Fonction génératrice des moments:

(1)

Fonction génératrice des moments:

• La fonction génératrice des moments est définie pour toute v.a. Xpar:

Si E(e^tX) existe dans un voisinage de l’origine.

1

( ) ⁽ ⁾







 =

=

∫

∑

∞ +

∞

−

continue est

si )

(

discrète est

si )

(

X dx

x f e

X x

X P e e

E t

M tx

x tx tX

Théorème:

Si M(t) existe pour t Є ]-t₀,t₀[, t₀>0, alors ses dérivées de tout ordre existent pour t=0 et de plus M^(k)(0)=E(X^k), k = 0,1,2,…

C’est-à-dire que:

Tout les moments d’ordre k peuvent être

calculés à l’aide des dérivées de M(t) au point t =0.

2 Prof. Mohamed El Merouani

(2)

• En effet,

Si X est discrète:

Si X est continue:

3

( )

^e

dt E t

M′( )=

( )

^e ^P

(

^X ^x

)

dt x d

X P dt e

t d

M ^tx

x x

tx  = =



 



 =

′⁽ ⁾ =

∑ ∑

( ) ( )

^tX

x

txP X x E Xe

xe = =

=

∑

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

−

=



 



= 

′ e f x dx

dt dx d

x f dt e

t d

M ( ) ^tx ( ) ^tx ( )

∫ ( )

+∞

∞

−

=

= xe^txf (x)dx E Xe^tX

• En posant t=0, on a M’(0)=E(X).

• De même,

et

D’une façon générale, on a:

et

4

( ) (

^Xe^tX ^E ^X ^e^tX

)

dt E t d

dt M t d

M ′′( )= ′( )= = ²

( )

²

) 0

( E X

M ′′ =

( ) ^, ¹

)

(

t = E X e k ≥

M

^k ^k ^tX

( )

^k

k

E X

M

⁽ ⁾

( 0 ) =

Prof. Mohamed El Merouani

(3)

• Où encore, d’après le théorème précédent, Si M(t) existe pour t Є ]-t₀,t₀[, t₀>0, alors on peut développer M(t) en série de Mc-Laurin:

• Ainsi E(X^k) est le coefficient de

L L+ ⋅ + +

′′ ⋅ +

′ ⋅ +

= (0) !

! ) 2 0

! ( ) 1 0 ( )

0 ( )

( ⁽ ⁾

2

k M t

M t M t

M t M

k k

! k t ^k

5

Remarque:

• La fonction génératrice des moments M(t) peut ne pas exister.

• En effet, E(e^tX) n’est pas toujours définie.

(4)

Exemple 1:

• Soit X une v.a. discrète définie par:

• Donc, on a:

( ⁼ ) ⁼ ⁶

₂

¹

₂

^; ^k ⁼ ¹ ^, ² ^, ^...

k k X

P π

∑

^∞

=

∞

=

1 2 2

) 6 (

k tk

k t e

M π

7

Exemple 2:

• Soit X une v.a. continue de fonction de densité

• Donc pour t<1/2

et pour t<1/2

On en déduit E(X)=2, E(X ²)=8 et Var(X)=4.

0 2 ,

) 1

(x = e⁻ ² x >

f ^x

t t

M 1 2

) 1 ( = −

(

¹ ²²

)

²

)

(t t

M′ = −

(

¹ ⁸²

)

³

)

(t t

M ′′ = −

(5)

Exemple 3:

• Soit Xune v.a. continue de densité de probabilité la fonction f(x)=ce^–|x|^α, 0<α<1, xЄIR, où c est une constante déterminée par la condition

• Pour t>0, on a:

et puisque α-1<0, n’est pas finie pour t>0; car

+∞

∫

∞

−

=1 ) (x dx f

( )

_dx e

dx e

e^tx ^x

∫

^x^t ^x

∫

₀^∞ ⁻ ^α ⁼ ₀^∞ ⁻ ^α⁻¹

dx e

e^tx ⁻^x^α

∫

₀∞

( )

^tx

x x t

x

e

→∞

− ^α⁻¹

~

9

• D’où M(t) n’existe pas!

• Pourtant,

• Par un changement de variable y=x^α, on obtient:

• On remarque, donc, que même si M(t) est infini, les moments peuvent être finis.

( ) ⁼ ^∫

₋⁺_∞^∞ ⁻

⁼ ^∫

^∞ ⁻

0

2 c x e dx dx

e x c X

E

^x ⁿ ^x

n n ^α ^α

( ) ² ² ¹ ^*

0 1 1

∞

<

 

 



 + Γ

=

= _α ^c ∫

^∞

^y

^α⁺ ⁻

^e

⁻

^dy _α ^c ⁿ _α

X

E

^y

n n

Euler.

d' gamma fonction

la

*Γest ₁₀

(6)

Fonction Gamma Γ d’Euler:

La fonction Γest définie sur ]0,+∞[ par:

∫

∞

−

= −

Γ

0

) 1

(α e ^tt^α dt

Propriétés:

1) Γ(α)=(α-1)Γ(α-1).

En effet,

2) Γ(1)=1.

En effet,

3) Γ(n)=(n-1)!

En effet, Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=

=(n-1)(n-2)Γ (n-2)=…=(n-1)!Γ(1)=(n-1)!

(

¹

) (

¹

) (

¹

)

) (

0 0

2

1 = − = − Γ −

=

Γ ^α ^∞

∫

^e⁻^t^t^α⁻^dt ^α ^∞

∫

^e⁻^t^t^α⁻ ^dt ^α ^α

( )

⁼

∫

^∞ ⁻ ⁼

Γ

0

1 1 e ^tdt

(7)

Lois

Lois de de probabilités probabilités usuelles usuelles discrètes et continues

discrètes et continues

13

Lois

Lois de de probabilités probabilités discrètes

discrètes

14

(8)

Loi de Dirac:

• Soit un nombre a fixé et soit une v.a. X prenant la valeur a, c’est-à-dire P(X=a)=1.

