L56 [V2-VàC] – Problèmes conduisant à la résolution d’équations différentielles

9

Problèmes conduisant à la

résolution d’équations différentielles

56

Leçon

n°

Niveau Terminale S

Prérequis équation différentielle, résolution, fonctions Références [157]

56.1

Du double au triple

Exemple 56.1 Une grandeur (non nulle) y évolue à une vitesse proportionnelle à elle-même. On sait

que cette grandeur double tous les dix ans. Combien de temps lui faut-il pour tripler ? 

Dv

•Solution —Par hypothèse, on a : y0_{= ay où a est le coefficient de proportionnalité. On note}

tle temps (en années). On sait que les solutions de l’équation différentielle y0 = ay sont de

la forme :

y(t) = Ceat

où C est une constante (non nulle, sinon y serait nulle). Comme la grandeur double tous les dix ans, on a :

y(t + 10) = 2y(t) ⇔ Cea(t+10)= 2Ceat.

En simplifiant par Ceat_{, on a :e}10a _{= 2, d’où :}

a= ln 2

10 . On a donc :

y(t) = Ce(ln 2/10)t= C2t/10.

Cherchons maintenant le temps T pour lequel, on a :

y(t + T ) = 3y(t) ⇔ Cea(t+T )= 3Ceat⇔ eaT _{= 3} ⇔ T =ln 3_a =10 ln 3_{ln 2 '}15, 85 à 10−2_près.

Il faut donc attendre15 ans, 10 mois et 6 jours (au jour près) pour que cette quantité triple. •

56.2

Loi de refroidissement de Newton

 Exemple 56.2 La loi de refroidissement de Newton s’énonce ainsi : « la vitesse de

refroidisse-ment d’un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant. » On suppose que la température de l’air ambiant est constante égale à25 C. Dans ces condi-tions, la température d’un corps passe de100 C à 70 C en 15 minutes. Au bout de combien de temps

Dv

•Solution —Notons f(t) la température du corps à l’instant t (en minutes). Selon la loi de refroidissement de Newton, on a :

f0(t) = a(25 − f(t)).

Les solutions, sur R+, de cette équation différentielle sont de la forme :

f(t) = Ce−at+ 25.

A l’instant t= 0, le corps est à une température de 100 C :

f(0) = 100 ⇔ C + 25 = 100 ⇔ C = 75.

D’où, pour tout t ∈ R+:

f(t) = 75e−at+ 25.

On sait que 15 minutes plus tard, le corps est à70°C, ce qui permet de calculer a :

f(15) = 70 ⇔ 75e−15a+ 25 = 70 ⇔ e−15a=3

5 ⇔ −15a = ln 3₅



= ln 3 − ln5 ⇔ a =ln 5 − ln 3₁₅ '' 0,034 à 10−3_près.

Déterminons maintenant le temps t à partir duquel le corps se trouve à une température de 40 C. On résout l’équation :

f(t) = 40 ⇔ 75e−at+ 25 = 40 ⇔ e−at =1₅

d’où

t= ln 5 a = 15

ln5

ln 5 − ln 3 '47,26 à 10−1près.

Il faut attendre47 minutes (et 16 secondes, à la seconde près) que le corps atteigne la

tempé-rature de40 C. •

56.3

Dissolution d’une substance

 Exemple 56.3 Une substance se dissout dans l’eau. On admet que la vitesse de dissolution est

proportionnelle à la quantité non encore dissoute. À l’instant t = 0 (t en minutes), on place 20 grammes de cette substance dans une grande quantité d’eau. Sachant que les dix premiers gramme se dissolvent en cinq minutes, donner une expression de la quantité dissoute f(t), en grammes, en

fonction de t. 

Dv

• Solution —Comme la vitesse de dissolution est proportionnelle à la quantité non encore dissoute, on a, pour tout t ∈ R+:

56.4 Alcoolémie 11

Les solutions sont de la forme, pour tout t ∈ R+:

f(t) = Ce−at+ 20.

