux premiers quotients la forme u0
u avec u >0. Le troisième quotient est de la forme u0
u2.
Une primitive F1de f sur l’intervalle]1 , +∞[ est :
F1(x) = −12ln(x − 1) +52ln(x + 1) − 1
x+ 1. (b) Dans le cas général x 7→ ln |u| est une primitive de x 7→u0
u si u 6= 0.
F(x) = −12ln |x − 1| +52ln |x + 1| − 1 x+ 1.
Si u <0, ln |u| = ln(−u), on applique cette règle pour le calcul des primitives F de f : sur l’intervalle]−1 , 1[, x − 1 < 0 et x + 1 > 0 : F2(x) = −12ln(−x + 1) +52ln(x + 1) − 1 x+ 1, sur l’intervalle]−∞ , −1[, x − 1 < 0 et x + 1 < 0 : F3(x) = −12ln(−x + 1) +52ln(−x − 1) −x1 − 1.
3. L’intervalle[−4 , −2] est inclus dans l’intervalle ]−∞ , 1[. On utilise, pour primitive de f, la fonction F3. I= F3(−2) + F3(−4) = −12ln 3 +52ln 1 − 1 −1 − −12ln 5 + 52ln 3 − 1 −3 = −12ln 3 + 1 +12ln 5 −52ln 3 − 13 = 12ln 5 − 3 ln 3 + 23. La calculatrice donne I ≈ −1,824451, ce qui signifie −1,83 ≤ I ≤ −1,82. La valeur décimale approchée par défaut de I à10−2près est : I ≈ −1,83.
•
54.6
Calcul approché de l’intégrale
Dans cette section, on ne travaillera qu’avec des fonctions monotones (croissantes). Si la fonction n’est pas monotone, il suffit de subdiviser l’intervalle I.
54.6.1 Méthode des rectangles à gauche
On subdivise[a, b] en n intervalles de longueur b−a
n . On construit(xi)0≤i≤navec xi = a + ib−an .
Soit Rkl’aire de AkBkBk+1Ak+1. Soit :
ARn= nX−1 k=0 Rk= b− a n nX−1 k=0 f(xk).
54.7 Autres calculs de primitives 19
0 x0= a x1 · · · xi xi+1 · · · xn= b
R 54.23
1. Si f est croissante, c’est une approximation par défaut et si f est décroissante, c’est une approximation par excès.
2. La méthode des rectangles à gauche fait penser aux sommes de Riemann vue en début de leçon.
54.6.2 Méthode des trapèzes
On construit(xi)1≤i≤n, xi = a + ib−an . Soit Tkl’aire du trapèze AkBkBk+1Ak+1et
ATn= nX−1 =0 T=b− a n f(a) + f(b) 2 + nX−1 i=1 f(xi). !
R 54.24Plus rapide en termes de convergence par rapport à n mais on ne peut pas savoir si c’est une approximation
par excès ou par défaut.
54.7
Autres calculs de primitives
Exemple 54.25 On veut calculer :
F =
Z
(t2+ 2t)eλtdt
où λ est un nombre réel non nul.
Puisque la fonction x 7→ x2+ 2x est une fonction polynôme, cherchons F sous la forme F (x) = P(x) exp(λx), où P est une fonction polynôme de la forme x 7→ ax2 + bx + c. On doit avoir quel que soit x :
c’est-à-dire
x2= 2x = P0(x) + λP (x) = (2ax + b) + λ(ax2+ bx + c) = λax2+ (2a + λb)x + b + λc.
Les coefficients a, b et c sont solutions du système d’équations linéaires :
λa= 1 2a + λb = 2 b+ λc = 0 d’où a= λ1 b= 2(λ−1)λ2 c= 2(1−λ)λ3 . Il vient donc F(x) = 1 λx 2+ 2λ− 1 λ2 x+ 2 1 − λ λ3 exp(λx). Exemple 54.26 On veut calculer Z
(sin t)4dt.
