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Sur la fonction génératrice des polynômes <span class="mathjax-formula">$P_{m,n}$</span> de Didon

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(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G.-A. O RLOW

Sur la fonction génératrice des polynômes P

m,n

de Didon

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 20 (1881), p. 481-489

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1881_2_20__481_0>

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(2)

SUR LA FONCTION GÉNÉRATRICE DES POLYNOMES P

m

,,

2

DE DIDON;

PAR M. G.-A. ORLOW,

Professeur à l'Institut des voies de communication, et à l'École de construction de Saint-Pétersbourg.

Dans la Note sous le titre : Sur un mode d'approxi- mation des f onctions de plusieurs variables [Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXX, p. 749)1 Didoii considère des fonctions remarquables qu'il désigne par PW),O et dont il donne l'expression générale sous la forme

__ I dn( r2 — T )m^ " ^ 2 (pn (< rs + r2 __ j yn

Le coefficient Kw?w désignant une constante et m, n des entiers positifs, la fonction Pm>n représente un poly- nôme de degré m -f-72, dans lequel l'exposant de x ne surpasse pas m ; en donnant à m et à n toutes les valeurs entières et positives possibles, on obtiendra une série in- définie de polynômes de cette forme.

Didon montre que l'intégrale

étendue sur la surface du cercle x2 -\-y- = i, se réduit à zéro, à moins qu'on n'ait m = m', n = nf^ il trouve pour l'intégrale ffP^n>ndxdy l'expression suivante

1 . 3 . 5 . . .(2 7tt42/Hl) .

X —7—£ (im -h/i-f-2). . . 2 . 4 . 6 . . . ( 2 / / I H - 2 / 1 4 2 ) V V

Ann. de Mathemat., 2e série, t. XX. (Novembre 1881.) 3 l

(3)

En posant

K - il la reduit à la forme

_ _ _ _ _ _ _

i . 3 . 5 . . . ( 2 m - f - 2 / i - + - i )

X {y - - ; {9

. 4. o. . . ( 2 m -h 2 /i -h 2 )

et trouve, pour lafonction génératrice des polynômes P c'est-à-dire pour la somme \ \ amZ>"P///j/z?rex

0

sion

1 r

/ x 1 — « ^ — ^ r — by ^-\j\ — iby

Au moyen des propriétés précédentes, il déduit l'ex- pression du coefficient &m,n dans la série de la forme

/ ( / , ƒ ) = N A/;!)„P,„ir _ _ i

Les fonctions P/Mj/i présentent la plus grande analogie avec les fonctions X„ de Legendre, et en particulier elles permettent de réaliser un certain mode d'approxi- mation des fonctions quelconques de deux variables, au moyen de polynômes entiers, par rapport à ces mêmes

\ ariables. Les propriétés des polynômes Pm>„ sont ex- posées par Didon dans le Mémoire intitulé Dévelop- pements sur certaines séries de polynômes à un nombre quelconque de variables [Annalesde VÉcole Normale,

ii e série, t. VII, p. 247).

Considérons les résultats cités plus haut.

(4)

L'expression de l'intégrale; ƒ ƒ P*2„ n^xày et celle de la fonction génératrice des polynômes P,Wjrt dépendent du facteur constant KWjW, dont un choix convenable permet de les simplifier. Si, au lieu de l'expression employée par Didon pour ce facteur, on pose

/ \ K 2 * '" ( /// 4 - I ) ( W 4- 'O . . . ( /// H- /i )

on aura, comme il est aisé de le voir, pour l'intégrale

> l'expression

X + i

1. 3 . 5 . . . ( 2 m —

2m ml ni

plus simple que celle citée plus haut. Par conséquent, en effectuant le développement d'une fonction quel- conque de deux variables en série ordonnée suivant les polynômes Pm?/?? on obtient pour le coefficient du terme général une expression plus simple et plus commode pour les applications que celle donnée par Didon.

Pour la fonction génératrice des polynômes Pm,n nous aurons, comme on va voir, l'expression

(3) [(i —

beaucoup plus simple que celle de Didon-, elle est en- core remarquable en ce qu'elle peut être généralisée.

Donnant à cette expression la forme

i r

* i — iax — i

L

t

iby 4- b-

et introduisant dans l'exposant du second facteur un paramètre arbitraire j3, on forme une nouvelle expres- sion

(i—2br-\-bi) 2 i — ia.r — iby 4- b2 —

1 — ibv 4- b-

(5)

ou bien

qui est à son tour la fonction génératrice des fonctions plus générales que je désignerai par Qm^ ( x , j - , fi) et qui se présentent sous la forme

,,

C/«,«"l*y désignant une constante. Ces nouvelles fonc- tions Qm9n sont aussi des polynômes entiers de degré m -\- n, dans lesquels l'exposant de x ne surpasse pas /?z, et Je terme^en xmjn est le suivant :

T) (Ï* 3 -4- 3) . . . (o.? + o/// — y)

Q ( ^ -f- ;?? + 2 ) . . . O -f- //? -4- /? )

Les polynômes Pw?/e ne sont qu'un cas particulier de ces nouvelles fonctions Ùm9m qui correspond à [6 = o.

Les polynômes Q,Wj« présentent la plus grande ana- logie avec les fonctions connues

où Ci désigne une constante, a un paramètre arbi- traire, / un nombre entier et positif. On sait que les fonctions TU/ admettent une fonction génératrice très simple

(6)

( 485 ) si l'on pose

1 / !