À l’instant initial, il n’y a pas encore de quantité dissoute donc :

f(0) = 0 ⇔ C + 20 = 0 ⇔ C = −20.

Comme les dix premiers grammes se dissolvent en cinq minutes, on a :

f(5) = 10 ⇔ −20e−5a+ 20 = 10 ⇔ e−5a= 1

2 ⇔ a =ln 2_{5 '}0, 14 à 10−2près. On a donc, pour tout t ∈ R+:

f(t) = 201 − e−((ln 2)/5)t= 20e1−2−t/5.

•

56.4

Alcoolémie

 Exemple 56.4 L’alcoolémie f(t) (en gL−1) d’une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine

quantité d’alcool vérifie, sur R+, l’équation différentielle :

y0+ y = ae−t (E)

où t est le temps écoulé après l’ingestion (exprimé en heures), et a une constante qui dépend des conditions expérimentales.

1. On pose, pour tout t ∈ R+:

g(t) = f(t)et.

Démontrer que g est une fonction affine. 2. Exprimer f(t) en fonction de t et de a. 3. Dans cette question, on suppose que a= 5.

(a) Etudier les variations de f et tracer sa courbe. Déterminer l’alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.

(b) Donner une valeur du délai T (à l’heure près par excès) au bout duquel l’alcoolémie de cette personne est inférieur à0,5 gL−1_.



Dv

•Solution —

1. La fonction g est dérivable sur R+(les fonction f et l’exponentielle le sont) et on a, pour

tout t ∈ R+:

et comme f est solution de (E) sur R+, g0(t) = a, d’où :

g(t) = at + b.

La fonction g est bien affine (sur R+).

2. On a donc, pour tout t ∈ R+:

f(t) = (at + b)e−t.

Or, à l’instant t= 0, l’alcool n’est pas encore dans le sang donc f(0) = 0 :

be−t= 0 ⇔ b = 0.

D’où f(t) = ate−t_.

3. (a) Etudions les variations de f. Comme f est solution de (E), on a :

f0(t) = 5e−t− f(t) = 5e−t_{− 5te}−t_{= 5e}−t_{(1 − t).}

D’où :

f0(t) ≥ 0 ⇔ 1 − t ≥ 0 ⇔ t ≥ 1.

La fonction f est croissante sur[0 , 1] et décroissante sur [1 , +∞[. Elle admet donc un maximum en1 et :

f(1) =5_{e '}1,84 à 10−2près.

L’alcoolémie maximal est de1,84 gL−1_{atteint au bout d’une heure.}

0 1

5/e 2

α 0.5

(b) Nous devons résoudre l’inéquation :

f(t) ≤ 0, 5 ⇔ 5te−t_{≤ 0, 5 ⇔ te}−t_{≤ 0, 1.}

Ceci n’est pas possible formellement. Cependant, la fonction f est continue et stric-tement décroissante sur[1 , +∞[ et on a :

f(1) = 5

e >0, 5 et t→+∞lim f(t) = limt→+∞5te −t_{= 0.}

Le théorème de bijection assure qu’il existe un unique réel α de [1 , +∞[ tel que

f(α) = 0, 5. Le graphique permet de conjecturer : α_{∈ ]3 , 4[.}

56.5 Décharge d’un condensateur 13

Ce qui peut se contrôle à la calculatrice :

f(3) ' 0,75(> 0,5) et f(4) ' 0,37(< 0,5).

On a donc bien α ∈ ]3 , 4[. Il faudra attendre 4 heures (à l’heure près par excès) pour pouvoir, par exemple, reprendre le volant. . .

•

56.5

Décharge d’un condensateur

 Exemple 56.5 On considère un circuit électrique constitué d’un condensateur (de capacité C) se

déchargent dans une résistance R. On note uC(t) la tension au borne du condensateur (en Volts) à

l’instant t (en secondes). À l’instant t= 0, on sait que uC(0) = 3 V. Exprimer uC(t) en fonction de

t. 