Nous avons l’identité :
8(sin x)4 = cos 4x − 4 cos 2x + 3. Il vient donc :
Z
(sin t)4dt = 1
8
Z
cos(4t) dt −21Z cos 2t dt +38Z dt = 321 sin 4x −14sin 2x +38x.
Bibliographie
[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.
[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/
wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.
[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html
[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_
accompagnement.pdf.
[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.
[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF
[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://
bacamaths.net.
[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL : http://www.math.univ-montp2.fr/
[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp
[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.
[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule
du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW
[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org
[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net
[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/
[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011. [16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.
[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015. http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/
TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.
[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf
[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf
[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/
~suquet/Polys/IS.pdf.
[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf
[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http://
publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm
[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/
marche-aleatoire.pdf.
[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf
[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.
[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html
[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf
[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.
[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.
xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.
[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.
[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.
mathematex.net/ecs-touchard/wiki.
[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_
JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.
[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010. [36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.
[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf
[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012. http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf
[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr
BIBLIOGRAPHIE 23
[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL : http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_
cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.
[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.
[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org
[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes. URL :http://tanopah.com.
[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf
[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html
[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien.
herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.
[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.
[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf
[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.
[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.
[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001. [53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000. [54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr
[55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.
[56] M. LENZEN, Leçon no14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.
capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf
[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.
[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques, 2006-2007.
[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp
[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.
[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://
tehessin.tuxfamily.org
[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/
21ganal.pdf.
[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/
coorgeo.pdf.
[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net. [67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah.
jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf [68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.
[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.
[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http:
//perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf.
[72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_
Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.
[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/
Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.
[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf
[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF
[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.
[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf
[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.
[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf
[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF
[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html
[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.
[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php
[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf [85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),
Programme 1999, Didier.
BIBLIOGRAPHIE 25
[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html
[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf
[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/
CAPES/geometrie/droites2012.pdf.
[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf
[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf
[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf
[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/
lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.
[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e 3e, Playermath. URL : http://www.
playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.
[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000.
free.fr/4C/4C-02.pdf
[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.
[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf
[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf
[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.
[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau.
pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.
[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.
[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.
[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf
[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf
[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf
[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf [108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/
[109] Propriété de Thalès, 3e. URL :http://melusine.eu.org
[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.
[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.
[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace. URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf
[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf
[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net
[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net
[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.
[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.
URL :http://capes-de-maths.com
[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr
[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De
Boeck, 2000.
[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http://
bacamaths.net.
[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf
[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x.
maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01.
[124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.
[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf [126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux.
net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf
[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf [128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net
[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free.
fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.
[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.
[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.
URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/
AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf
BIBLIOGRAPHIE 27
[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm
[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net
[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf
[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/
ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.
[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011. [138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.
[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf
[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths.
free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.
[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.
[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/
cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.
[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net. [144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.
Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.
html.
[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net
[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01
[147] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http:
//bacamaths.net.
[148] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http://
bacamaths.net.
[149] J.-E. VISCA, Les croissances comparées. URL :http://visca.pagesperso-orange. fr/html/aide/comparees.pdf
[150] R. GALANTE, Croissance comparée des fonctions x 7→ ex, x 7→ xaet x 7→ ln x au voisinage de+∞. Application. URL :http://leahpar.etnalag.free.fr/images/cours/ analyse_oral/croiss_comp.pdf
[151] T. CUESTA, Cours de mathématiques BTS IRIS. URL : http://cuestamath.perso. sfr.fr/cours_bts_iris.pdf
[152] G. COSTANTINI, Calcul intégral, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [153] Leçon 84 : Calcul approché d’intégrales, Université Claude Bernard-Lyon I, CAPES de Ma-thématiques : Oral, Année 2004–2005. URL :http://math.univ-lyon1.fr/capes/
[154] M. LENZEN, Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice., 2011. URL : http://capes-de-maths.com
[155] F. THIRIOUX, BTS Electronique, Cours de Mathématiques, Lycée René Perrin, Ugine.https:
//drive.google.com/file/d/0BwDBipKCbVR0ZzRVd3RvVGJxb00/view.