Mais, en posant ci = jy-p nous trouverons pour la fonction génératrice des mêmes polynômes une autre expression

2*(i — lax -h a2) *(i — a^r -\-\j\ — 'i

moins simple que la précédente. On obtient facilement cette dernière expression au moyen de la formule de Lagrange

où z est une fonction de a et de x déterminée par l'é- quation

z — x -h a o(z).

Pour cela, on n'a qu'à poser dans cette formule o(x) = \(œ* - i ), f(x) = ^ - i)«.

En ayant égard à deux expressions précédentes pour la fonction génératrice des polynômes m^ nous pouvons écrire les équations suivantes :

! 2/ (x2— i )a dxl l = 0

(5) { '^ „,

= 2a( i — 2cix -i- a2) 2( i — ax 4- \J\ — '2ax -\- a1

al ( 2 a + i ) ( 2 a H- 3) . . . ( 2 a + 2 / — 1)

2 \a 4"/

(7)

( «86 )

D'après chacune d'elles, on peut déterminer la fonction génératrice pour les polynômes PTO>W et Ow,«.

Pour obtenir celle des polynômes Pw?w> Didon emploie deux fois la formule de Lagrange. Sa méthode peut être encore appliquée au calcul de la fonction génératrice des polynômes öm?w> c'est-à-dire à la somme

V \„m,no

7 y ci o i-„i «.

Lu LÀ

m-Q n 0

Nous abrégerons encore le calcul si au lieu de la for- mule de Lagrange nous employons immédiatement la première des formules (0)5 suivant la marche indiquée par Didon, nous trouverons pour la fonction génératrice cherchée l'expression qui, dans le cas J3 = o, se réduit à l'expression (1) ou, ce qui revient au même, à

-? b-

M a i \ dans le cas général, on obtient une expression très compliquée et de peu d'intérêt.

Au contraire, en calculant la fonction génératrice des polynômes ûm,n d'après la seconde des formules (5), on aura l'expression (4) très simple citée ci-dessus. A cet effet, il faut prendre pour C/rijn la quantité

\ m\n\ ^ + 1 ) ^ + 2) . . . (fi-W/i) (6)

(2 ji + 2/?t + «H-2). . . (2 ji 4- 2 m 4-2 /i + l)

qu'on peut encore présenter comme il suit :

m : n l

11

r (2 fi H- 2 /// 4- i ) r ( 'i {i 4- 2 M 4- 2 /i 4- '>. ) '

(8)

( 48; )

et, en supposant d'abord m constant, il faut déterminer la somme

n ! ( 2 3 -H 2 m 4 - /i 4 - 2 ) . . . ( 2 {i 4 - 2 wi 4 - 2 /* 4 - i )

P -f- /IH-H-+—

x L—'"ir'-O *.

La seconde des formules (5) donne immédiatement l'expression simple

en posant dans cette formule a = ^ + m + ^ et en remplaçant les lettres x , a, / respectivement par j , h, n.

On n'a qu'à transformer l'expression

etla multiplier par le facteur ( i — i bj -+- b~) ~(p+1) pour avoir la fonction génératrice demandée. Pour transformer cette dernière somme, au moyen de la seconde des for- mules (5), nous remarquons d'abord qu'en changeant x en i faisant a = a! \l\ — y2 et ayant de plus égard à l'égalité

(2a + i ) ( 2 a + 3) . . . (23C4-2Z — i ) ( 2 a •+ / - f i ) ( 2 a + / 4 - 2 ) . . . ( 2 a - f - 2 / j

_ i ( 2 a -h i ) ( q a -f- 2 ) . . . ( 2 a -H /")

~~ "? ( a 4 - i ) (a -+- 2 ) . . . ( a •+- / )

(9)

( 488 cette formule deviendra

X

En supposant ici

I — 2 & K - h

et en changeant les lettres / et a respectivement en ni et (3, nous aurons pour la somme cherchée l'expression

( i — iby 4- 62)2P+-1 [ ( T — 2aœ — 2by -+- b-)

x ( i — 2 6 v -h />2) — a2( / * — i ) ] " ^'3+i

En la multipliant par (i— 'ibj -\- b2)~{^x\ nous ob- tiendrons enfin l'expression de la fonction génératrice demandée (4)» que l'on peut présenter encore comme il suit :

- b2y[(i — 2ax — 2 by -^- a2 -h b2)

X (i — 2by-+-b2)- a*(y— b)2] V 2J * En posant, dans les formules (6) et (4)5 j3 = o, nous obtiendrons les formules ( 2 ) et ( 3 ).

Donc les polynômes Qm,n peuvent être définis par l'égalité

( 1 — 2 by -+- b2y [ ( 1 — 2 a x — 2 by -h b2 )

X {i—2by-hb2)—a2(y-2—i)]~ (^

z=.^ambnQmyfl>

la sommation s'étendant à toutes les valeurs entières de m et n depuis o jusqu'à l'infini. Voici quelques-uns de

(10)

ces polynômes dans les cas les plus simples

y» - i l . Q , ,t= 2 ( 2 ? + ! ) ( ? + 2) xy,

Ces polynômes, ayant la fonction génératrice spéciale, ont des propriétés complètement analogues à celles des polynômes mi. Je ferai voir, dans une autre occasion, quelques-unes de ces propriétés.

Références

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