On appelle loi de Dirac au point ala probabilité

La représentation de l’histogramme et de la fonction de répartition sont:

15

( )



≠

= =

a x

a x x

a 0,

,

δ

1

Loi de Dirac:

16

(9)

Loi de Dirac:

• Sa fonction de répartition:

• Son espérance mathématique est E(X)=a et E(X²)=a²

• Sa variance est Var(X)=0

17





≥

= <

a x si

a x x si

F 1,

, ) 0 (

Loi

Loi de de Bernoulli Bernoulli::

• Une v. a. Xsuit une loi de Bernoulli si elle prend les deux valeurs 1 et 0 avecP(X=1)=p et P(X=0)=q où p+q=1.

• ps’appelle paramètre de la loi.

• {X=1}est dit événement succès et {X=0}est dit événement échec.

• Xreprésente donc le nombre de succès obtenu après la réalisation d’une seule expérience aléatoire.

(10)

Loi

Loi de de Bernoulli Bernoulli::

• La loi de probabilité de Xsuivant une loi de Bernoulli est:

AlorsE(X)=Σx_ip_i=1xp+0xq=p

Var(X)=Σx_i²p_i–E(X)²=x₁²p+x₀²q-p²=p-p² Var(X)=p(1-p)=pq

x_i 1 0 Σp_i p_i p q=1-p 1

Loi

Loi Binômiale Binômiale::

• On considère l’expérience qui consiste en n

répétitions indépendantes d’une même expérience dont l’issue est l’apparition ou la non apparition d’un événement Aqui:

– Soit se réalise avec la probabilitép(p=probabilité du succès).

– Soit ne se réalise pas avec la probabilité q=1-p (q=probabilité d’échec).

• Soit Xle nombre d’apparitions de cet événement parmi ces n expériences.

• On a Ω={A,Ā}ⁿet 0≤X≤n.

(11)

Loi

Loi Binômiale Binômiale::

• On cherche P(X=k). Le résultat de ces n

expériences est une suite (A₁, A₂,…, A_n) où A_i=A ou Ā, pour tout i=1,2,…,n.

• Si on suppose que Aest apparu kfois et Ā(n-k) fois, la probabilité d’une de ces suites (A₁, A₂,…, A_n) est p^k(1-p)^n-k. Comme il existe suites (A₁, A₂,…, A_n) où Aest apparu k fois et Ā(n-k) fois, on déduit que:

21

. 0

; )

(X k C p q k n

P = = _n^k ^k ⁿ⁻^k ≤ ≤

k

C

n

Loi

Loi Binômiale Binômiale::

• On vérifie que

• En effet,

• On dit que Xsuit une loi binomiale de paramètres n et pet on la note symboliquement B(n, p).

• On écrit X

~

^B(n,p)

22

( )

∑

=

n =

k

k X P

0

1

(

¹

) (

⁽¹ ⁾

)

¹

0

=

− +

=

−

∑

=ⁿ ⁿ ^k ⁿ k

k k

np p p p

C

(12)

Loi

Loi Binômiale Binômiale::

• Espérance mathématique: E(X)=np

• Variance mathématique: Var(X)=npq

• Ecart-type: σ(X)=√npq

• La loi binômiale rend compte de tous les phénomènes répétés de manière

indépendante pouvant prendre deux états, tels que: succès ou échec, tout ou rien.

Loi multinomiale:

• Supposons que dans une expérience aléatoire peuvent se présenter les événements

A₁,A₂,…,A_k qui forment un système des événements exhaustifs et mutuellement exclusifs (complet),

• P(A_i)=p_i et p₁+p₂+…+p_k=1 et calculons la probabilité qu’en faisant n expériences

indépendantes on ait x₁fois l’evénement A₁, x₂fois A₂,…etc, où x₁+x₂+…+x_k=n.

(13)

Loi multinomiale:

• Cette probabilité est donnée par:

et zéro, autrement. Avec X_i=x_isignifie que l’événement A_is’est réalisé x_ifois.

• Alors, on dit que la variable (X₁,…,X_k) suit une loi multinomiale de paramètres n, p₁, p₂,…,p_k

• Si k=2, on retrouve la loi binomiale.

25

( ) ∑

=

= ^k

i i x

k x

k k

k p p si n x

x x x n X x

X

P ^k

1 1

1 ,

!

! , !

, ¹L

L L

Loi multinomiale:

• Les principales moments de cette loi sont:

E(X_i)=np_i Var(X_i)=np_i(1-p_i) Cov(X_i,X_j)=-np_ip_j

(14)

Exemple:

• Considérons la loi trinômiale:

où et p_j≥0 avec p₁+p₂+p₃=1.

• La loi marginale de X est B(n,p₁).

• La loi marginale de Y est B(n,p₂).

27

( )

^p^x^p^y^pⁿ ^x ^y

y x n y x y n Y x X

P ⁻ ⁻

−

= −

=

= ₁ ₂ ₃

)!

(

!

! , !

( )

x^, y ∈Z²+

Exemple:

28

( )

∑

−

=

−

− −

=

−

= −

−

= −

=

x n

y

y x n y x

y x n y x x

n

y

p y p

x n y

x p n

x n x

n

p p y p

x n y x x n

X P

0

3 2 1

3 2 1 0

)!

(

!

)!

( )!

(

!

)!

(

!

x n x

x n

x n x

x n

p p

C

p p

p C

−

=

+

=

) 1

(

) (

1 1

3 2

1

Fonction génératrice des moments: