I Fonction génératrice d’une variable aléatoire

I Fonction génératrice d’une variable aléatoire

I.1 Définition

Proposition-Définition SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN. On appelle fonction génératrice deX la fonction

G_X : t7−→

+∞X

n=0

P(X =n)tⁿ

qui est la somme d’une série entière de rayon de convergence≥1, nor- malement convergente surD⁰(0, 1).

Remarque Il y a un peu de « flou » dans la définition : parfois on considère GXsurD⁰(0, 1) (disque unité fermé dansC), parfois sur [−1, 1], parfois sur ]−1, 1[ (si on a envie de dériver, ce qui arrivera), parfois sur un intervalle plus grand (si elle a un rayon de convergence>1), parfois sur [0, 1[ (où toutes ses dérivées sont positives). . .

Remarque Se souvenir que le rayon de convergence est≥1 ne suffit pas : il faut bien remarquer queG_X est définie en 1. Et même (moins important) en toutttel que|t| =1.

I.2 Interprétation comme espérance

Proposition

Il faut considérer cette formule comme « seconde définition », d’importance égale à la première.

Là aussi, il se peut que l’égalité soit valable au-delà de [−1, 1] : il faut se souvenir quet^X est d’espérance finie si et seulement si¡

P(X =n)tⁿ¢

n≥0est sommable, i.e. si et seulement si la série X

n≥0

P(X =n)tⁿ converge absolument, et le cas échéantE¡

t^X¢

est la somme de cette série.

I.3 Une fonction génératrice détermine la loi

Proposition SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN, de fonction gé- nératriceg. Alors, pour toutnentier naturel,

P(X =n)=

La fonction génératrice deX détermine donc sa loi : (G_X =G_Y)⇐⇒(X ∼Y)

Autrement dit, pour montrer que deux variables aléatoires à valeurs dans Nont même loi, il suffit de montrer que leurs fonctions génératrices sont égales.

II Fonction génératrice d’une somme de v.a. indé- pendantes

Proposition

SiX etY sont indépendantes, alorsG_X+Y =G_XG_Y sur [−1, 1].

SiX₁, . . . ,X_psont mutuellement indépendantes, siS=X₁+. . .+X_p, alors G_S=

p

Y

i=1

G_Xi sur [−1, 1].

III Fonctions génératrices des lois usuelles

III.1 Loi de Bernoulli

Proposition SiX ∼B(p),

III.2 Loi binomiale

Proposition SiX ∼B(n,p),

III.3 Loi géométrique

Proposition SiX ∼G(p),

III.4 Loi de Poisson

On dit que X suit une loi de PoissonP(λ) (λ>0) lorsqueX est une variable

Proposition SiX ∼P(λ),

Exercice SiX₁, . . . ,X_p sont des variables aléatoires mutuellement indépen- dantes telles que, pour toutk,X_k∼P(λk) (λk>0) alorsX₁+ · · · +X_p∼

III.5 Loi binomiale négative

Cette loi est hors-programme. Elle est naturellement associée au Pile ou Face infini.

Exercice On suppose que X₁, . . . ,X_m sontmvariables aléatoires mutuelle- ment indépendantes, de même loi géométriqueG(p) (0<p<1). On dé- finitY =X₁+ · · · +X_m.

1. Calculer la fonction génératrice deY. 2. En déduire la loi deY.

3. Calculer l’espérance et la variance deY.

IV Intermède

On dispose d’une machine permettant de fabriquer un dé à six faces pipé « à volonté » : on peut choisir les probabilitésp_k, 1≤k≤6 pour que le lancer de dé donne la face k.

On doit quand même respecterp_k≥0 pour toutk, etp₁+ · · · +p₆=1.

On effectue deux lancers successifs et indépendants du dé, on noteY la somme

des deux faces obtenues. Est-il possible de choisir lesp_kpour queY ∼U({2, 3, 4, . . . , 12} ?

V Régularité

Proposition G_X est continue surD⁰(0, 1), de classeC^∞sur ]−1, 1[.

(au moins)

VI Fonction génératrice et moments

VI.1 Etude d’une fonction génératrice

La monotonie, la convexité d’une fonction génératrice sur [0, 1] ne dépendent pas de la loi étudiée. On peut même tracer l’allure d’une fonction génératrice sur ce segment.

VI.2 Espérance

Proposition X est d’espérance finie si et seulement siG_X est dérivable en 1. Et lorsque c’est le cas,

E(X)=G⁰_X(1)

VI.3 Variance

Proposition X admet un moment d’ordre 2 (et donc une variance) si et seulement siG_X est deux fois dérivable en 1. Et si c’est le cas,

E(X²)= , V(X)=

VI.4 Généralisation (moments)

VII Somme aléatoire de variables aléatoires (h.p.)

Supposons que (Xn)n≥0soit une suite de variables aléatoires définies sur un es- pace probabilisé (Ω,A,P), à valeurs dansN. Et queNsoit une variable aléatoire définie sur (Ω,A,P), à valeurs dansN. Rien n’empêche de s’intéresser à

Y =X₀+ · · · +XN

définie surΩpar

Y(ω)=X0(ω)+ · · · +XN(ω)(ω)

Y est une application définie surΩ, à valeurs dansN. Pour qu’elle soit une va- riable aléatoire discrète, il suffit queY⁻¹({m}) soit, pour toutm∈N, un élément deA, qu’on notera (Y =m). Or on peut l’assurer assez simplement (en sachant que chaqueS_n=X₀+ · · · +X_nest une variable aléatoire) :

(Y =m)=

On peut donc tenter le calcul deG_Y, fonction génératrice deY, définie au moins sur [−1, 1]. Pour cela, on fera l’hypothèse que lesX_n(n∈N) etNsont mutuelle- ment indépendantes. Ou, si l’on veut être plus clair, que la famille (X_n)_n≥−1où l’on a poséX₋₁=Nest une famille de variables aléatoires mutuellement indé- pendantes.

On fera aussi l’hypothèse que lesX_n,n≥0, ont toutes même loi (cela peut pa- raître monstrueusement réducteur, mais dans les « grandes » applications cette hypothèse apparaît naturellement). Soit alorst∈[−1, 1] ;

G_Y(t)=

+∞X

m=0

P(Y =m)t^m

=

+∞X

m=0

µ_+∞

X

n=0

P(Y =m,N=n)t^m

¶

On voit le travail à faire : détailler un peu lesP(Y =m,N=n), puis sans doute intervertir des sommes avec un argument de sommabilité.

Table des matières

I Fonction génératrice d’une variable aléatoire 1

I.1 Définition . . . 1

I.2 Interprétation comme espérance . . . 1

I.3 Une fonction génératrice détermine la loi . . . 2

II Fonction génératrice d’une somme de v.a. indépendantes 3 III Fonctions génératrices des lois usuelles 3 III.1 Loi de Bernoulli . . . 3

III.2 Loi binomiale . . . 3

III.3 Loi géométrique . . . 3

III.4 Loi de Poisson . . . 3

III.5 Loi binomiale négative . . . 4

IV Intermède 4 V Régularité 4 VI Fonction génératrice et moments 5 VI.1 Etude d’une fonction génératrice . . . 5

VI.2 Espérance . . . 6

VI.3 Variance . . . 6

VI.4 Généralisation (moments) . . . 6 VIISomme aléatoire de variables aléatoires (h.p.) 7