Dv

•Solution —

D’après la loi d’additivité des tensions, on a :

uC+ uR= 0

(uCet uRdésignent respectivement la tension aux bornes du condensateur et de la résistance). Notons i(t) l’intensité du courant électrique dans le circuit à l’instant t. On sait que :

uC(t) =q(t) C et uR(t) = Ri(t) = R dq(t) dt . D’où : u0_C(t) = 1 C dq(t) dt =RC1 uR(t) = − 1 RCuC(t). On en déduit : uC(t) = Ke−t/RC (K ∈ R).

La condition initiale uC(0) = 3 nous donne K = 3, d’où :

0 1 3

t

•

56.6

Vitesse d’un parachutiste

Exemple 56.6 Un parachutiste tombe à une vitesse de55 ms−1au moment où son parachute s’ouvre.

On fixe l’origine du temps (t = 0, en secondes) à ce moment-là. Pour tout t ∈ R+, on note v(t) la

vitesse (en ms−1_{) du parachutiste à l’instant t. On admet que la résistance de l’air est donnée par} R= P v

2

25

où P est le poids du parachutiste avec son équipement (P = mg, m = masse et g = 9,81 ms−2_).

1. Déterminer que v est solution, sur R+, de l’équation différentielle : v0 = g 1 − v

2

25

!

. (E)

2. On suppose que v >5 sur R+, on pose sur R+: z= 1

v_{− 5}.

Déterminer une équation différentielle satisfaite par z sur R+et la résoudre.

3. En déduire une expression de v(t) en fonction de t et préciser sa limite lorsque t tend vers +∞.



Dv

•Solution —

1. D’après la relation fondamentale de la dynamique, on a : #»

P +R#»= m#»a .

En projetant les vecteurs sur un axe vertical, il vient :

mg₋mgv

2

56.6 Vitesse d’un parachutiste 15

On s’aperçoit que le problème est indépendant de la masse m du parachutiste avec son équipement.

v0= g



1 − v₂₅2=₂₅g (25 − v2_).

La fonction v est donc bien solution, sur R+, de l’équation différentielle :

v0= g



1 −₂₅v2. (E)

2. La fonction z est dérivable sur R+(car v l’est) et on a :

z0= − v 0 (v − 5)2 = g 25 (v2_{− 25)} (v − 5)2 = g 25 v+ 5 v_{− 5} = gz(v + 5) 25 . Or, v= 1 z + 5 ⇔ v + 5 = 1 z+ 10. D’où : z0 =gz( 1 z+ 10) 25 = g 25(10z + 1). On en déduit que, pour tout t ∈ R+:

z(t) = Ce2gt/5₋ 1

10. La condition initiale z(0) = 1

50 donne C −101 =501 ⇔ C = 253.

3. D’où, pour tout t ∈ R+:

v(t) = ₃ 1 25e2gt/5−101 + 5. Comme g >0, on a : lim t→+∞e 2gt/5_{= +∞,} d’où : lim t→+∞v(t) = 5.

La vitesse du parachutiste se stabilise rapidement vers5 ms−1_.

5 55

0 1

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/

wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://

bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/

~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL : http://}

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/

marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.

xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_

JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.

http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

BIBLIOGRAPHIE 19

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien.

herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.

[48] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[49] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[50] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[51] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[52] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[53] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[54] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr

[55] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[56] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.}

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[57] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[58] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[59] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[60] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.

[61] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [62] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://

tehessin.tuxfamily.org

[63] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/

21ganal.pdf.

[65] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/

coorgeo.pdf.

[66] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL :http://bacamaths.net. [67] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007.http://tanopah.

jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf

[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.

[71] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013.http:

//perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf.

[72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont de Marsan.http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_

Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.

[73] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/

Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.

[74] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/ col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf

[75] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/ Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF

[76] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb. fr.

[77] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois. schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_ pourcentage.pdf

[78] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.

[79] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL :http://www.academie-en-ligne. fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf

[80] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/ bacgestion/int_simp.PDF

[81] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone. voila.net/Brevet/syst.3.html

[82] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES.http://mathweb. fr.

[83] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah. jo.free.fr/seconde/regionalpha.php

[84] Programmation linéaire,http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/ 500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf

[85] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),

Programme 1999, Didier.

