Fonction génératrice des moments

ECE2 Mathématiques

Fonction génératrice

On suppose que X est une v.a. discrète.

Définition On appelle fonction génératrice de X la fonction G_X : [0,1]→[0,1]donnée par :

G_X(s) =E[s^X] =

+∞

X

n=0

sⁿP([X=n]).

(On utilise la convention 0⁰ = 1 dans le cass=n= 0.)

Proposition 1. La fonction génératrice est une fonction DSE, de rayon de convergence supérieur ou égal à 1.

Elle détermine la loi de X, plus précisément on a pour tout n∈N,

P([X =n]) = G⁽ⁿ⁾_X (0) n! , où G⁽ⁿ⁾_X désigne la dérivéen-ième de G_X.

Exemples

• Soit X ,→ B(p),p∈[0,1]. Pour touts∈[0,1],

GX(s) = 1−p+sp.

• SoitX ,→ B(n, p),n∈Netp∈[0,1]. Pour touts∈[0,1], d’après la formule du binôme de Newton,

G_X(s) =

n

X

k=0

n k

p^k(1−p)^n−ks^k= (ps+ 1−p)ⁿ.

• SoitX ,→ G(p),p∈]0,1[. Pour touts∈[0,1], en ré-indiçant et en reconnaissant une série géométrique de raison sp, on obtient :

GX(s) =

+∞

X

k=1

s^k(1−p)p^k−1=s(1−p)

+∞

X

k=0

(sp)^k = s(1−p) 1−sp .

• Soit X ,→ P(λ),λ >0. Pour tout s∈[0,1], en reconnaissant une série exponentielle, on obtient :

G_X(s) =

+∞

X

k=0

s^kλ^k

k!e^−λ =e^−λ

+∞

X

k=0

(sλ)^k

k! =e^−λe^λs =e^λ(s−1).

Les fonctions génératrices sont très utiles pour étudier les sommes de variables indépendantes : Proposition 2. Si X₁, . . . , X_n sont n v.a. discrètesindépendantes, alors la fonction génératrice de la variable X1+· · ·+Xn est le produit des fonctions génératrices :

G_X1+···+X_n =

n

Q

i=1

G_Xi.

Corollaire 1. • Soit X₁, . . . , X_n n v.a. i.i.d. de loi B(p), p ∈]0,1[. Alors S =X₁+· · ·+X_n suit la loi B(n, p).

• Soit X etY deux v.a. indépendantes de loi respectives P(λ) et P(µ), alors X+Y ,→ P(λ+µ).

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