BIBLIOGRAPHIE 21

[87] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL :http://serge.mehl. free.fr/anx/dtes_p.html

[88] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_ Droites_secantes.pdf

[89] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/

CAPES/geometrie/droites2012.pdf.

[90] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/ acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf

[91] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL :http://pierrelux.net/documents/ cours/2/espace.pdf

[92] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/ Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf

[93] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/

lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.

[94] Droites remarquables dans un triangle, 4e ₃e_{, Playermath. URL : http://www.}

playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.

[95] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL :http://epsilon.2000. free.fr/4C/4C-02.pdf

[96] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia. [97] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.

[98] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http: //math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_ cartesiennes.pdf

[99] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL :http://www.hexomaths. fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf

[100] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.

[101] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau.

pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.

[102] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[103] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.

[104] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www. xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf

[105] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/ produitscalaire.pdf

[106] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/ pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf

[107] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015.http://www. ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf

[108] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/

[109] Propriété de Thalès, 3e_{. URL :http://melusine.eu.org}

[110] Théorème de Thalès - Démonstration. URL :http://mathadoc.com. [111] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.

[112] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.

[113] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.

URL :http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf

[114] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/ cours/3_Trigonometrie_C.pdf

[115] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S.http://bacamaths. net

[116] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http:// bacmaths.net

[117] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.

[118] M. LENZEN, Leçon no32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.

URL :http://capes-de-maths.com

[119] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart. pagesperso-orange.fr

[120] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. De

Boeck, 2000.

[121] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http://

bacamaths.net.

[122] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee. lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf

[123] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x.

maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01.

[124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.

[125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf

[126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux. net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

[127] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL :http://mathtous.perso.sfr. fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf

[128] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL :http://bacamaths.net

[129] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free.

fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[130] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.

[131] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.

URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/

AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf

BIBLIOGRAPHIE 23

[133] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/ exposes/suites/suites.htm

[134] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S.http://bacmaths.net

[135] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL :http://www.xm1math.net/ premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf

[136] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL :amemath.o2switch.net/

ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.

[137] A. SAMIER& C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011.

[138] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL :http://mathweb.fr.

[139] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonctionln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon. URL :http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf

[140] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL :http://xmaths.

free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.

[141] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL :http://bacamaths.net.

[142] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/

cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.

[143] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl :http://bacamaths.net. [144] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment.

Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle. Leçon no_{60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.}

html.

[145] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths. net

[146] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/ cours.php?nomcours=TSdericours&page=01

[147] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http:

//bacamaths.net.

[148] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http://

bacamaths.net.

[149] J.-E. VISCA, Les croissances comparées. URL :http://visca.pagesperso-orange. fr/html/aide/comparees.pdf

[150] R. GALANTE, Croissance comparée des fonctions x 7→ ex, x 7→ xaet x 7→ ln x au voisinage

de+∞. Application. URL :http://leahpar.etnalag.free.fr/images/cours/ analyse_oral/croiss_comp.pdf

[151] T. CUESTA, Cours de mathématiques BTS IRIS. URL : http://cuestamath.perso. sfr.fr/cours_bts_iris.pdf

[152] G. COSTANTINI, Calcul intégral, Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths.net. [153] Leçon 84 : Calcul approché d’intégrales, Université Claude Bernard-Lyon I, CAPES de Ma-thématiques : Oral, Année 2004–2005. URL :http://math.univ-lyon1.fr/capes/

[154] M. LENZEN, Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être

illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice., 2011. URL :

http://capes-de-maths.com

[155] F. THIRIOUX, BTS Electronique, Cours de Mathématiques, Lycée René Perrin, Ugine.https:

//drive.google.com/file/d/0BwDBipKCbVR0ZzRVd3RvVGJxb00/view.

[156] C. CHERRUAU& F. CHERRUAU, Maths, BTS Groupement A, Contrôle Continue Ellipses.

[157] G. COSTANTINI, Exercices sur les équations différentielles, Terminale S. URL :http://